סוגי שאלות בהתפלגות נורמלית – איך מזהים?
סוגי שאלות בהתפלגות נורמלית – איך מזהים?
🎯 הטעות הנפוצה ביותר
רוב הטעויות בהתפלגות נורמלית לא נובעות מחישוב שגוי – אלא מזה שמתחילים לחשב לפני שמבינים מה בכלל מבקשים.
הפתרון: לפני כל חישוב, לעצור ולשאול: "מה סוג השאלה?"
רוב הטעויות בהתפלגות נורמלית לא נובעות מחישוב שגוי – אלא מזה שמתחילים לחשב לפני שמבינים מה בכלל מבקשים.
הפתרון: לפני כל חישוב, לעצור ולשאול: "מה סוג השאלה?"
ארבעת סוגי השאלות
כל שאלה בהתפלגות נורמלית שייכת לאחד מארבעה סוגים. כשמזהים את הסוג – חצי מהעבודה כבר נעשתה.
סוג 1 – חישוב הסתברות לפי ערך
📋 מאפיינים:
משקל תינוקות מתפלג נורמלית: \(\mu = 3.3\) ק"ג, \(\sigma = 0.4\) ק"ג.
מה ההסתברות שתינוק ישקול פחות מ-3.7 ק"ג?
- נתון: ערך \(X\) (או ציון תקן \(Z\))
- מבקשים: הסתברות (שטח מתחת לעקומה)
- מילים מזהות: "מה ההסתברות ש...", "כמה אחוז מ...", "מה החלק ש..."
- ממירים \(X\) ל-\(Z\) (אם לא נתון): \(Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}\)
- מוצאים את \(\Phi(z)\) בטבלה
- מתאימים לפי מה שמבקשים (שמאלה / ימינה)
משקל תינוקות מתפלג נורמלית: \(\mu = 3.3\) ק"ג, \(\sigma = 0.4\) ק"ג.
מה ההסתברות שתינוק ישקול פחות מ-3.7 ק"ג?
שלב 1: \(Z = \dfrac{3.7 - 3.3}{0.4} = \dfrac{0.4}{0.4} = 1\)
שלב 2: בטבלה: \(\Phi(1) = 0.8413\)
שלב 3: מבקשים "פחות מ-" = שטח שמאלי = \(\Phi(1)\) ישירות
✅ תשובה: \(P(X < 3.7) = 0.8413\), כלומר כ-84% מהתינוקות שוקלים פחות מ-3.7 ק"ג.
שלב 2: בטבלה: \(\Phi(1) = 0.8413\)
שלב 3: מבקשים "פחות מ-" = שטח שמאלי = \(\Phi(1)\) ישירות
✅ תשובה: \(P(X < 3.7) = 0.8413\), כלומר כ-84% מהתינוקות שוקלים פחות מ-3.7 ק"ג.
סוג 2 – הסתברות בתחום
📋 מאפיינים:
\(\mu = 3.3\), \(\sigma = 0.4\). מה ההסתברות שתינוק ישקול בין 2.9 ל-3.7 ק"ג?
- נתון: שני ערכים (\(a\) ו-\(b\))
- מבקשים: הסתברות שהערך יהיה בין שני הגבולות
- מילים מזהות: "בין ... ל-...", "מ-... עד ..."
הנוסחה:
\(P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)\)
🔢 שלבי פתרון:
\(P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)\)
- ממירים את שני הערכים ל-\(Z\)
- מוצאים \(\Phi\) לכל אחד בטבלה
- מחסרים: הגדול פחות הקטן
\(\mu = 3.3\), \(\sigma = 0.4\). מה ההסתברות שתינוק ישקול בין 2.9 ל-3.7 ק"ג?
שלב 1 – המרה:
\(z_1 = \dfrac{2.9 - 3.3}{0.4} = -1\) \(z_2 = \dfrac{3.7 - 3.3}{0.4} = 1\)
שלב 2 – טבלה:
\(\Phi(1) = 0.8413\) \(\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.8413 = 0.1587\)
שלב 3 – חיסור:
\(P(-1 \le Z \le 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826\)
✅ תשובה: כ-68% מהתינוקות שוקלים בין 2.9 ל-3.7 ק"ג – וזה מתאים בדיוק לכלל 68%!
\(z_1 = \dfrac{2.9 - 3.3}{0.4} = -1\) \(z_2 = \dfrac{3.7 - 3.3}{0.4} = 1\)
שלב 2 – טבלה:
\(\Phi(1) = 0.8413\) \(\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.8413 = 0.1587\)
שלב 3 – חיסור:
\(P(-1 \le Z \le 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826\)
✅ תשובה: כ-68% מהתינוקות שוקלים בין 2.9 ל-3.7 ק"ג – וזה מתאים בדיוק לכלל 68%!
סוג 3 – בעיה הפוכה (מהסתברות ל-X)
📋 מאפיינים:
\(\mu = 3.3\), \(\sigma = 0.4\). 90% מהתינוקות שוקלים פחות מכמה?
- נתון: הסתברות (אחוז, שטח)
- מבקשים: ערך \(X\) שמתאים להסתברות הזו
- מילים מזהות: "מצא את הערך ש...", "מהו הציון ש-90% נמצאים מתחתיו?", "מצא את האחוזון ה-..."
הנוסחה ההפוכה:
\(X = \mu + Z \cdot \sigma\)
🔢 שלבי פתרון (הפוך מסוג 1!):
\(X = \mu + Z \cdot \sigma\)
- מוצאים בטבלה את \(Z\) שמתאים להסתברות הנתונה
- מציבים בנוסחה ההפוכה: \(X = \mu + Z \cdot \sigma\)
\(\mu = 3.3\), \(\sigma = 0.4\). 90% מהתינוקות שוקלים פחות מכמה?
שלב 1: מחפשים בטבלה: \(\Phi(z) = 0.90\) → \(z \approx 1.28\)
שלב 2: \(X = 3.3 + 1.28 \times 0.4 = 3.3 + 0.512 = 3.812\)
✅ תשובה: 90% מהתינוקות שוקלים פחות מ-\(3.81\) ק"ג (בקירוב).
שלב 2: \(X = 3.3 + 1.28 \times 0.4 = 3.3 + 0.512 = 3.812\)
✅ תשובה: 90% מהתינוקות שוקלים פחות מ-\(3.81\) ק"ג (בקירוב).
⚠️ טעות נפוצה בסוג 3: תלמידים לפעמים מציבים את ההסתברות (0.90) ישירות בנוסחת \(Z\). זה שגוי! קודם מוצאים את ערך \(Z\) בטבלה, ורק אז מציבים.
סוג 4 – השוואה בין קבוצות
📋 מאפיינים:
שרה קיבלה 85 בביולוגיה (\(\mu = 75\), \(\sigma = 10\)) ו-90 בכימיה (\(\mu = 88\), \(\sigma = 4\)).
באיזה מקצוע היא הצליחה יותר ביחס לכיתה?
- נתון: ציונים/ערכים מקבוצות שונות עם ממוצעים וסטיות תקן שונות
- מבקשים: מי הצליח יותר? מי בולט יותר? איפה ההישג גבוה יותר?
- מילים מזהות: "השוו", "באיזה מקצוע הוא יותר טוב?", "מי הצליח יותר ביחס ל..."
🔑 הכלל:
לעולם לא משווים ציונים גולמיים – תמיד ממירים ל-\(Z\) ומשווים את ציוני התקן!
🔢 שלבי פתרון:
לעולם לא משווים ציונים גולמיים – תמיד ממירים ל-\(Z\) ומשווים את ציוני התקן!
- מחשבים \(Z\) בנפרד לכל קבוצה
- משווים את ציוני התקן – מי שקיבל \(Z\) גבוה יותר הצליח יותר ביחס לקבוצה שלו
שרה קיבלה 85 בביולוגיה (\(\mu = 75\), \(\sigma = 10\)) ו-90 בכימיה (\(\mu = 88\), \(\sigma = 4\)).
באיזה מקצוע היא הצליחה יותר ביחס לכיתה?
ביולוגיה: \(z = \dfrac{85 - 75}{10} = 1\)
כימיה: \(z = \dfrac{90 - 88}{4} = 0.5\)
✅ מסקנה: למרות שבכימיה הציון הגולמי גבוה יותר (90 > 85), בביולוגיה שרה בולטת יותר (\(z = 1\) לעומת \(z = 0.5\))!
כימיה: \(z = \dfrac{90 - 88}{4} = 0.5\)
✅ מסקנה: למרות שבכימיה הציון הגולמי גבוה יותר (90 > 85), בביולוגיה שרה בולטת יותר (\(z = 1\) לעומת \(z = 0.5\))!
🗺️ איך מזהים את הסוג? – תרשים זרימה
| שאלה לעצמי | אם כן → |
|---|---|
| נתון ערך/ציון, מבקשים הסתברות? | סוג 1 |
| מבקשים הסתברות בתחום (בין ... ל-...)? | סוג 2 |
| נתונה הסתברות, מבקשים ערך? | סוג 3 |
| מבקשים להשוות בין קבוצות? | סוג 4 |
נוסחאות חשובות בעבודה עם טבלת Z
| מה מבקשים | נוסחה | הסבר |
|---|---|---|
| שטח שמאלי | \(P(Z \le z) = \Phi(z)\) | קוראים ישירות מהטבלה |
| שטח ימני | \(P(Z > z) = 1 - \Phi(z)\) | משלים ל-1 |
| תחום | \(P(a \le Z \le b) = \Phi(b) - \Phi(a)\) | חיסור שני שטחים |
| סימטריה | \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\) | העקומה סימטרית סביב 0 |
| ערך בודד | \(P(Z = z) = 0\) | בהתפלגות רציפה – תמיד 0! |
💡 טיפ: שלב הזיהוי חוסך חצי מהטעויות. לפני כל חישוב, שאלו את עצמכם: "מה נתון לי ומה מבקשים ממני?" – וזהו סוג השאלה.