קירוב נורמלי להתפלגות בינומית

קירוב נורמלי להתפלגות בינומית

התפלגות הדגימה ומשפט הגבול המרכזי

קירוב נורמלי להתפלגות בינומית

🎯 למה צריך קירוב נורמלי?

כאשר n גדול, חישובים עם התפלגות בינומית הופכים למסורבלים:

  • חישוב \(\binom{100}{47}\) דורש מספרים עצומים
  • סכימה של הרבה ערכים לוקחת זמן
  • טבלאות בינומיות מוגבלות

הפתרון: כאשר n מספיק גדול, ניתן לקרב את ההתפלגות הבינומית באמצעות ההתפלגות הנורמלית!

📚 תזכורת: התפלגות בינומית

סימון: \(X \sim B(n, p)\)

משמעות: X = מספר ההצלחות ב-n ניסויים, הסתברות להצלחה p

\(E(X) = np\)

תוחלת

\(V(X) = np(1-p)\)

שונות

\(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)

סטיית תקן

⚠️ תנאים לקירוב נורמלי

ניתן לקרב התפלגות בינומית לנורמלית כאשר:

\(np \geq 5\)

\(n(1-p) \geq 5\)

💡 הסבר: שני התנאים מבטיחים שההתפלגות לא תהיה א-סימטרית מדי.

⭐ נוסחת הקירוב הנורמלי

אם \(X \sim B(n, p)\) ומתקיימים התנאים:

\(X \approx N(np, np(1-p))\)

חישוב ציון Z:

\(Z = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}\)

🔧 תיקון לרציפות (Continuity Correction)

הבעיה: בינומית = בדידה, נורמלית = רציפה

הפתרון: מוסיפים או מחסירים 0.5

בינומית קירוב נורמלי
\(P(X = k)\) \(P(k - 0.5 \leq X \leq k + 0.5)\)
\(P(X \leq k)\) \(P(X \leq k + 0.5)\)
\(P(X < k)\) \(P(X \leq k - 0.5)\)
\(P(X \geq k)\) \(P(X \geq k - 0.5)\)
\(P(X > k)\) \(P(X \geq k + 0.5)\)
\(P(a \leq X \leq b)\) \(P(a - 0.5 \leq X \leq b + 0.5)\)

💡 כלל: "להרחיב" את התחום כדי לכלול את הערך השלם

✏️ דוגמה 1: P(X ≤ k)

שאלה: מטילים מטבע הוגן 100 פעמים. מה ההסתברות לקבל לכל היותר 45 "עץ"?

הגדרה: \(X \sim B(100, 0.5)\)

בדיקת תנאים:

\(np = 50 \geq 5\) ✓    \(n(1-p) = 50 \geq 5\) ✓

פרמטרים: \(\mu = 50, \quad \sigma = \sqrt{25} = 5\)

תיקון: \(P(X \leq 45) \approx P(X \leq 45.5)\)

חישוב Z: \(Z = \frac{45.5 - 50}{5} = -0.9\)

תשובה: P(Z ≤ -0.9) = 0.1841 = 18.41%

✏️ דוגמה 2: P(a ≤ X ≤ b)

שאלה: 30% תומכים במועמד. נשאלו 200 אנשים.

מה ההסתברות ש-55 עד 70 אנשים (כולל) יתמכו?

הגדרה: \(X \sim B(200, 0.3)\)

תנאים: \(np = 60 \geq 5\) ✓   \(n(1-p) = 140 \geq 5\) ✓

פרמטרים: \(\mu = 60, \quad \sigma = \sqrt{42} \approx 6.48\)

תיקון: \(P(55 \leq X \leq 70) \approx P(54.5 \leq X \leq 70.5)\)

חישוב Z:

\(Z_1 = \frac{54.5 - 60}{6.48} = -0.85\)

\(Z_2 = \frac{70.5 - 60}{6.48} = 1.62\)

תשובה: P(-0.85 ≤ Z ≤ 1.62) = 0.9474 - 0.1977 = 0.7497 ≈ 75%

📊 קירוב נורמלי לפרופורציה במדגם

פרופורציה במדגם: \(\hat{p} = \frac{X}{n}\) (כאשר X = מספר ההצלחות)

התפלגות פרופורציית המדגם:

\(\hat{p} \approx N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)\)

נוסחאות חשובות:

  • תוחלת: \(E(\hat{p}) = p\)
  • שונות: \(V(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n}\)
  • טעות תקן: \(\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)

ציון Z לפרופורציה:

\(Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\)

📋 סיכום הנוסחאות

סטטיסטי תוחלת שונות טעות תקן
\(X \sim B(n,p)\) \(np\) \(np(1-p)\) \(\sqrt{np(1-p)}\)
\(\hat{p} = \frac{X}{n}\) \(p\) \(\frac{p(1-p)}{n}\) \(\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)
\(\bar{X}\) (ממוצע מדגם) \(\mu\) \(\frac{\sigma^2}{n}\) \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

📝 סיכום

תנאי קירוב: \(np \geq 5\) וגם \(n(1-p) \geq 5\)

קירוב: \(X \sim B(n,p) \approx N(np, np(1-p))\)

תיקון לרציפות: ±0.5 לפי סוג אי-השוויון