אורח מצב צפייה מבחן: הסתברות מותנת - בסיסי

הסתברות מותנת - בסיסי

מבחן הסתברות מותנת בסיסי - הגדרת הסתברות מותנת, נוסחת בייס, עצי הסתברות. הסברים מהבסיס למתחילים.
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 40
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
2.50 נק'

🎯 מהי הסתברות מותנת?
הסתברות מותנת היא:

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הגדרה 🔍

הסתברות מותנת 🎯
ההסתברות לאירוע A
בהינתן שאירוע B קרה

מסומן: P(A|B)

קוראים: "P של A בהינתן B"

שלב 2: דוגמה 📐

דוגמה:

🎲 הטלנו קובייה ויצא מספר זוגי.
מה ההסתברות שיצא 6?

זו הסתברות מותנת!
P(יצא 6 | יצא זוגי)

תשובה: ההסתברות שאירוע יקרה, בהינתן שאירוע אחר כבר קרה

שאלה 2
2.50 נק'

✏️ סימון:
P(A|B) מסמן:

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הסבר הסימון 🔍

P(A|B)
הקו האנכי | אומר:
"בהינתן"

A = מה שאנחנו רוצים
B = מה שאנחנו יודעים

שים לב! 📐

P(A|B) ≠ P(B|A)

הסדר חשוב!

תשובה: ההסתברות ל-A בהינתן ש-B קרה

שאלה 3
2.50 נק'

📐 הנוסחה:
מהי נוסחת ההסתברות המותנת?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הנוסחה 🔍

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

מה זה אומר? 📐

P(A∩B) = ההסתברות ששניהם קורים

P(B) = ההסתברות ש-B קורה

החלוקה: "מצמצמים" את מרחב המדגם רק ל-B

תנאי חשוב! ⚠️

הנוסחה עובדת רק כש-P(B) ≠ 0
(אי אפשר לחלק באפס!)

תשובה: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

שאלה 4
2.50 נק'

🌧️ דוגמה:
"ההסתברות שיהיה קר, בהינתן שיורד גשם"
איך מסמנים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

ניתוח המשפט 🔍

"ההסתברות שיהיה קר,
בהינתן שיורד גשם"

A = קר (מה שרוצים)
B = גשם (מה שיודעים)

P(קר | גשם)

תשובה: P(קר | גשם)

שאלה 5
2.50 נק'

🔄 סדר:
האם P(A|B) = P(B|A)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הסבר 🔍

הסדר משנה! ⚠️
P(A|B) ≠ P(B|A)

בדרך כלל!

דוגמה 📐

P(כלב | חיה) ≠ P(חיה | כלב)

🔹 P(כלב | חיה) - קטן (רק חלק מהחיות הן כלבים)

🔹 P(חיה | כלב) = 1 (כל כלב הוא חיה!)

תשובה: לא בהכרח - הסדר משנה!

שאלה 6
2.50 נק'

🔬 רעיון:
כשמחשבים P(A|B), אנחנו בעצם:

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הרעיון המרכזי 🔍

צמצום מרחב המדגם! 🔬
כשאנחנו יודעים ש-B קרה,
אנחנו מתעלמים מכל
התוצאות שבהן B לא קרה!

עכשיו B הוא ה"עולם" החדש שלנו

תשובה: מצמצמים את מרחב המדגם רק לאירועים ש-B קרה בהם

שאלה 7
2.50 נק'

∩ סימון:
מהו P(A∩B)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הסבר 🔍

A ∩ B
∩ = חיתוך = "וגם"

P(A∩B) = ההסתברות
ששניהם קורים

תשובה: ההסתברות ש-A וגם B קורים

שאלה 8
2.50 נק'

✖️ כלל הכפל:
מהנוסחה P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
נובע:

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גזירת הנוסחה 🔍

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

נכפול ב-P(B):

P(A∩B) = P(A|B) × P(B)

כלל הכפל 📐

ההסתברות ששניהם קורים =

ההסתברות ש-B קורה ×
ההסתברות ש-A קורה בהינתן ש-B קרה

תשובה: P(A∩B) = P(A|B) × P(B)

שאלה 9
2.50 נק'

📊 ערכים:
הסתברות מותנת P(A|B) יכולה להיות:

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הסבר 🔍

כמו כל הסתברות!
0 ≤ P(A|B) ≤ 1

• P(A|B) = 0 → A בלתי אפשרי כש-B קרה
• P(A|B) = 1 → A בטוח כש-B קרה

תשובה: בין 0 ל-1 (כולל)

שאלה 10
2.50 נק'

🎲 דוגמה:
הטלנו קובייה.
ידוע שיצא מספר זוגי (2,4,6).
מה ההסתברות שיצא 4?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍

A = יצא 4
B = יצא זוגי (2,4,6)

מחפשים: P(A|B) = P(4|זוגי)

שלב 2: צמצום מרחב המדגם 📐

ידוע שיצא זוגי

המרחב החדש: {2, 4, 6}

3 אפשרויות בלבד!

שלב 3: חישוב 💭

מתוך {2, 4, 6}
רק 4 מתאים

P(4|זוגי) = 1/3

תשובה: 1/3

שאלה 11
2.50 נק'

🎲 קובייה:
הטלנו קובייה.
ידוע שיצא מספר גדול מ-3 (4,5,6).
מה ההסתברות שיצא זוגי?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המרחב החדש 🔍

ידוע: גדול מ-3

המרחב: {4, 5, 6}

3 אפשרויות

שלב 2: מה זוגי? 📐

מתוך {4, 5, 6}:

זוגיים: 4, 6

2 מתוך 3

שלב 3: תשובה 💭

P(זוגי|גדול מ-3) = 2/3

תשובה: 2/3

שאלה 12
2.50 נק'

🃏 קלפים:
שולפים קלף מחפיסה רגילה (52 קלפים).
ידוע שהקלף אדום (לב/יהלום).
מה ההסתברות שזה לב?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נתונים 🔍

🔴 קלפים אדומים: לב (13) + יהלום (13) = 26

ידוע: הקלף אדום
המרחב החדש: 26 קלפים

שלב 2: חישוב 📐

P(לב|אדום) = 13/26

= 1/2

תשובה: 1/2

שאלה 13
2.50 נק'

📐 נוסחה:
נתון: P(A∩B) = 0.2, P(B) = 0.5.
מהו P(A|B)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנוסחה 🔍

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

שלב 2: הצבה 📐

P(A|B) = 0.2 / 0.5

= 2/5

= 0.4

תשובה: 0.4

שאלה 14
2.50 נק'

📐 נוסחה:
נתון: P(A∩B) = 0.3, P(B) = 0.6.
מהו P(A|B)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב 📐

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

= 0.3 / 0.6

= 0.5

תשובה: 0.5

שאלה 15
2.50 נק'

📐 כלל הכפל:
נתון: P(A|B) = 0.4, P(B) = 0.5.
מהו P(A∩B)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: כלל הכפל 🔍

P(A∩B) = P(A|B) × P(B)

שלב 2: חישוב 📐

P(A∩B) = 0.4 × 0.5

= 0.2

תשובה: 0.2

שאלה 16
2.50 נק'

📊 טבלה:
בכיתה יש 30 תלמידים.
20 אוהבים מתמטיקה, 15 אוהבים פיזיקה.
10 אוהבים את שניהם.
מה P(פיזיקה | מתמטיקה)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנתונים 🔍

🔹 אוהבים מתמטיקה: 20
🔹 אוהבים שניהם: 10

רוצים: P(פיזיקה | מתמטיקה)

שלב 2: הנוסחה 📐

P(פיזיקה | מתמטיקה)

= P(שניהם) / P(מתמטיקה)

= (10/30) / (20/30)

= 10/20

שלב 3: תשובה 💭

= 1/2

תשובה: 1/2

שאלה 17
2.50 נק'

🪙🪙 מטבעות:
מטילים 2 מטבעות.
ידוע שלפחות אחד יצא "עץ".
מה ההסתברות ששניהם "עץ"?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מרחב המדגם המלא 🔍

כל האפשרויות:
עץ-עץ, עץ-פלי, פלי-עץ, פלי-פלי

4 אפשרויות

שלב 2: המרחב המצומצם 📐

"לפחות אחד עץ" =

עץ-עץ, עץ-פלי, פלי-עץ

3 אפשרויות
(הוצאנו את פלי-פלי)

שלב 3: תשובה 💭

P(שניהם עץ | לפחות אחד עץ)

= 1/3

1/3

תשובה: 1/3

שאלה 18
2.50 נק'

🔴🔵 כדורים:
בקופסה: 3 כדורים אדומים, 2 כחולים.
שולפים כדור.
ידוע שהוא לא כחול.
מה ההסתברות שהוא אדום?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח 🔍

הכדורים: 3 אדומים, 2 כחולים

ידוע: לא כחול
לכן: חייב להיות אדום!

שלב 2: מסקנה 📐

אם הכדור לא כחול,
הוא בהכרח אדום!

P(אדום | לא כחול) = 1

תשובה: 1

שאלה 19
2.50 נק'

📐 הפוך:
נתון: P(A|B) = 0.5, P(A∩B) = 0.3.
מהו P(B)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנוסחה 🔍

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

נעביר אגפים:

P(B) = P(A∩B) / P(A|B)

שלב 2: חישוב 📐

P(B) = 0.3 / 0.5

= 0.6

תשובה: 0.6

שאלה 20
2.50 נק'

🎲🎲 שתי קוביות:
מטילים 2 קוביות.
ידוע שהסכום הוא 7.
מה ההסתברות שבקובייה הראשונה יצא 3?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מתי סכום = 7? 🔍

הזוגות שנותנים 7:
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)

6 זוגות

שלב 2: מתי הראשונה = 3? 📐

מתוך הזוגות הנ"ל:

רק (3,4) מתאים

1 מתוך 6

שלב 3: תשובה 💭

P(ראשונה=3 | סכום=7) = 1/6

תשובה: 1/6

שאלה 21
2.50 נק'

🔗 אי-תלות:
שני אירועים A ו-B בלתי תלויים אם:

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הגדרה 🔍

אירועים בלתי תלויים 🔗
A ו-B בלתי תלויים אם:

P(A|B) = P(A)

המידע ש-B קרה
לא משנה את ההסתברות ל-A

נוסחה שקולה 📐

אם בלתי תלויים:

P(A∩B) = P(A) × P(B)

תשובה: P(A|B) = P(A)

שאלה 22
2.50 נק'

🎲🪙 דוגמה:
מטילים קובייה ומטבע.
A = "בקובייה יצא 6"
B = "במטבע יצא עץ"
האם הם תלויים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

ניתוח 🔍

בלתי תלויים! ✓
מה שיוצא בקובייה
לא משפיע על המטבע

ולהפך!

אלו ניסויים נפרדים לגמרי

תשובה: לא - הם בלתי תלויים

שאלה 23
2.50 נק'

🌧️ דוגמה:
A = "יורד גשם"
B = "הרחוב רטוב"
האם הם תלויים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

ניתוח 🔍

תלויים! 🔗
אם יורד גשם,
סביר יותר שהרחוב רטוב!

P(רטוב | גשם) > P(רטוב)

לכן הם תלויים

תשובה: כן - הם תלויים

שאלה 24
2.50 נק'

🔢 חישוב:
A ו-B בלתי תלויים.
P(A) = 0.3, P(B) = 0.4.
מהו P(A∩B)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנוסחה 🔍

לאירועים בלתי תלויים:

P(A∩B) = P(A) × P(B)

שלב 2: חישוב 📐

P(A∩B) = 0.3 × 0.4

= 0.12

תשובה: 0.12

שאלה 25
2.50 נק'

🔍 בדיקה:
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A∩B) = 0.2.
האם A ו-B בלתי תלויים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בדיקה 🔍

בלתי תלויים אם:
P(A) × P(B) = P(A∩B)

שלב 2: חישוב 📐

P(A) × P(B) = 0.5 × 0.4 = 0.2

P(A∩B) = 0.2

0.2 = 0.2 ✓

שלב 3: מסקנה 💭

כן, בלתי תלויים!

תשובה: כן - כי P(A)×P(B) = P(A∩B)

שאלה 26
2.50 נק'

🔍 בדיקה:
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A∩B) = 0.3.
האם A ו-B בלתי תלויים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בדיקה 🔍

P(A) × P(B) = 0.5 × 0.4 = 0.2

P(A∩B) = 0.3

0.2 ≠ 0.3 ✗

שלב 2: מסקנה 📐

לא בלתי תלויים! (תלויים)

תשובה: לא - כי P(A)×P(B) ≠ P(A∩B)

שאלה 27
2.50 נק'

🔢 חישוב:
A ו-B בלתי תלויים.
P(A) = 0.6.
מהו P(A|B)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הסבר 🔍

זו ההגדרה של אי-תלות! 💡
אם בלתי תלויים:

P(A|B) = P(A)

לכן: P(A|B) = 0.6

תשובה: 0.6

שאלה 28
2.50 נק'

⛓️ שרשרת:
מטילים מטבע הוגן 3 פעמים.
ההטלות בלתי תלויות.
מה ההסתברות ל-3 "עץ"?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: אי-תלות 🔍

ההטלות בלתי תלויות

לכן נכפול:

שלב 2: חישוב 📐

P(עץ,עץ,עץ) = P(עץ) × P(עץ) × P(עץ)

= 1/2 × 1/2 × 1/2

= 1/8

תשובה: 1/8

שאלה 29
2.50 נק'

🔴🔵 ללא החזרה:
בקופסה: 3 אדומים, 2 כחולים.
שולפים 2 כדורים ללא החזרה.
האם השליפות בלתי תלויות?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הסבר 🔍

תלויות! 🔗
ללא החזרה = תלות!

אם שלפתי כדור אדום,
נשארו פחות אדומים בקופסה!

ההסתברות בשליפה השנייה השתנתה

תשובה: לא - השליפה הראשונה משפיעה על השנייה

שאלה 30
2.50 נק'

🔴🔵 עם החזרה:
בקופסה: 3 אדומים, 2 כחולים.
שולפים 2 כדורים עם החזרה.
האם השליפות בלתי תלויות?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הסבר 🔍

בלתי תלויות! ✓
עם החזרה = אי-תלות!

אחרי כל שליפה מחזירים
הקופסה חוזרת למצב המקורי

כל שליפה = אותה קופסה

תשובה: כן - כל שליפה מאותה קופסה

שאלה 31
2.50 נק'

🏥 מבחן רפואי:
1% מהאוכלוסייה חולים במחלה.
בדיקה מזהה חולה נכון ב-90%.
מה P(בדיקה חיובית | חולה)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

ניתוח 🔍

השאלה שואלת:

"הבדיקה מזהה חולה נכון ב-90%"

זה בדיוק P(בדיקה + | חולה)!

תשובה 📐

P(בדיקה + | חולה) = 0.9

תשובה: 0.9 (90%)

שאלה 32
2.50 נק'

⚽ כדורגל:
קבוצה מנצחת 60% מהמשחקים בבית.
40% מהמשחקים שלה בבית.
מה ההסתברות לניצחון בבית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי 🔍

P(ניצחון | בית) = 0.6
P(בית) = 0.4

רוצים: P(ניצחון ∩ בית)

שלב 2: כלל הכפל 📐

P(ניצחון ∩ בית) = P(ניצחון|בית) × P(בית)

= 0.6 × 0.4

= 0.24

תשובה: 0.24

שאלה 33
2.50 נק'

📚 לימודים:
70% מהתלמידים למדו למבחן.
מבין הלומדים, 80% עברו.
מה P(עבר ∩ למד)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנתונים 🔍

P(למד) = 0.7
P(עבר | למד) = 0.8

שלב 2: כלל הכפל 📐

P(עבר ∩ למד) = 0.8 × 0.7

= 0.56

תשובה: 0.56

שאלה 34
2.50 נק'

☀️🌧️ מזג אוויר:
ההסתברות לגשם מחר = 0.3.
אם יורד גשם, ההסתברות לפקקים = 0.8.
מה P(גשם ופקקים)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנתונים 🔍

P(גשם) = 0.3
P(פקקים | גשם) = 0.8

שלב 2: כלל הכפל 📐

P(גשם ∩ פקקים) = 0.3 × 0.8

= 0.24

תשובה: 0.24

שאלה 35
2.50 נק'

🔴🔵 שליפה:
4 כדורים אדומים, 3 כחולים.
שולפים 2 ללא החזרה.
מה P(השני אדום | הראשון אדום)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: אחרי השליפה הראשונה 🔍

הראשון היה אדום

נשארו בקופסה:
3 אדומים, 3 כחולים

סה"כ: 6 כדורים

שלב 2: חישוב 📐

P(שני אדום | ראשון אדום)

= 3/6 = 1/2

תשובה: 3/6 = 1/2

שאלה 36
2.50 נק'

🔴🔴 שניהם אדומים:
4 אדומים, 3 כחולים.
שולפים 2 ללא החזרה.
מה P(שניהם אדומים)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: כלל הכפל 🔍

P(שניהם אדומים)

= P(ראשון אדום) × P(שני אדום | ראשון אדום)

שלב 2: חישוב 📐

= 4/7 × 3/6

= 4/7 × 1/2

= 4/14 = 2/7

שלב 3: תשובה 💭

2/7

תשובה: 12/42 = 2/7

שאלה 37
2.50 נק'

🌳 עץ הסתברות:
עץ הסתברות עוזר לחשב:

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הסבר 🔍

עץ הסתברות 🌳
כלי ויזואלי שעוזר לארגן
ולחשב הסתברויות מותנות

📍 כל ענף = אירוע
📍 כפל לאורך הענף
📍 חיבור בין ענפים

תשובה: הסתברויות מותנות ומשולבות

שאלה 38
2.50 נק'

🍕 מסעדה:
60% מהלקוחות מזמינים פיצה.
מבין מזמיני הפיצה, 30% מזמינים קולה.
לקוח אקראי הזמין פיצה.
מה ההסתברות שהזמין גם קולה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

ניתוח 🔍

השאלה נותנת ישירות:

"מבין מזמיני הפיצה,
30% מזמינים קולה"

= P(קולה | פיצה) = 0.30

תשובה 📐

0.30

תשובה: 0.30

שאלה 39
2.50 נק'

🎰 הגרלה:
בכד יש 10 כדורים ממוספרים 1-10.
שולפים כדור.
ידוע שהמספר זוגי (2,4,6,8,10).
מה P(גדול מ-7 | זוגי)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: המרחב המצומצם 🔍

ידוע: זוגי

המרחב: {2, 4, 6, 8, 10}

5 אפשרויות

שלב 2: גדול מ-7 📐

מתוך {2, 4, 6, 8, 10}:

גדול מ-7: 8, 10

2 מתוך 5

שלב 3: תשובה 💭

P(>7 | זוגי) = 2/5

תשובה: 2/5

שאלה 40
2.50 נק'

🌟 סיכום:
מה נכון לגבי הסתברות מותנת?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סיכום המבחן 🔍

הסתברות מותנת - סיכום! 🎯

הנוסחאות החשובות 📐

הנוסחה הבסיסית:
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

כלל הכפל:
P(A∩B) = P(A|B) × P(B)

אי-תלות:
P(A|B) = P(A) ⟺ בלתי תלויים
P(A∩B) = P(A) × P(B)

נקודות חשובות 💭

✅ הסדר חשוב: P(A|B) ≠ P(B|A)
✅ מצמצמים את מרחב המדגם
✅ ללא החזרה = תלות
✅ עם החזרה = אי-תלות

40 שאלות מעולות! 🎉

תשובה: כל התשובות נכונות

🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 40 הושלמו