📘 חלק א': דוגמה קלאסית – סכום n המספרים הטבעיים

נוכיח את הנוסחה הידועה:

\(1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}\)

1️⃣ שלב הבסיס

עבור \(n=1\):

\(1 = \frac{1\cdot(1+1)}{2} = 1\)

נכון ✔️

2️⃣ צעד האינדוקציה

הנחת אינדוקציה: נניח כי הטענה נכונה עבור \(n=k\), כלומר:

\(1+2+\dots+k = \frac{k(k+1)}{2}\)

נוכיח שהיא נכונה עבור \(n=k+1\). מתחילים מהצד השמאלי:

\(1+2+3+\dots+k+(k+1)\)

משתמשים בהנחת האינדוקציה:

\(=\frac{k(k+1)}{2} + (k+1)\)

מוציאים גורם משותף \(k+1\):

\(\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = (k+1)\left(\frac{k}{2}+1\right) = (k+1)\frac{k+2}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}\)

וזה בדיוק הצד הימני עבור \(n=k+1\). ✔️ לכן הנוסחה נכונה לכל \(n\).

📐 חלק ב': סכום ריבועים – דוגמה פדגוגית מצוינת

נוכיח:

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

1️⃣ שלב הבסיס

עבור \(n=1\): \(1^2 = \frac{1\cdot2\cdot3}{6} = 1\). נכון ✔️

2️⃣ צעד האינדוקציה

מניחים:

\(1^2+2^2+\dots+k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)

נוכיח עבור \(n=k+1\):

\(1^2+2^2+\dots+k^2+(k+1)^2\)

\(=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2\)

מוציאים \(k+1\) גורם משותף:

\(=\,(k+1)\left(\frac{k(2k+1)}{6} + (k+1)\right)\)

מאחדים לביטוי אחד:

\((k+1)\left(\frac{2k^2+k + 6k + 6}{6}\right) = (k+1)\left(\frac{2k^2 + 7k + 6}{6}\right)\)

מפרקים את המונה:

\(2k^2 + 7k + 6 = (2k+3)(k+2)\)

\(\Rightarrow ( k+1 ) ( k+2 ) ( 2k+3 ) / 6 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)

וזו בדיוק הנוסחה עבור \(n=k+1\). ✔️

🧱 חלק ג': מקרה פדגוגי חשוב – סכום שנבנה בהדרגה (בכל שלב נוסף איבר אחד)

נבחן סכום שמופיע רבות בשאלות:

\(a_1 + (a_1+a_2) + (a_1+a_2+a_3) + \dots + (a_1+\dots+a_n)\)

זהו סכום שבו כל איבר מכיל את כל האיברים הקודמים. דוגמה קלאסית: בסכום הראשון יש איבר אחד, בשני — שניים, בשלישי — שלושה, וכן הלאה.

במקרה הפשוט שבו \(a_i = i\), נקבל:

\(1 + (1+2) + (1+2+3) + \dots + (1+2+\dots+n)\)

הסכום הזה שווה:

\(\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\)

הוכחה באינדוקציה

שלב הבסיס: עבור \(n=1\):

\(1 = \frac{1\cdot2\cdot3}{6} = 1\)

הנחת אינדוקציה: נניח כי:

\(1 + (1+2) + \dots + (1+2+\dots+k) = \frac{k(k+1)(k+2)}{6}\)

נוכיח עבור \(n=k+1\):

\(\frac{k(k+1)(k+2)}{6} + (1+2+\dots+(k+1))\)

משתמשים בנוסחה לסכום טבעיים:

\(1+\dots+(k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{k(k+1)(k+2)}{6} + \frac{(k+1)(k+2)}{2}\)

מוציאים גורם משותף \( (k+1)(k+2) \):

\((k+1)(k+2)\left(\frac{k}{6} + \frac{1}{2}\right)\)

\(=\,(k+1)(k+2)\frac{k+3}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6}\)

וזו בדיוק הנוסחה עבור \(n=k+1\). ✔️

🎀 חלק ד': סכום גיאומטרי חלקי – דוגמה נוספת לאינדוקציה

נוכיח:

\(1 + r + r^2 + \dots + r^{n} = \frac{r^{n+1}-1}{r-1}\qquad (r\neq1)\)

1️⃣ שלב הבסיס

עבור \(n=0\) מתקיים: \(1 = \frac{r^{1}-1}{r-1}\) ✔️

2️⃣ צעד האינדוקציה

מניחים:

\(1+r+\dots+r^k = \frac{r^{k+1}-1}{r-1}\)

מוכיחים עבור \(n=k+1\):

\(\frac{r^{k+1}-1}{r-1} + r^{k+1} = \frac{r^{k+1}-1 + r^{k+2}-r^{k+1}}{r-1} = \frac{r^{k+2}-1}{r-1}\)

וזו בדיוק הנוסחה עבור \(n=k+1\). ✔️