טריגונומטריה - משפט הסינוסים
📐 משפט הסינוסים
4-5 יח"ל מתמטיקה |
1. ניסוח המשפט
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
(R = רדיוס המעגל החוסם)
(R = רדיוס המעגל החוסם)
📌 הסבר:
היחס בין כל צלע לסינוס הזווית שמולה הוא קבוע ושווה לקוטר המעגל החוסם (2R).
היחס בין כל צלע לסינוס הזווית שמולה הוא קבוע ושווה לקוטר המעגל החוסם (2R).
2. מתי משתמשים במשפט הסינוסים?
3. המקרה המעורפל (צ.צ.ז)
⚠️ זהירות! כאשר נתונות שתי צלעות וזווית שאינה ביניהן, יתכנו מספר אפשרויות!
📌 איך לזהות מקרה מעורפל?
נתונים: צלעות a ו-b, וזווית α (שמול צלע a)
- חשב sin β = (b · sin α) / a
- אם sin β > 1 → אין פתרון
- אם sin β = 1 → פתרון יחיד (β = 90°)
- אם sin β < 1 ו-a ≥ b → פתרון יחיד
- אם sin β < 1 ו-a < b → שני פתרונות אפשריים!
β₁ = arcsin(sin β) וגם β₂ = 180° - β₁
4. דוגמאות מפורטות
📝 דוגמה 1: מציאת צלע (ז.ז.צ)
במשולש ABC: α = 40°, β = 60°, a = 10 ס"מ. מצא את b.
פתרון:
לפי משפט הסינוסים:
a / sin α = b / sin β
10 / sin 40° = b / sin 60°
b = 10 · sin 60° / sin 40°
b = 10 · 0.866 / 0.643
b ≈ 13.47 ס"מ
במשולש ABC: α = 40°, β = 60°, a = 10 ס"מ. מצא את b.
פתרון:
לפי משפט הסינוסים:
a / sin α = b / sin β
10 / sin 40° = b / sin 60°
b = 10 · sin 60° / sin 40°
b = 10 · 0.866 / 0.643
b ≈ 13.47 ס"מ
📝 דוגמה 2: מציאת זווית
במשולש ABC: a = 8, b = 6, α = 50°. מצא את β.
פתרון:
לפי משפט הסינוסים:
sin β / b = sin α / a
sin β = b · sin α / a
sin β = 6 · sin 50° / 8
sin β = 6 · 0.766 / 8 = 0.575
β = arcsin(0.575) ≈ 35.1°
בדיקה: a > b ולכן α > β ✓ (פתרון יחיד)
במשולש ABC: a = 8, b = 6, α = 50°. מצא את β.
פתרון:
לפי משפט הסינוסים:
sin β / b = sin α / a
sin β = b · sin α / a
sin β = 6 · sin 50° / 8
sin β = 6 · 0.766 / 8 = 0.575
β = arcsin(0.575) ≈ 35.1°
בדיקה: a > b ולכן α > β ✓ (פתרון יחיד)
📝 דוגמה 3: מקרה מעורפל
במשולש ABC: a = 7, b = 10, α = 30°. מצא את β.
פתרון:
sin β = b · sin α / a = 10 · sin 30° / 7 = 10 · 0.5 / 7 ≈ 0.714
מכיוון ש-a < b, יש לבדוק שני פתרונות:
β₁ = arcsin(0.714) ≈ 45.6°
β₂ = 180° - 45.6° = 134.4°
בדיקה: α + β₂ = 30° + 134.4° = 164.4° < 180° ✓
לכן שני הפתרונות אפשריים!
במשולש ABC: a = 7, b = 10, α = 30°. מצא את β.
פתרון:
sin β = b · sin α / a = 10 · sin 30° / 7 = 10 · 0.5 / 7 ≈ 0.714
מכיוון ש-a < b, יש לבדוק שני פתרונות:
β₁ = arcsin(0.714) ≈ 45.6°
β₂ = 180° - 45.6° = 134.4°
בדיקה: α + β₂ = 30° + 134.4° = 164.4° < 180° ✓
לכן שני הפתרונות אפשריים!
5. קשר למעגל החוסם
a / sin α = 2R
לכן: a = 2R · sin α
לכן: a = 2R · sin α
💡 שימוש: אם נתון רדיוס המעגל החוסם, ניתן למצוא צלעות ישירות!
🎯 לסיכום: משפט הסינוסים מאפשר לחשב צלעות וזוויות כשיש לנו זוויות וצלע, אך יש לשים לב למקרה המעורפל!