יסודות הטריגונומטריה במשולש ישר זווית
📐 נוסחת שטח משולש טריגונומטרית
4-5 יח"ל מתמטיקה |
1. הנוסחה הטריגונומטרית
S = ½ · a · b · sin γ
📌 הסבר:
שטח משולש שווה למחצית מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן.
שטח משולש שווה למחצית מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן.
2. שלוש צורות הנוסחה
💡 כלל זכירה:
שטח = חצי × צלע × צלע × סינוס הזווית שביניהן
(הצלעות הן אלה שיוצרות את הזווית!)
שטח = חצי × צלע × צלע × סינוס הזווית שביניהן
(הצלעות הן אלה שיוצרות את הזווית!)
3. הוכחת הנוסחה
שלבי ההוכחה:
1. הנוסחה הבסיסית: S = ½ · בסיס · גובה = ½ · c · h
2. במשולש הישר זווית: sin γ = h/b → h = b · sin γ
3. הצבה: S = ½ · c · (b · sin γ) = ½ · b · c · sin γ
1. הנוסחה הבסיסית: S = ½ · בסיס · גובה = ½ · c · h
2. במשולש הישר זווית: sin γ = h/b → h = b · sin γ
3. הצבה: S = ½ · c · (b · sin γ) = ½ · b · c · sin γ
4. מתי משתמשים בנוסחה?
| מצב | נתונים | נוסחה לשימוש |
|---|---|---|
| צ.ז.צ | 2 צלעות והזווית שביניהן | S = ½ab sin C |
| ז.צ.ז | 2 זוויות וצלע | קודם למצוא צלע נוספת (סינוסים), אז שטח |
| צ.צ.צ | 3 צלעות | קודם למצוא זווית (קוסינוסים), אז שטח |
5. דוגמאות מפורטות
📝 דוגמה 1: חישוב שטח ישיר
במשולש ABC: a = 6, b = 8, γ = 30°. חשב את שטח המשולש.
פתרון:
S = ½ · a · b · sin γ
S = ½ · 6 · 8 · sin 30°
S = ½ · 6 · 8 · 0.5
S = 12 יח"ר
במשולש ABC: a = 6, b = 8, γ = 30°. חשב את שטח המשולש.
פתרון:
S = ½ · a · b · sin γ
S = ½ · 6 · 8 · sin 30°
S = ½ · 6 · 8 · 0.5
S = 12 יח"ר
📝 דוגמה 2: מציאת צלע מתוך שטח
שטח משולש ABC הוא 20 יח"ר. נתון: b = 8, γ = 60°. מצא את a.
פתרון:
S = ½ · a · b · sin γ
20 = ½ · a · 8 · sin 60°
20 = ½ · a · 8 · (√3/2)
20 = 2√3 · a
a = 20 / (2√3) = 10/√3 = 10√3/3 ≈ 5.77
שטח משולש ABC הוא 20 יח"ר. נתון: b = 8, γ = 60°. מצא את a.
פתרון:
S = ½ · a · b · sin γ
20 = ½ · a · 8 · sin 60°
20 = ½ · a · 8 · (√3/2)
20 = 2√3 · a
a = 20 / (2√3) = 10/√3 = 10√3/3 ≈ 5.77
📝 דוגמה 3: מציאת זווית מתוך שטח
שטח משולש ABC הוא 15 יח"ר. נתון: a = 5, b = 12. מצא את הזווית γ (חדה).
פתרון:
S = ½ · a · b · sin γ
15 = ½ · 5 · 12 · sin γ
15 = 30 · sin γ
sin γ = 15/30 = 0.5
γ = arcsin(0.5) = 30°
שטח משולש ABC הוא 15 יח"ר. נתון: a = 5, b = 12. מצא את הזווית γ (חדה).
פתרון:
S = ½ · a · b · sin γ
15 = ½ · 5 · 12 · sin γ
15 = 30 · sin γ
sin γ = 15/30 = 0.5
γ = arcsin(0.5) = 30°
6. שטח מרובע
📌 שיטה:
לחישוב שטח מרובע (מקבילית, מעוין, טרפז וכו') - מחלקים לשני משולשים ומחשבים כל אחד בנפרד.
לחישוב שטח מרובע (מקבילית, מעוין, טרפז וכו') - מחלקים לשני משולשים ומחשבים כל אחד בנפרד.
7. שטח מקבילית
נוסחה מיוחדת למקבילית:
S = a · b · sin α
(ללא החצי! כי מקבילית = 2 משולשים זהים)
S = a · b · sin α
(ללא החצי! כי מקבילית = 2 משולשים זהים)
8. נוסחאות שטח נוספות
| נוסחה | שימוש | הערות |
|---|---|---|
| S = ½ · בסיס · גובה | כשיש גובה | הנוסחה הבסיסית |
| S = ½ · a · b · sin C | צ.ז.צ | הנוסחה הטריגונומטרית |
| S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] | צ.צ.צ | נוסחת הרון (s = חצי היקף) |
| S = abc / (4R) | כשיש מעגל חוסם | R = רדיוס מעגל חוסם |
| S = r · s | כשיש מעגל חסום | r = רדיוס מעגל חסום, s = חצי היקף |
💡 טיפ לבחירת נוסחה:
• נתונות 2 צלעות והזווית שביניהן → נוסחה טריגונומטרית
• נתונות 3 צלעות → נוסחת הרון
• נתונים בסיס וגובה → נוסחה בסיסית
• נתונות 2 צלעות והזווית שביניהן → נוסחה טריגונומטרית
• נתונות 3 צלעות → נוסחת הרון
• נתונים בסיס וגובה → נוסחה בסיסית
🎯 לסיכום: נוסחת השטח הטריגונומטרית S = ½ab sin C היא כלי יעיל לחישוב שטחים במשולשים ומצולעים!