טריג במשולש ישר זווית יישומים: שווה שוקיים/צלעות

טריג במשולש ישר זווית יישומים: שווה שוקיים/צלעות

טריגונומטריה במשולש ישר זווית

דף 8: יישומים - משולש שווה שוקיים ושווה צלעות

🔺 משולש שווה שוקיים

a a b h α β β

תכונות:

  • שתי שוקיים שוות: a = a
  • שתי זוויות בסיס שוות: β = β
  • הגובה לבסיס חוצה את הבסיס וחוצה את זווית הראש

📐 נוסחאות חשובות

גובה לבסיס

h = a · sin(β)

או: h = a · cos(α/2)

חצי בסיס

b/2 = a · cos(β)

או: b/2 = a · sin(α/2)

מפיתגורס

h² + (b/2)² = a²

🔺 משולש שווה צלעות

a a a h 60° 60° 60°

תכונות:

  • כל הצלעות שוות: a
  • כל הזוויות שוות: 60°
  • הגובה חוצה את הבסיס ל-a/2

⭐ נוסחאות למשולש שווה צלעות

h = (√3/2) · a

הוכחה:

h = a · sin(60°) = a · (√3/2)

S = (√3/4) · a²

הוכחה:

S = ½ · a · h = ½ · a · (√3/2)a = (√3/4)a²

✏️ דוגמה

שאלה: במשולש שווה שוקיים, השוק a = 10 וזווית הבסיס β = 70°. מצא את הגובה לבסיס ואת אורך הבסיס.

פתרון:

h = a · sin(β) = 10 · sin(70°) ≈ 10 · 0.94 = 9.4

b/2 = a · cos(β) = 10 · cos(70°) ≈ 10 · 0.34 = 3.4

b ≈ 6.8

📝 סיכום דף 8

שווה שוקיים: h = a·sin(β), b/2 = a·cos(β)

שווה צלעות: h = (√3/2)a, S = (√3/4)a²

הגובה לבסיס חוצה את הבסיס ואת זווית הראש