טריגומטריה - נוסחת שטח משולש S = ½ab·sin(γ)
טריגונומטריה במישור
דף 21: נוסחת שטח משולש S = ½ab·sin(γ)
⭐ נוסחת השטח הטריגונומטרית
S = ½ · a · b · sin(γ)
שטח = מחצית מכפלת שתי צלעות כפול סינוס הזווית שביניהן
📝 הוכחה
נוסחת שטח משולש רגילה: S = ½ · בסיס · גובה
נניח שהבסיס הוא c והגובה הוא h.
מהגדרת הסינוס במשולש שנוצר:
sin(γ) = h / b → h = b · sin(γ)
נציב בנוסחת השטח:
S = ½ · a · h = ½ · a · b · sin(γ) ✓
🔄 שלוש גרסאות של הנוסחה
S = ½ · a · b · sin(C)
S = ½ · a · c · sin(B)
S = ½ · b · c · sin(A)
💡 הכלל: מכפילים שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן
✏️ דוגמה
שאלה: במשולש ABC, AB = 8, AC = 6, והזווית A = 30°. מהו שטח המשולש?
פתרון:
S = ½ · AB · AC · sin(A)
S = ½ · 8 · 6 · sin(30°)
S = ½ · 8 · 6 · ½
S = 12 יח"ר
💡 מקרים מיוחדים
זווית 90°:
S = ½ · a · b · sin(90°) = ½ · a · b · 1 = ½ab
(זו הנוסחה הרגילה למשולש ישר זווית!)
משולש שווה צלעות עם צלע a:
S = ½ · a · a · sin(60°) = ½a² · (√3/2) = (√3/4)a²
📝 סיכום דף 21
S = ½ab · sin(C)
מחצית מכפלת שתי צלעות × סינוס הזווית שביניהן
עובד לכל משולש!