סטטיסטיקה 5 ממוצע מדדי מרכז
סטטיסטיקה
דף 5: מדדי מרכז - חלק א' (ממוצע)
📊 מהם מדדי מרכז?
מדדי מרכז הם ערכים שמתארים את ה"מרכז" או ה"אמצע" של קבוצת נתונים.
שלושת מדדי המרכז העיקריים:
📊
ממוצע
📍
חציון
🏆
שכיח
📊 ממוצע חשבוני - נתונים גולמיים
ממוצע = סכום כל הנתונים חלקי מספר הנתונים
\(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}\)
✏️ דוגמה 1:
ציוני 5 תלמידים: 70, 85, 90, 75, 80
\(\bar{x} = \frac{70 + 85 + 90 + 75 + 80}{5} = \frac{400}{5} = 80\)
הממוצע: 80
💡 סימונים:
- \(\bar{x}\) (x עם קו) = ממוצע המדגם
- \(\mu\) (מיו) = ממוצע האוכלוסייה
⚖️ ממוצע משוקלל - מטבלת שכיחויות
כשהנתונים בטבלת שכיחויות, משתמשים בממוצע משוקלל:
\(\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{n}\)
✏️ דוגמה 2: מספר אחים של 30 תלמידים
| מס' אחים (x) | שכיחות (f) | x · f |
|---|---|---|
| 0 | 3 | 0 × 3 = 0 |
| 1 | 12 | 1 × 12 = 12 |
| 2 | 10 | 2 × 10 = 20 |
| 3 | 4 | 3 × 4 = 12 |
| 4 | 1 | 4 × 1 = 4 |
| סה"כ | n = 30 | Σ(xf) = 48 |
\(\bar{x} = \frac{48}{30} = 1.6\)
הממוצע: 1.6 אחים
📊 ממוצע לנתונים מקובצים (רציף)
כשהנתונים בקבוצות, משתמשים באמצע הקבוצה (\(x_i\)) כמייצג:
\(\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{n}\)
כאשר \(x_i\) = אמצע הקבוצה
✏️ דוגמה 3: ציוני 40 תלמידים
| קבוצה | אמצע (xᵢ) | שכיחות (fᵢ) | xᵢ · fᵢ |
|---|---|---|---|
| 50-59 | 54.5 | 4 | 218 |
| 60-69 | 64.5 | 8 | 516 |
| 70-79 | 74.5 | 12 | 894 |
| 80-89 | 84.5 | 10 | 845 |
| 90-99 | 94.5 | 6 | 567 |
| סה"כ | n = 40 | 3040 | |
\(\bar{x} = \frac{3040}{40} = 76\)
הממוצע: 76
⚠️ שימו לב:
זהו ממוצע משוער - לא יודעים את הערכים המדויקים בכל קבוצה, אז משתמשים באמצע הקבוצה.
📋 תכונות הממוצע
| תכונה | הסבר | דוגמה |
|---|---|---|
| הוספת קבוע | מוסיפים k לכל נתון → הממוצע גדל ב-k | \(\bar{x} = 80\), מוסיפים 5 → \(\bar{x}_{new} = 85\) |
| כפל בקבוע | כופלים כל נתון ב-k → הממוצע נכפל ב-k | \(\bar{x} = 80\), כופלים ב-2 → \(\bar{x}_{new} = 160\) |
| סכום סטיות | סכום הסטיות מהממוצע = 0 | \(\sum (x_i - \bar{x}) = 0\) |
| רגיש לקיצוניים | ערכים קיצוניים משפיעים על הממוצע | 10, 10, 10, 100 → ממוצע = 32.5 |
⚖️ ממוצע משוקלל כללי
✏️ דוגמה 4: חישוב ציון סופי
מבחן (60%): 85, עבודה (25%): 90, נוכחות (15%): 100
\(\bar{x} = \frac{85 \times 60 + 90 \times 25 + 100 \times 15}{60 + 25 + 15}\)
\(\bar{x} = \frac{5100 + 2250 + 1500}{100} = \frac{8850}{100} = 88.5\)
הציון הסופי: 88.5
✏️ דוגמה 5: ממוצע של שתי קבוצות
כיתה א': 25 תלמידים, ממוצע 78
כיתה ב': 30 תלמידים, ממוצע 82
מה הממוצע הכללי?
\(\bar{x} = \frac{25 \times 78 + 30 \times 82}{25 + 30} = \frac{1950 + 2460}{55} = \frac{4410}{55} = 80.18\)
הממוצע הכללי: 80.18
שימו לב: לא (78+82)/2 = 80 כי הקבוצות לא שוות בגודל!
💡 טיפים למבחן
גולמי: \(\frac{\sum x}{n}\)
טבלה: \(\frac{\sum xf}{n}\)
מקובץ: השתמשו באמצע הקבוצה
📝 סיכום דף 5
\(\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot f_i}{n}\)
בנתונים מקובצים: \(x_i\) = אמצע הקבוצה