סטטיסטיקה: מדדי מרכז ופיזור - מדדי מרכז (מיקום מרכ
📊 מדדי מרכז (מיקום מרכזי)
מדדי מרכז מתארים את "המרכז" של התפלגות הנתונים - ערך טיפוסי או מייצג.
📈 1. ממוצע (Mean) - x̄
ממוצע = סכום הערכים ÷ מספר הערכים
x̄ = (Σxᵢ) / n = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n
x̄ = (Σxᵢ) / n = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n
דוגמה: ציוני 5 תלמידים: 70, 80, 85, 90, 100
x̄ = (70 + 80 + 85 + 90 + 100) / 5 = 425 / 5 = 85
x̄ = (70 + 80 + 85 + 90 + 100) / 5 = 425 / 5 = 85
ממוצע משוקלל (מטבלת שכיחויות)
x̄ = (Σfᵢ·xᵢ) / n = (f₁·x₁ + f₂·x₂ + ...) / Σfᵢ
דוגמה: טבלת שכיחויות של ציונים:
x̄ = 1570 / 20 = 78.5
| ציון (x) | שכיחות (f) | f·x |
|---|---|---|
| 60 | 2 | 120 |
| 70 | 5 | 350 |
| 80 | 8 | 640 |
| 90 | 4 | 360 |
| 100 | 1 | 100 |
| סה"כ | n=20 | Σf·x=1570 |
⚖️ 2. חציון (Median) - Me
החציון הוא הערך שמחלק את הנתונים הממוינים לשני חלקים שווים:
50% מהערכים קטנים ממנו, 50% גדולים ממנו.
50% מהערכים קטנים ממנו, 50% גדולים ממנו.
n אי-זוגי: Me = הערך במיקום (n+1)/2
n זוגי: Me = ממוצע שני הערכים האמצעיים = (x_{n/2} + x_{n/2+1}) / 2
n זוגי: Me = ממוצע שני הערכים האמצעיים = (x_{n/2} + x_{n/2+1}) / 2
🏆 3. שכיח (Mode) - Mo
השכיח הוא הערך בעל השכיחות הגבוהה ביותר - הערך שמופיע הכי הרבה פעמים.
דוגמאות:
• נתונים: 2, 3, 3, 3, 5, 7 → Mo = 3 (מופיע 3 פעמים)
• נתונים: 1, 2, 2, 3, 3, 4 → Mo = 2 ו-3 (דו-שכיחי)
• נתונים: 1, 2, 3, 4, 5 → אין שכיח (כל ערך מופיע פעם אחת)
• נתונים: 2, 3, 3, 3, 5, 7 → Mo = 3 (מופיע 3 פעמים)
• נתונים: 1, 2, 2, 3, 3, 4 → Mo = 2 ו-3 (דו-שכיחי)
• נתונים: 1, 2, 3, 4, 5 → אין שכיח (כל ערך מופיע פעם אחת)
⚖️ השוואה בין המדדים
| מדד | יתרונות | חסרונות | מתי להשתמש? |
|---|---|---|---|
| ממוצע x̄ | משתמש בכל הנתונים יציב במדגמים |
מושפע מערכים קיצוניים | התפלגות סימטרית ללא ערכים חריגים |
| חציון Me | עמיד לקיצוניים מתאים לאורדינלי |
לא משתמש בכל המידע | יש ערכים קיצוניים התפלגות א-סימטרית |
| שכיח Mo | מתאים לכל סולם קל למצוא |
עלול לא להיות יחיד לא יציב |
משתנים קטגוריאליים |
⚠️ זכרו:
• ממוצע רגיש לערכים קיצוניים - תצפית אחת יכולה לשנות אותו משמעותית!
• חציון עמיד - לא מושפע מערכים קיצוניים
• כשיש אסימטריה חזקה, החציון מייצג יותר טוב את "המרכז"
• ממוצע רגיש לערכים קיצוניים - תצפית אחת יכולה לשנות אותו משמעותית!
• חציון עמיד - לא מושפע מערכים קיצוניים
• כשיש אסימטריה חזקה, החציון מייצג יותר טוב את "המרכז"
💡 דוגמה קלאסית:
משכורות ב-10 עובדים: 8,000 | 9,000 | 9,500 | 10,000 | 10,500 | 11,000 | 11,500 | 12,000 | 15,000 | 100,000 (מנכ"ל)
• ממוצע: 19,650 ₪ (מוטה בגלל המנכ"ל!)
• חציון: 10,750 ₪ (מייצג יותר טוב)
• שכיח: אין (כל ערך מופיע פעם אחת)
משכורות ב-10 עובדים: 8,000 | 9,000 | 9,500 | 10,000 | 10,500 | 11,000 | 11,500 | 12,000 | 15,000 | 100,000 (מנכ"ל)
• ממוצע: 19,650 ₪ (מוטה בגלל המנכ"ל!)
• חציון: 10,750 ₪ (מייצג יותר טוב)
• שכיח: אין (כל ערך מופיע פעם אחת)
🔧 נוסחאות מיוחדות
ממוצע של שתי קבוצות
x̄_כללי = (n₁·x̄₁ + n₂·x̄₂) / (n₁ + n₂)
תיקון ממוצע אחרי שינוי ערך
x̄_חדש = x̄_ישן + (ערך_חדש - ערך_ישן) / n
דוגמה: ממוצע 10 ציונים הוא 80. התגלה שציון 70 נרשם בטעות במקום 90.
x̄_חדש = 80 + (90 - 70) / 10 = 80 + 2 = 82
x̄_חדש = 80 + (90 - 70) / 10 = 80 + 2 = 82
OpenBook © 2025 © רוית הלפנבאום