סטטיסטיקה התפלגות נורמלית ציון תקן (Z-Score) וטבלת

סטטיסטיקה התפלגות נורמלית ציון תקן (Z-Score) וטבלת

📐 ציון תקן (Z-Score) וטבלת Z

🔄 מהו ציון תקן?

ציון תקן (Z) אומר לנו כמה סטיות תקן ערך מסוים רחוק מהממוצע.

הוא מאפשר להמיר כל התפלגות נורמלית להתפלגות נורמלית תקנית עם μ=0 ו-σ=1.

נוסחת ציון תקן:

Z = (X − μ) / σ
התפלגות מקורית X ~ N(μ, σ²) למשל: ציונים ~ N(70, 10²) X = 85 Z = (X-μ)/σ סטנדרטיזציה התפלגות תקנית Z ~ N(0, 1) ממוצע = 0, סט"ת = 1 Z = (85-70)/10 = 1.5
דוגמה: ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם μ=70 ו-σ=10.
מהו ציון התקן של תלמיד שקיבל 85?

Z = (85 − 70) / 10 = 15/10 = 1.5

פירוש: הציון 85 נמצא 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע.

📋 קריאת טבלת Z

טבלת Z נותנת את השטח (ההסתברות) משמאל לערך Z נתון.
כלומר: P(Z ≤ z) - ההסתברות שמשתנה Z יהיה קטן או שווה ל-z.
z Φ(z) השטח בטבלה 0

איך קוראים את הטבלה?

שלב 1: מחפשים את השורה לפי ספרת היחידות והעשיריות של Z (למשל 1.5)
שלב 2: מחפשים את העמודה לפי ספרת המאיות (למשל 0.00)
שלב 3: הערך בטבלה הוא P(Z ≤ z)
דוגמה: מצאו P(Z ≤ 1.50)

בטבלה: שורה 1.5, עמודה 0.00 → Φ(1.50) = 0.9332

כלומר: 93.32% מהערכים נמצאים מתחת ל-Z=1.5

🧮 חישובי הסתברויות נפוצים

סוג החישוב נוסחה דוגמה
P(Z ≤ z) קריאה ישירה מהטבלה P(Z ≤ 1.5) = 0.9332
P(Z ≥ z) 1 − Φ(z) P(Z ≥ 1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668
P(Z ≤ −z) 1 − Φ(z) (סימטריה) P(Z ≤ −1.5) = 0.0668
P(a ≤ Z ≤ b) Φ(b) − Φ(a) P(0 ≤ Z ≤ 1.5) = 0.9332 − 0.5 = 0.4332
P(Z ≤ z) קריאה ישירה P(Z ≥ z) 1 − Φ(z) P(Z ≤ −z) סימטריה: 1−Φ(z) P(a ≤ Z ≤ b) Φ(b) − Φ(a)
⚠️ טיפים חשובים:
  • הטבלה נותנת תמיד שטח משמאל
  • ניצלים את הסימטריה: P(Z ≤ −z) = P(Z ≥ z)
  • תמיד ציירו את העקומה לפני חישוב!
  • Φ(0) = 0.5 (חצי מהשטח משמאל ל-0)

🔄 מציון גולמי להסתברות - התהליך המלא

שלב 1: המרה לציון תקן: Z = (X − μ) / σ
שלב 2: ציור העקומה וסימון השטח המבוקש
שלב 3: קריאה מהטבלה וחישוב ההסתברות
דוגמה מלאה:
משקל תינוקות ~ N(3200, 400²) גרם. מה ההסתברות שתינוק ישקול יותר מ-3600 גרם?

שלב 1: Z = (3600 − 3200) / 400 = 400/400 = 1

שלב 2: מחפשים P(X > 3600) = P(Z > 1)

שלב 3: P(Z > 1) = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

תשובה: כ-15.87% מהתינוקות ישקלו יותר מ-3600 גרם.

OpenBook © 2025 © רוית הלפנבאום