סטטיסטיקה התפלגות נורמלית בעיות הפוכות - מהסתברות

סטטיסטיקה התפלגות נורמלית בעיות הפוכות - מהסתברות

🔄 בעיות הפוכות - מהסתברות לציון

בבעיות הפוכות נתונה ההסתברות (השטח) ואנחנו צריכים למצוא את הערך X.

זה ההפך מהתהליך הרגיל שבו נתון X ומחפשים הסתברות.

בעיה ישירה נתון: X מחפשים: P (הסתברות) X → Z → טבלה → P בעיה הפוכה נתון: P (הסתברות) מחפשים: X P → טבלה → Z → X

📝 שלבי הפתרון

שלב 1: זיהוי סוג ההסתברות (משמאל, מימין, או בין שני ערכים)
שלב 2: המרת ההסתברות לשטח משמאל (אם צריך)
שלב 3: חיפוש ה-Z בטבלה (קריאה הפוכה!)
שלב 4: המרה חזרה ל-X: X = μ + Z·σ
נוסחת ההמרה ההפוכה:

X = μ + Z · σ

📊 סוגי בעיות הפוכות

סוג 1: "מהו הציון שמתחתיו X%?"

X = ? P = 0.75 "75% מתחת ל-X"
דוגמה: ציוני מבחן ~ N(70, 10²). מהו הציון שמתחתיו 75% מהתלמידים?

שלב 1: מחפשים בטבלה שטח של 0.75 ← Z ≈ 0.67

שלב 2: X = μ + Z·σ = 70 + 0.67×10 = 70 + 6.7 = 76.7

תשובה: 75% מהתלמידים קיבלו פחות מ-76.7

סוג 2: "מהו הציון שמעליו X%?"

X = ? 10% "10% העליונים"
דוגמה: גובה סטודנטים ~ N(170, 8²). מהו הגובה של 10% הגבוהים ביותר?

שלב 1: 10% מעל = 90% מתחת → מחפשים 0.90 בטבלה ← Z ≈ 1.28

שלב 2: X = 170 + 1.28×8 = 170 + 10.24 = 180.24

תשובה: 10% העליונים גבוהים מ-180.24 ס"מ

סוג 3: "מהו הציון שמתחתיו X%?" (כשהשטח קטן מ-0.5)

X = ? 15% "15% התחתונים"
דוגמה: משכורות ~ N(12000, 2000²). מהו השכר של 15% המשתכרים הנמוכים?

שלב 1: מחפשים 0.15 בטבלה ← לא מוצאים ישירות!
פתרון: P(Z ≤ -z) = 0.15 → P(Z ≥ z) = 0.15 → P(Z ≤ z) = 0.85
בטבלה 0.85 ← Z ≈ 1.04, לכן Z = −1.04

שלב 2: X = 12000 + (−1.04)×2000 = 12000 − 2080 = 9920

תשובה: 15% משתכרים פחות מ-9,920 ₪

💡 ערכי Z נפוצים לשינון

אחוז מתחת ערך Z שימוש נפוץ
50% 0 החציון
84.13% 1.00 סטיית תקן אחת מעל
90% 1.28 עשירון עליון
95% 1.645 5% עליונים
97.5% 1.96 2.5% עליונים
99% 2.33 1% עליונים
⚠️ טעויות נפוצות:
  • שוכחים להמיר "מעליו" ל"מתחתיו" (1 − P)
  • שוכחים את הסימן השלילי כש-X קטן מ-μ
  • מחליפים בין Z ל-X בנוסחה
  • לא מציירים את העקומה לפני הפתרון

🎯 סיכום התהליך

בעיה ישירה

X נתון → Z = (X−μ)/σ → טבלה → P		 ⇄ בעיה הפוכה

P נתון → טבלה → Z → X = μ + Z·σ

OpenBook © 2025 © רוית הלפנבאום