וקטור אלגברי הוא n-יית סדורה של מספרים:

\(\vec{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)\)

💡 ההבדל בין וקטור גיאומטרי לאלגברי:

דוגמאות:

וקטור במישור (2D): \(\vec{v} = (3, -2)\)

וקטור במרחב (3D): \(\vec{u} = (1, 4, -3)\)

וקטור ב-\(\mathbb{R}^4\): \(\vec{w} = (2, 0, -1, 5)\)

במרחב יש שלושה צירים מאונכים זה לזה:

• ציר x - שמאל/ימין
• ציר y - קדימה/אחורה
• ציר z - למעלה/למטה

⭐ וקטורי יחידה סטנדרטיים במרחב:

💡 כל וקטור כצירוף של וקטורי יחידה:

\(\vec{v} = (a, b, c) = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}\)

דוגמה: \((3, -2, 5) = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}\)

➕ חיבור:

\(\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3)\)

➖ חיסור:

\(\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2, u_3 - v_3)\)

✖️ כפל בסקלר:

\(k \cdot \vec{v} = (k \cdot v_1, k \cdot v_2, k \cdot v_3)\)

דוגמאות:

\((1, 2, 3) + (4, -1, 2) = (5, 1, 5)\)

\((5, 3, -2) - (2, 1, 4) = (3, 2, -6)\)

\(3 \cdot (2, -1, 4) = (6, -3, 12)\)

במישור (2D):

\(|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\)

במרחב (3D):

\(|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\)

כללי (nD):

\(|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}\)

דוגמאות:

\(|(3, 4)| = \sqrt{9 + 16} = 5\)

\(|(1, 2, 2)| = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\)

\(|(2, -1, 0, 2)| = \sqrt{4 + 1 + 0 + 4} = 3\)

המרחק בין \(A(x_1, y_1, z_1)\) ל-\(B(x_2, y_2, z_2)\):

\(|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)

דוגמה: מרחק בין \(A(1, 2, 3)\) ל-\(B(4, 6, 3)\):

\(|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = 5\)

וקטור יחידה בכיוון \(\vec{v}\):

\(\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\)

דוגמה: מצאו וקטור יחידה בכיוון \(\vec{v} = (1, 2, 2)\):

וקטורים שווים:

\((a, b, c) = (d, e, f) \iff a=d, b=e, c=f\)

וקטורים מקבילים:

\(\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} = k \cdot \vec{v}\) לסקלר k כלשהו

דוגמה: האם \((2, 4, -6)\) ו-\((1, 2, -3)\) מקבילים?

\((2, 4, -6) = 2 \cdot (1, 2, -3)\) ✓

כן, מקבילים! (k = 2)

בחלק הבא: מכפלה סקלרית ומכפלה וקטורית