אם \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) ו-\(\vec{v} = (v_1, v_2)\) אז:

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2\)

💡 שימו לב:

• התוצאה היא מספר (סקלר), לא וקטור!
• לכן נקראת "מכפלה סקלרית" (או מכפלה פנימית)
• סימון נוסף: \(\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle\)

דוגמאות:

\((3, 2) \cdot (4, 5) = 3 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = 12 + 10 = 22\)

\((1, -2) \cdot (6, 3) = 1 \cdot 6 + (-2) \cdot 3 = 6 - 6 = 0\)

\((-2, 4) \cdot (3, -1) = -6 - 4 = -10\)

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta\)

כאשר θ היא הזווית בין הוקטורים

💡 משמעות הסימן:

• \(\vec{u} \cdot \vec{v} > 0\) → זווית חדה (\(\theta < 90°\))
• \(\vec{u} \cdot \vec{v} < 0\) → זווית קהה (\(\theta > 90°\))
• \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) → זווית ישרה (\(\theta = 90°\))

\(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)

💡 במילים:

שני וקטורים מאונכים (ניצבים) אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה לאפס.

דוגמה:

בדקו אם \(\vec{u} = (3, 2)\) ו-\(\vec{v} = (4, -6)\) מאונכים:

מהנוסחה \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta\) מקבלים:

\(\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\)

✏️ דוגמה: מצאו את הזווית בין \(\vec{u} = (1, 0)\) ו-\(\vec{v} = (1, 1)\).

וקטורי היחידה הסטנדרטיים:

\(\hat{i} = (1, 0)\),   \(\hat{j} = (0, 1)\)

ההיטל של \(\vec{u}\) על \(\vec{v}\):

\(\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \cdot \vec{v}\)

אורך ההיטל (סקלרי):

\(|\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u}| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|}\)

דוגמה 1: מצאו x כך ש-\(\vec{u} = (x, 3)\) ו-\(\vec{v} = (2, -4)\) יהיו מאונכים.

דוגמה 2: במשולש ABC נתון: \(A(1,2)\), \(B(4,1)\), \(C(2,5)\). מצאו את הזווית A.

בחלק הבא: יישומים - נקודת אמצע, חלוקת קטע, הוכחות