דפי תרגול עם פתרונות מלאים
📝 אינדוקציה מתמטית – דפי תרגול ופתרונות מלאים
תרגול הדרגתי: מהבנה בסיסית של מבנה ההוכחה, דרך סכומים סופיים וגיאומטריים, ועד זיהוי הוכחות שגויות
📘 חלק א': תרגילים בסיסיים – מבנה ההוכחה
מטרת החלק: להתרגל למבנה הקלאסי – שלב בסיס, הנחת אינדוקציה, צעד אינדוקטיבי.
תרגיל 1: אי-שוויון פשוט
הוכח/י באינדוקציה שלכל מספר טבעי \(n \ge 1\) מתקיים:
\(2^n \ge n+1\)
פתרון מלא:
שלב הבסיס: עבור \(n=1\): \(2^1 = 2\) ו־\(1+1=2\), ולכן: \(2^1 \ge 1+1\). ✔
הנחת אינדוקציה: נניח כי עבור מספר טבעי כלשהו \(k \ge 1\) מתקיים: \(2^k \ge k+1\).
צעד אינדוקטיבי: נוכיח שעבור \(k+1\) מתקיים: \(2^{k+1} \ge (k+1)+1 = k+2\).
\(2^{k+1} = 2\cdot 2^k\)
מהנחת האינדוקציה: \(2^k \ge k+1\), לכן:
\(2^{k+1} = 2\cdot 2^k \ge 2(k+1) = 2k+2\)
כעת נשווה: \(2k+2 \ge k+2 \iff k \ge 0\), וזה נכון לכל \(k \ge 1\). לכן: \(2^{k+1} \ge k+2\) – כפי שרצינו.
מסקנה: הטענה נכונה לכל \(n \ge 1\). ✔
תרגיל 2: סכום מספרים אי-זוגיים
הוכח/י שלכל מספר טבעי \(n\) מתקיים:
\(1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2\)
פתרון מלא (עם רעיון ויזואלי):
שלב הבסיס: \(n=1\): \(1 = 1^2\). ✔
הנחת אינדוקציה: נניח כי עבור \(n=k\) מתקיים: \(1+3+5+\dots+(2k-1) = k^2\)
צעד אינדוקטיבי: נוכיח עבור \(n=k+1\):
\(1+3+5+\dots+(2k-1)+(2(k+1)-1)\)
\(= k^2 + (2k+1)\)
\(= k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2\)
קיבלנו בדיוק את \((k+1)^2\). ✔ לכן הטענה נכונה לכל \(n\).
הערה פדגוגית: אפשר להראות תמונה של ריבוע \(n\times n\) שנבנה “שכבה אחרי שכבה” – כל שכבה חדשה היא מספר אי-זוגי של נקודות.
📐 חלק ב': סכומים סופיים – עבודה עם נוסחאות
כאן התלמידים מתרגלים “לשחק” עם נוסחאות – גם לזהות אותן וגם להוכיח.
תרגיל 3: סכום ריבועים
הוכח/י באינדוקציה:
\(1^2+2^2+3^2+\dots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
פתרון מלא (מתומצת אך מדויק):
בסיס: עבור \(n=1\):
\(1^2 = 1 = \frac{1\cdot2\cdot3}{6}\)
הנחת אינדוקציה: נניח שלכל \(k\) מתקיים:
\(1^2+2^2+\dots+k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)
צעד אינדוקטיבי: נוכיח עבור \(k+1\):
\(1^2+\dots+k^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 \)
נוציא גורם משותף \(k+1\):
\((k+1)\left(\frac{k(2k+1)}{6} + (k+1)\right) = (k+1)\frac{2k^2+7k+6}{6} \)
\(2k^2+7k+6=(2k+3)(k+2)\)
\(\Rightarrow \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)
וזו בדיוק הנוסחה עבור \(n=k+1\). ✔
תרגיל 4: סכום שנבנה צעד־אחרי־צעד
הוכח/י:
\(1 + (1+2) + (1+2+3) + \dots + (1+2+\dots+n) = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\)
פתרון:
בסיס: \(n=1\): \(1 = \frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1\) ✔
הנחת אינדוקציה: נניח שלכל \(k\) מתקיים:
\(1+(1+2)+\dots+(1+2+\dots+k) =\frac{k(k+1)(k+2)}{6}\)
צעד: נוסיף את האיבר הבא \(1+2+\dots+(k+1)\):
\(\frac{k(k+1)(k+2)}{6} + \frac{(k+1)(k+2)}{2}\)
נעביר למכנה משותף ו־\((k+1)(k+2)\) גורם משותף:
\((k+1)(k+2)\left(\frac{k}{6} + \frac{1}{2}\right) = (k+1)(k+2)\frac{k+3}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6} \)
וזה בדיוק הצד הימני עבור \(n=k+1\). ✔
🎀 חלק ג': סכומים אינסופיים – סדרה גיאומטרית
כאן עובדים רשמית: תנאי התכנסות, נוסחת סכום אינסופי, וקשר לסכום חלקי.
תרגיל 5: קבע/י האם הסדרה מתכנסת, ואם כן – חשב/י את הסכום
- \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots\)
- \(3+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\dots\)
- \(5-10+20-40+\dots\)
פתרון:
נזכור: סדרה גיאומטרית אינסופית \(a+ar+ar^2+\dots\) מתכנסת רק אם \(|r|<1\), ואז: \(S_\infty=\frac{a}{1-r}\).
- \(a=1,\ r=\frac{1}{2}\) \(|r|=\frac{1}{2}<1\) → מתכנסת. \(S_\infty=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\)
- \(a=3,\ r=\frac{1}{3}\) \(|r|=\frac{1}{3}<1\) → מתכנסת. \(S_\infty=\frac{3}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{\frac{2}{3}}=\frac{9}{2}=4.5\)
- \(a=5,\ r=-2\) \(|r|=2>1\) → האיברים לא שואפים ל־0, הסדרה לא מתכנסת, אין סכום אינסופי.
🔍 חלק ד': זיהוי הוכחות תקינות וזיהוי מהלכים שגויים
בחלק זה המטרה המרכזית היא מודעות – לא רק “לפתור”, אלא לבדוק אם ההוכחה בנויה נכון.
תרגיל 6: מצא/י את הטעות בהוכחה
נתונה הטענה: \(1+2+3+\dots+n = n^2\) (כמובן שהיא שגויה, אבל תלמיד “שוכח” לבדוק).
ה“הוכחה” של תלמיד:
1. עבור \(n=1\): \(1 = 1^2\) ✔
2. נניח ש־ \(1+2+3+\dots+k = k^2\) 3. אז: \(1+2+3+\dots+k+(k+1) = k^2+(k+1)\)
4. “ברור” ש־\(k^2+(k+1)=(k+1)^2\). 5. לכן הטענה נכונה.
פתרון – איפה הטעות?
נבדוק את שלב 4:
\(k^2+(k+1) \stackrel{?}{=} (k+1)^2\)
(k+1)^2 = k^2+2k+1
אבל: \(k^2+(k+1)=k^2+k+1\) וזה לא שווה ל־\(k^2+2k+1\) אלא אם כן \(k=0\). לכן המעבר קרס, וההוכחה שגויה.
זו דוגמה מצוינת להראות לתלמידים שאי אפשר “להחליק” שלב אלגברי – גם אם המבנה האינדוקטיבי נראה לכאורה בסדר.
תרגיל 7: האם ההוכחה הבאה תקינה? נמק/י
הטענה: לכל \(n \ge 1\):
\(3^n \ge 1+2n\)
הוכחה:
בסיס: \(n=1\): \(3^1=3 \ge 3 = 1+2\cdot1\) ✔
הנחת אינדוקציה: \(3^k \ge 1+2k\)
צעד:
\(3^{k+1}=3\cdot3^k\) לפי הנחת האינדוקציה: \(3^{k+1} \ge 3(1+2k)=3+6k\)
נצא להשוות ל־\(1+2(k+1)=2k+3\). עבור \(k\ge1\) מתקיים: \(3+6k \ge 2k+3\) כי \(6k \ge 2k\). לכן: \(3^{k+1} \ge 1+2(k+1)\) .
פתרון:
כל השלבים תקינים:
- המקרה הבסיסי נבדק ומדויק.
- הנחת האינדוקציה מנוסחת נכון עבור \(k\).
- בצעד האינדוקטיבי נעשה שימוש נכון בהנחה.
- ההשוואה \(3+6k \ge 2k+3\) נכונה עבור כל \(k\ge1\).
מסקנה: זוהי הוכחה אינדוקטיבית תקינה.