אחוזים הסבר התייקרות והוזלה

אחוזים

התייקרות, הוזלה וחישובי אחוזים

🎯 מהם אחוזים?

\(\text{אחוז} = \frac{\text{חלק}}{\text{שלם}} \times 100\)

אחוז פירושו "מתוך מאה".

דוגמה: 25% = 25 מתוך 100 = \(\frac{25}{100} = 0.25\)

💡 המרות חשובות:

  • אחוז → שבר עשרוני: מחלקים ב-100 (50% = 0.5)
  • שבר עשרוני → אחוז: מכפילים ב-100 (0.3 = 30%)

🔢 חישוב אחוז מכמות

\(p\%\) מתוך \(A\) = \(\frac{p}{100} \times A\)

✏️ דוגמה 1: מהם 20% מ-150?

\(\frac{20}{100} \times 150 = 0.2 \times 150 = 30\)

✏️ דוגמה 2: מהם 15% מ-80 ש"ח?

\(\frac{15}{100} \times 80 = 0.15 \times 80 = 12\) ש"ח

📈 התייקרות (עלייה באחוזים)

מחיר חדש = מחיר ישן × \(\left(1 + \frac{p}{100}\right)\)

💡 הסבר:

כשמשהו עולה ב-p%, אנחנו משלמים את ה-100% המקוריים ועוד p%.

לכן מכפילים ב: \(1 + \frac{p}{100}\)

✏️ דוגמה 1: מוצר עלה 200 ש"ח והתייקר ב-15%. מה המחיר החדש?

דרך 1 (בשני שלבים):

ההתייקרות: \(200 \times 0.15 = 30\) ש"ח

מחיר חדש: \(200 + 30 = 230\) ש"ח

דרך 2 (ישירה):

\(200 \times 1.15 = 230\) ש"ח

✏️ דוגמה 2: משכורת של 8,000 ש"ח עלתה ב-5%. מה המשכורת החדשה?

\(8000 \times 1.05 = 8400\) ש"ח

🔢 מכפילי התייקרות נפוצים:

עלייה מכפיל עלייה מכפיל
5% 1.05 25% 1.25
10% 1.10 50% 1.50
20% 1.20 100% 2.00

📉 הוזלה (ירידה באחוזים)

מחיר חדש = מחיר ישן × \(\left(1 - \frac{p}{100}\right)\)

💡 הסבר:

כשמשהו יורד ב-p%, אנחנו משלמים את ה-100% המקוריים פחות p%.

לכן מכפילים ב: \(1 - \frac{p}{100}\)

✏️ דוגמה 1: מוצר עלה 300 ש"ח ויש עליו הנחה של 20%. מה המחיר?

דרך 1 (בשני שלבים):

ההנחה: \(300 \times 0.20 = 60\) ש"ח

מחיר חדש: \(300 - 60 = 240\) ש"ח

דרך 2 (ישירה):

\(300 \times 0.80 = 240\) ש"ח

✏️ דוגמה 2: מחיר מכונית 100,000 ש"ח. אחרי שנה הערך ירד ב-12%. מה הערך?

\(100000 \times 0.88 = 88000\) ש"ח

🔢 מכפילי הוזלה נפוצים:

ירידה מכפיל ירידה מכפיל
5% 0.95 25% 0.75
10% 0.90 50% 0.50
20% 0.80 75% 0.25

🔍 מציאת המחיר המקורי

💡 הרעיון: אם ידוע המחיר החדש ואחוז השינוי, נחלק במכפיל!

אחרי התייקרות של p%:

\(\text{מקורי} = \frac{\text{חדש}}{1 + \frac{p}{100}}\)

אחרי הוזלה של p%:

\(\text{מקורי} = \frac{\text{חדש}}{1 - \frac{p}{100}}\)

✏️ דוגמה 1: אחרי התייקרות של 20%, מחיר מוצר הוא 360 ש"ח. מה היה המחיר המקורי?

\(\text{מקורי} = \frac{360}{1.20} = 300\) ש"ח

✏️ דוגמה 2: אחרי הנחה של 30%, מחיר מוצר הוא 140 ש"ח. מה היה המחיר המקורי?

\(\text{מקורי} = \frac{140}{0.70} = 200\) ש"ח

📊 מציאת אחוז השינוי

\(\text{אחוז שינוי} = \frac{\text{חדש} - \text{ישן}}{\text{ישן}} \times 100\)

💡 שימו לב:

  • תוצאה חיובית = עלייה (התייקרות)
  • תוצאה שלילית = ירידה (הוזלה)

✏️ דוגמה 1: מחיר עלה מ-80 ל-100 ש"ח. מהו אחוז העלייה?

\(\frac{100 - 80}{80} \times 100 = \frac{20}{80} \times 100 = 25\%\)

✏️ דוגמה 2: מחיר ירד מ-500 ל-400 ש"ח. מהו אחוז הירידה?

\(\frac{400 - 500}{500} \times 100 = \frac{-100}{500} \times 100 = -20\%\)

ירידה של 20%

🔄 שינויים רצופים

⚠️ שגיאה נפוצה: עלייה של 10% ואז ירידה של 10% לא מחזירים למחיר המקורי!

💡 הכלל: מכפילים את המכפילים!

✏️ דוגמה: מחיר 100 ש"ח עלה ב-20% ואז ירד ב-20%. מה המחיר הסופי?

שלב 1: אחרי עלייה של 20%: \(100 \times 1.20 = 120\)

שלב 2: אחרי ירידה של 20%: \(120 \times 0.80 = 96\)

או ישירות: \(100 \times 1.20 \times 0.80 = 100 \times 0.96 = 96\)

ירידה כוללת של 4%!

📋 טבלת סיכום

פעולה נוסחה
p% מכמות A \(\frac{p}{100} \times A\)
התייקרות של p% \(A \times \left(1 + \frac{p}{100}\right)\)
הוזלה של p% \(A \times \left(1 - \frac{p}{100}\right)\)
אחוז שינוי \(\frac{\text{חדש} - \text{ישן}}{\text{ישן}} \times 100\)
מחיר מקורי (אחרי עלייה) \(\frac{\text{חדש}}{1 + \frac{p}{100}}\)
מחיר מקורי (אחרי ירידה) \(\frac{\text{חדש}}{1 - \frac{p}{100}}\)

📝 סיכום

התייקרות: כפל ב-(1 + p/100) | הוזלה: כפל ב-(1 - p/100)

מחיר מקורי: חלוקה במכפיל

שינויים רצופים: מכפילים מכפילים!