מבחן טכניקה אלגברית

כופלים שני צדדים ב-x

\(3=6x\)

מחלקים את שני הצדדים ב 6

ומקבלים 

x=0.5

כפל צולב: 2(x+1) = 4x, כלומר 2x+2 = 4x. מעבירים אגפים: 2 = 2x, לכן x = 1.

מחפשים שני מספרים שמכפלתם 2·3=6 וסכומם 7.

אלו 6 ו-1.

מפרקים: 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x+3) + 1(x+3) = (2x+1)(x+3).

המונה x² - 4 הוא הפרשי ריבועים = (x-2)(x+2).

מצמצמים את (x-2) ונשאר x+2.

כאשר לשברים יש אותו מכנה, מחברים את המונים:

\( 2/x + 3/x = (2+3)/x = 5/x\)

כופלים מונה במונה ומכנה במכנה

\(\frac{x}{3} ·\frac{6}{x^2}=\frac{6x}{3x^2}=\frac{2}{x}\)

מצמצמים: 6/3 = 2 ו-x/x² = 1/x,

לכן התוצאה \(\frac{2}{x}\)

הגורם המשותף המקסימלי הוא \(3x^2\)

כי: \(6x^3=3x^2 · 2x\)

ו-  \(9x^2=3x^2 · 3\)

לכן  \(6x³ - 9x² = 3x²(2x - 3)\)

זהו נוסחת הפרשי ריבועים a² - b² = (a-b)(a+b).

כאן x² - 9 = x² - 3²   

לכן התוצאה היא (x-3)(x+3)

המכנים לא יכולים להיות אפס, לכן \(x-3 \neq 0\) ו-\(x+1 \neq 0\)

כלומר \(x \neq 3\) וגם \(x \neq -1\)

נציב \(t=x^2\), מקבלים \(t^2-5t+4=0\)

פתרונות: \(t=1\) או \(t=4\)

לכן \(x^2=1\) או \(x^2=4\), כלומר \(x=\pm 1\) או \(x=\pm 2\)

\(x^4 = 16\) נותן \(x^2 = 4\) (לוקחים שורש חיובי)

מ-\(x^2=4\) מקבלים \(x=2\) או \(x=-2\)

סה"כ שני פתרונות ממשיים

מעלים שני צדדים בריבוע: \((\sqrt{x})^2 = 4^2\)

לכן \(x = 16\)

מעלים בריבוע: \(x+5 = 9\), לכן \(x = 4\)

בדיקה: \(\sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3\) ✓

כשמעלים בריבוע, משוואות שונות הופכות לזהות

(למשל \(x=3\) ו-\(x=-3\) שתיהן נותנות \(x^2=9\))

לכן עלולים להיווצר פתרונות שלא מקיימים את המשוואה המקורית

הביטוי שתחת השורש חייב להיות אי-שלילי: \(2x-6 \geq 0\)

לכן \(2x \geq 6\), כלומר \(x \geq 3\)

\(\sqrt{x^2} = |x|\), לכן \(|x| = 5\)

זה אומר \(x = 5\) או \(x = -5\)