סדרה חשבונית - איבר כללי מנוסחת סכום
סדרה חשבונית
איבר כללי מנוסחת סכום
🎯 מתי משתמשים בשיטה זו?
לפעמים נותנים לנו נוסחה לסכום \(S_n\) ומבקשים למצוא:
- את האיבר הכללי \(a_n\)
- האם זו בכלל סדרה חשבונית
- את ההפרש d
💡 הרעיון המרכזי
אם \(S_n\) = סכום n האיברים הראשונים
ו-\(S_{n-1}\) = סכום (n-1) האיברים הראשונים
אז ההפרש ביניהם הוא בדיוק האיבר ה-n!
📐 הנוסחה
\(a_n = S_n - S_{n-1}\)
(עבור \(n \geq 2\))
⚠️ חשוב לבדוק!
יש לבדוק שהנוסחה שקיבלנו נכונה גם עבור \(a_1\):
\(a_1 = S_1\)
אם הנוסחה הכללית נותנת את אותה תוצאה כמו \(S_1\), היא נכונה לכל n.
✏️ דוגמה 1
נתון: \(S_n = 3n^2 + 2n\)
א. מצא את האיבר הכללי \(a_n\)
ב. בדוק האם זו סדרה חשבונית
ג. אם כן, מצא את \(a_1\) ו-d
פתרון:
א. מציאת \(a_n\):
\(S_n = 3n^2 + 2n\)
\(S_{n-1} = 3(n-1)^2 + 2(n-1)\)
\(= 3(n^2 - 2n + 1) + 2n - 2\)
\(= 3n^2 - 6n + 3 + 2n - 2\)
\(= 3n^2 - 4n + 1\)
\(a_n = S_n - S_{n-1}\)
\(= (3n^2 + 2n) - (3n^2 - 4n + 1)\)
\(= 3n^2 + 2n - 3n^2 + 4n - 1\)
\(a_n = 6n - 1\)
בדיקה עבור \(a_1\):
לפי הנוסחה: \(a_1 = 6 \times 1 - 1 = 5\)
לפי \(S_1\): \(S_1 = 3 \times 1 + 2 \times 1 = 5\) ✓
הנוסחה נכונה לכל n!
ב. האם זו סדרה חשבונית?
נוסחת האיבר הכללי היא \(a_n = 6n - 1\) (פונקציה ליניארית של n)
כן! זו סדרה חשבונית (כי האיבר הכללי הוא פונקציה ליניארית)
ג. מציאת \(a_1\) ו-d:
\(a_1 = 6 \times 1 - 1 = 5\)
\(a_2 = 6 \times 2 - 1 = 11\)
\(d = a_2 - a_1 = 11 - 5 = 6\)
הסדרה: 5, 11, 17, 23, 29, ...
✏️ דוגמה 2
נתון: \(S_n = n^2 + 5n\)
מצא את 5 האיברים הראשונים בסדרה.
פתרון:
שיטה 1: חישוב ישיר מ-\(S_n\)
\(S_1 = 1 + 5 = 6\) → \(a_1 = 6\)
\(S_2 = 4 + 10 = 14\) → \(a_2 = S_2 - S_1 = 14 - 6 = 8\)
\(S_3 = 9 + 15 = 24\) → \(a_3 = S_3 - S_2 = 24 - 14 = 10\)
\(S_4 = 16 + 20 = 36\) → \(a_4 = S_4 - S_3 = 36 - 24 = 12\)
\(S_5 = 25 + 25 = 50\) → \(a_5 = S_5 - S_4 = 50 - 36 = 14\)
הסדרה: 6, 8, 10, 12, 14, ...
זו סדרה חשבונית עם \(a_1 = 6\) ו-\(d = 2\)
שיטה 2: נוסחה כללית
\(a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 5n) - [(n-1)^2 + 5(n-1)]\)
\(= n^2 + 5n - (n^2 - 2n + 1 + 5n - 5)\)
\(= n^2 + 5n - n^2 + 2n - 1 - 5n + 5\)
\(= 2n + 4\)
בדיקה: \(a_1 = 2(1) + 4 = 6\) ✓
✏️ דוגמה 3 - מה קורה אם זו לא סדרה חשבונית?
נתון: \(S_n = 2^n - 1\)
האם זו סדרה חשבונית?
פתרון:
נחשב כמה איברים:
\(S_1 = 2^1 - 1 = 1\) → \(a_1 = 1\)
\(S_2 = 2^2 - 1 = 3\) → \(a_2 = 3 - 1 = 2\)
\(S_3 = 2^3 - 1 = 7\) → \(a_3 = 7 - 3 = 4\)
\(S_4 = 2^4 - 1 = 15\) → \(a_4 = 15 - 7 = 8\)
הסדרה: 1, 2, 4, 8, ...
ההפרשים: 2-1=1, 4-2=2, 8-4=4
זו לא סדרה חשבונית! (ההפרש לא קבוע)
זו סדרה הנדסית עם מנה q=2
💡 כלל לזיהוי סדרה חשבונית מנוסחת סכום
אם \(S_n\) הוא פולינום ממעלה 2 (כמו \(an^2 + bn + c\))
אז הסדרה היא חשבונית
והאיבר הכללי יהיה פולינום ממעלה 1 (ליניארי)
| \(S_n\) | סוג סדרה |
|---|---|
| \(an^2 + bn + c\) | חשבונית |
| משהו אחר (מעריכי, מעלה 3...) | לא חשבונית |
📝 תרגילים
1. נתון \(S_n = 2n^2 + 3n\). מצא את \(a_n\).
2. נתון \(S_n = n^2 - n\). מצא את \(a_1\), \(a_5\) ו-d.
3. נתון \(S_n = 4n^2 - n\). האם זו סדרה חשבונית? אם כן, מצא את ההפרש.
💡 פתרונות:
1. \(a_n = 4n + 1\)
2. \(a_n = 2n - 2\), לכן \(a_1 = 0\), \(a_5 = 8\), \(d = 2\)
3. כן! \(a_n = 8n - 5\), לכן \(d = 8\)
📝 סיכום
\(a_n = S_n - S_{n-1}\) (עבור \(n \geq 2\))
תמיד לבדוק: \(a_1 = S_1\)
אם \(S_n\) ממעלה 2 → סדרה חשבונית