טריגונומטריה - זהויות טריגונומטריות
🔢 זהויות טריגונומטריות
4-5 יח"ל מתמטיקה |
1. זהויות יסוד
📌 הזהות הפיתגורית
sin²α + cos²α = 1
נגזרות:
- sin²α = 1 - cos²α
- cos²α = 1 - sin²α
📌 הגדרת הטנגנס
tan α = sin α / cos α
(מוגדר כאשר cos α ≠ 0)
📌 זהות נוספת
1 + tan²α = 1/cos²α
2. זהויות סכום והפרש זוויות
sin(α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β
cos(α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β
cos(α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β
💡 טיפ לזכירה:
• סינוס: "מעורב" - sin·cos + cos·sin (הסימן נשמר)
• קוסינוס: "אותו סוג" - cos·cos - sin·sin (הסימן מתהפך)
• סינוס: "מעורב" - sin·cos + cos·sin (הסימן נשמר)
• קוסינוס: "אותו סוג" - cos·cos - sin·sin (הסימן מתהפך)
📝 דוגמה: חשב את sin 75°
פתרון:
sin 75° = sin(45° + 30°)
= sin45°·cos30° + cos45°·sin30°
= (√2/2)·(√3/2) + (√2/2)·(1/2)
= √6/4 + √2/4
= (√6 + √2)/4
פתרון:
sin 75° = sin(45° + 30°)
= sin45°·cos30° + cos45°·sin30°
= (√2/2)·(√3/2) + (√2/2)·(1/2)
= √6/4 + √2/4
= (√6 + √2)/4
3. זהויות זווית כפולה
📌 סינוס של זווית כפולה
sin 2α = 2 sin α · cos α
📌 קוסינוס של זווית כפולה - 3 צורות!
cos 2α = cos²α - sin²α
cos 2α = 2cos²α - 1
cos 2α = 1 - 2sin²α
cos 2α = 2cos²α - 1
cos 2α = 1 - 2sin²α
📌 נוסחאות הורדת חזקה (נגזרות מזווית כפולה):
- cos²α = (1 + cos 2α) / 2
- sin²α = (1 - cos 2α) / 2
4. זהויות סכום והפרש פונקציות
sin α + sin β
= 2 sin((α+β)/2) · cos((α-β)/2)
= 2 sin((α+β)/2) · cos((α-β)/2)
sin α - sin β
= 2 cos((α+β)/2) · sin((α-β)/2)
= 2 cos((α+β)/2) · sin((α-β)/2)
cos α + cos β
= 2 cos((α+β)/2) · cos((α-β)/2)
= 2 cos((α+β)/2) · cos((α-β)/2)
cos α - cos β
= -2 sin((α+β)/2) · sin((α-β)/2)
= -2 sin((α+β)/2) · sin((α-β)/2)
💡 טיפ לזכירה:
הסכום/הפרש של הזוויות תמיד מחולק ב-2.
• סכום → קוסינוס של ההפרש בצד ימין
• הפרש → סינוס של ההפרש בצד ימין
הסכום/הפרש של הזוויות תמיד מחולק ב-2.
• סכום → קוסינוס של ההפרש בצד ימין
• הפרש → סינוס של ההפרש בצד ימין
5. זהויות עזר נוספות
| שם | זהות | שימוש |
|---|---|---|
| טנגנס של סכום | tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα·tanβ) | חישוב tan של סכום זוויות |
| טנגנס של הפרש | tan(α-β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα·tanβ) | חישוב tan של הפרש זוויות |
| טנגנס זווית כפולה | tan 2α = 2tanα / (1 - tan²α) | חישוב tan של זווית כפולה |
6. אסטרטגיות לפתרון
📝 דוגמה: הוכח ש: (1 + tan²α) · cos²α = 1
פתרון:
אגף שמאל:
= (1 + sin²α/cos²α) · cos²α
= (cos²α + sin²α)/cos²α · cos²α
= cos²α + sin²α
= 1 ✓
פתרון:
אגף שמאל:
= (1 + sin²α/cos²α) · cos²α
= (cos²α + sin²α)/cos²α · cos²α
= cos²α + sin²α
= 1 ✓
🎯 לסיכום: הזהויות הטריגונומטריות הן הכלי המרכזי לפישוט ביטויים ופתרון משוואות!