guest-84baede4963446779fa2db3b21a28e2b@guest.local (ID: 14140) מבחן: בעיות קיצון - זיהוי נתון ופונקצית מטרה - שאלות בסיסיות

בעיות קיצון - זיהוי נתון ופונקצית מטרה - שאלות בסיסיות

מבחן בעיות קיצון בסיסי - 30 שאלות: זיהוי נתון ופונקציית מטרה, משתנים, קשרים, תחום הגדרה. שלבי פתרון מהבסיס.

**חלק 1 (שאלות 1-10):** זיהוי בסיסי של נתון ומטרה - גדר למלבן, חוט, סכום ומכפלה, קופסה, בעיות כלכליות **חלק 2 (שאלות 11-20):** זיהוי משתנים וקשרים ביניהם - משתנה עצמאי/תלוי, קשרים, תחום הגדרה, זיהוי טעויות נפוצות **חלק 3 (שאלות 21-30):** בעיות מורכבות ושאלת סיכום - גינה ליד קיר, חלוקת חוט, גליל, חלון, וסיכום השלבים
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 29
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
3.45 נק'

🌾 בעיית החקלאי:
לחקלאי יש 100 מטר גדר.
הוא רוצה לגדר שטח מרבי בצורת מלבן.

מהו הנתון (המגבלה) בבעיה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

הסבר יומיומי:

🔒 נתון = מה שקבוע ולא משתנה
🔒 זה מה שאנחנו "תקועים" איתו!

החקלאי יכול לבנות צורות שונות,
אבל יש לו רק 100 מטר גדר -
זה מה שמגביל אותו!

שלב 2: שרטוט 📊

שטח מרבי?S = ?הנתון: 100 מטר גדר (היקף קבוע)

שלב 3: זיהוי מתמטי 🎯

🔒 הנתון (המגבלה):
היקף = 100 מטר

במתמטיקה:
2a + 2b = 100

🎯 פונקצית המטרה:
שטח מקסימלי

במתמטיקה:
S = a·b → MAX

שלב 4: המשמעות 💭

זה כמו משחק:

✅ יש לך כמות קבועה של גדר (100 מטר)
✅ אתה רוצה "לתפוס" הכי הרבה שטח שאפשר

השאלה: איך תחלק את הגדר בין האורך והרוחב?

תשובה נכונה: היקף הגדר הוא 100 מטר

שאלה 2
3.45 נק'

📏 בעיית החוט:
יש לנו 60 ס"מ חוט.
אנחנו רוצים ליצור מלבן בעל שטח מקסימלי.

מהי פונקצית המטרה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המושג 🔍

הסבר יומיומי:

🎯 פונקצית מטרה = מה שאנחנו רוצים למקסם או למזער
🎯 זה ה"יעד" שלנו בבעיה!

כאן אנחנו רוצים שהשטח יהיה
הכי גדול שאפשר!

שלב 2: שרטוט המצב 📊

abמטרה: שטח מקסימלי!S = a·bנתון: 60 ס"מ חוט2a + 2b = 60

שלב 3: ניתוח מתמטי 🎯

🔒 הנתון: היקף קבוע = 60 ס"מ
במתמטיקה: 2a + 2b = 60

🎯 פונקצית המטרה:
S = a·b → MAX

נרצה להגיע לנוסחה S(a) ולמצוא את המקסימום!

תשובה נכונה: השטח - רוצים למקסם אותו

שאלה 3
3.45 נק'

🔢 בעיית המספרים:
נתון מספר שסכומו עם ריבוע עצמו הוא מינימלי.

איך נכתוב את פונקצית המטרה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תרגום מילים למתמטיקה 🔍

הסבר יומיומי:

תרגום צעד אחר צעד:

🔹 "מספר" → x
🔹 "ריבוע עצמו" → x²
🔹 "סכומו" → חיבור (+)
🔹 "מינימלי" → MIN

שלב 2: בניית הפונקציה 📊

xf(x)f(x) = x + x²MINמטרה:למצוא MIN

שלב 3: הנוסחה המתמטית 🎯

תרגום המילים למתמטיקה:

• מספר = x
• ריבוע עצמו = x²
• סכומו = x + x²
• מינימלי = מחפשים MIN

🎯 פונקצית המטרה:
f(x) = x + x² → MIN

תשובה נכונה: f(x) = x + x² למצוא MIN

שאלה 4
3.45 נק'

📦 בעיית הקופסה:
רוצים לבנות קופסה ללא מכסה מריבוע פח בגודל 12×12 ס"מ,
על ידי חיתוך ריבועים מהפינות.

מהו הנתון בבעיה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המצב 🔍

הסבר יומיומי:

🔒 הנתון = מה שקבוע מראש
🔒 יש לנו פח בגודל מסוים - זה לא משתנה!

כל מה שאנחנו יכולים לשנות הוא:
גודל הריבועים שנחתוך מהפינות

שלב 2: שרטוט הפח 📊

12 ס"מ12 ס"מxxxxחותכים ריבועים x×xקופסההנתון: פח 12×12 ס"מ (קבוע!)

שלב 3: ניתוח מתמטי 🎯

🔒 הנתון (המגבלה):
גודל הפח = 12×12 ס"מ

🎯 פונקצית המטרה:
נפח הקופסה → MAX

כאשר:
x = גובה הקופסה (גודל הריבוע שחותכים)
V = x(12-2x)² → MAX

המגבלה: 0 < x < 6

תשובה נכונה: גודל הפח המקורי 12×12 ס"מ

שאלה 5
3.45 נק'

🏪 בעיית החנות:
חנות מוכרת 100 מוצרים ביום במחיר 50 ₪.
לכל הורדה של 5 ₪ נמכרים 20 מוצרים נוספים.

מהי פונקצית המטרה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת בעיות כלכליות 🔍

הסבר יומיומי:

בבעיות עסקיות תמיד רוצים למקסם:

💰 הכנסה = מחיר פר יחידה × כמות

יש פה איזון מעניין:
🔻 מחיר נמוך → יותר מכירות
🔺 מחיר גבוה → פחות מכירות

שלב 2: שרטוט המצב 📊

מצב התחלתי:מחיר: 50 ₪כמות: 100הכנסה = 5,000 ₪שינוימצב חדש:מחיר: 50-5x ₪כמות: 100+20xהכנסה = ?🎯 פונקצית המטרה:R(x) = (50-5x)(100+20x)המטרה: הכנסה מקסימלית!צריך למצוא את x שממקסם את R(x)(x = מספר ההנחות של 5 ₪)

שלב 3: ניתוח מתמטי 🎯

נסמן: x = מספר ההנחות (כל הנחה = 5 ₪)

🎯 פונקצית המטרה - הכנסה:
R(x) = מחיר × כמות
R(x) = (50 - 5x)(100 + 20x) → MAX

🔍 הנתון: הקשר בין מחיר לכמות

זו בעיית אופטימיזציה כלכלית קלאסית!

תשובה נכונה: ההכנסה הכוללת (מחיר × כמות)

שאלה 6
3.45 נק'

📐 בעיה גיאומטרית:
רוצים לחסום מלבן בעל שטח מרבי
בתוך משולש ישר-זווית עם ניצבים באורך 6 ו-8.

מהו הנתון?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המצב 🔍

הסבר יומיומי:

🔒 הנתון: המשולש בגודל קבוע
🔒 המלבן חייב להיות בתוך המשולש

אנחנו יכולים לבחור מלבנים שונים,
אבל המשולש מגביל אותנו!

שלב 2: שרטוט 📊

86xyהנתון: משולש 6×8המטרה: שטח מלבן מקסימלי

שלב 3: ניתוח מתמטי 🎯

🔒 הנתון (המגבלה):
מידות המשולש: 6 ו-8

המלבן חייב להישאר בתוך המשולש!

🎯 פונקצית המטרה:
S = x·y → MAX

הקשר: y/x = 6/8 (משולשים דומים)

תשובה נכונה: מידות המשולש: 6 ו-8

שאלה 7
3.45 נק'

🥫 בעיית הגליל:
יש לנו עיגול בעל שטח 100π ס"מ².
רוצים ליצור ממנו גליל בעל נפח מקסימלי.

מהי פונקצית המטרה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

הסבר יומיומי:

🔒 הנתון: יש לנו חומר בכמות קבועה (שטח 100π)
🎯 המטרה: לבנות גליל בעל נפח הכי גדול!

צריך לבחור איך "לקפל" את החומר

שלב 2: שרטוט 📊

שטח = 100πhr🎯 המטרה: V = πr²h → MAX

שלב 3: ניתוח מתמטי 🎯

🔒 הנתון: שטח העיגול = 100π ס"מ²
πr² = 100π → r² = 100

🎯 פונקצית המטרה:
V = πr²h → MAX

נצטרך למצוא קשר בין r ל-h
דרך הנתון!

תשובה נכונה: נפח הגליל - למקסם אותו

שאלה 8
3.45 נק'

📍 בעיית המרחק:
נתונה הנקודה (3, 4).
רוצים למצוא נקודה על ציר ה-x
שהמרחק שלה מ-(3, 4) הוא מינימלי.

מהי פונקצית המטרה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

הסבר יומיומי:

🔒 הנתון: הנקודה קבועה ב-(3, 4)
🔒 אנחנו מחפשים רק על ציר ה-x

🎯 המטרה: למצוא את הנקודה הכי קרובה!
רוצים שהמרחק יהיה מינימלי

שלב 2: שרטוט 📊

xy(3, 4)ארוךMIN!ארוך(x, 0)🎯 המטרה: d(x) = √[(x-3)² + 16] → MIN

שלב 3: ניתוח מתמטי 🎯

נקודה על ציר ה-x: (x, 0)
הנקודה הקבועה: (3, 4)

🎯 פונקצית המטרה - מרחק:
d(x) = √[(x-3)² + (0-4)²] → MIN

d(x) = √[(x-3)² + 16]

רוצים למזער את המרחק!

תשובה נכונה: המרחק מהנקודה - למזער אותו

שאלה 9
3.45 נק'

📐 בעיה קלאסית:
נתון מלבן בעל היקף 40 ס"מ.
רוצים שהשטח שלו יהיה מקסימלי.

מהו הנתון והמטרה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבחנה בין נתון למטרה 🔍

הסבר יומיומי:

איך מזהים?

🔒 נתון = מה שקבוע בבעיה
🔒 זה המגבלה שלנו

🎯 מטרה = מה שרוצים למקסם/למזער
🎯 זה מה שאנחנו מחפשים!

שלב 2: ניתוח הבעיה 📊

בבעיה שלנו:

"נתון מלבן בעל היקף 40 ס"מ"
→ זה הנתון! מה שקבוע!

"רוצים שהשטח יהיה מקסימלי"
→ זו המטרה! מה שאנחנו מחפשים!

שלב 3: כתיבה מתמטית 🎯

🔒 הנתון (המגבלה):
2a + 2b = 40
או: a + b = 20

🎯 פונקצית המטרה:
S = a·b → MAX

נציב מהנתון: b = 20 - a
ונקבל: S(a) = a(20 - a) → MAX

שלב 4: שרטוט 📊

נתון: היקף = 40מטרה: S = ?למצוא את a, b שממקסמים את S

תשובה נכונה: נתון: היקף 40, מטרה: שטח MAX

שאלה 10
3.45 נק'

🔢 זיהוי משתנה:
במלבן בעל היקף 50 ס"מ,
אורך אחד הוא x והשטח הוא S.

מהו המשתנה העצמאי?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת מושגים 🔍

הסבר יומיומי:

🎮 משתנה עצמאי = מה שאנחנו בוחרים
→ זה ה"כפתור" שאנחנו מסובבים!

📊 משתנה תלוי = מה שמשתנה בעקבות
→ זה התוצאה!

שלב 2: ניתוח הבעיה 📊

אנחנו בוחרים: xxS = f(x)(תלוי ב-x)🎮 x = משתנה עצמאי (אנחנו קובעים)📊 S = משתנה תלוי (תוצאה)

שלב 3: הקשר המתמטי 🎯

היקף = 50
2x + 2b = 50
→ b = 25 - x

השטח:
S(x) = x·(25 - x)

S תלוי ב-x
x הוא עצמאי - אנחנו בוחרים אותו!

תשובה נכונה: x (האורך שאנחנו בוחרים)

שאלה 11
3.45 נק'

🔗 קשר בין משתנים:
סכום שני מספרים הוא 30.
המספר הראשון x, השני y.

מה הקשר ביניהם?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תרגום לשון המתמטיקה 🔍

הסבר יומיומי:

"סכום שני מספרים הוא 30"

במילים: x + y = 30

רוצים לבטא את y דרך x?
→ y = 30 - x

שלב 2: המשמעות 📊

030xx30-xx + (30-x) = 30 ✓

שלב 3: בדיקה 🎯

דוגמאות:

אם x = 10 → y = 30 - 10 = 20
סכום: 10 + 20 = 30 ✓

אם x = 15 → y = 30 - 15 = 15
סכום: 15 + 15 = 30 ✓

y = 30 - x

תשובה נכונה: y = 30 - x

שאלה 12
3.45 נק'

📦 בעיית הקופסה:
חותכים ריבועים בגודל x מפח 10×10,
ומקפלים לקופסה.

מה הביטוי לגובה הקופסה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המבנה 🔍

הסבר יומיומי:

כשחותכים ריבועים מהפינות
ואז מקפלים למעלה,

גודל החיתוך = גובה הקופסה!

🔲 חתכנו x → 📦 גובה x

שלב 2: שרטוט המצב 📊

10 ס"מxxxגובהגובה הקופסה = x (גודל החיתוך)

שלב 3: ההיגיון 🎯

כשמקפלים את הדפנות למעלה:

🔲 חתכנו ריבוע בגודל x
📦 הדופן עולה בגובה x

גובה = x

(זה בדיוק גודל החיתוך!)

תשובה נכונה: x (גודל החיתוך)

שאלה 13
3.45 נק'

📦 המשך בעיית הקופסה:
חתכנו ריבועים x×x מפח 10×10.

מה אורך בסיס הקופסה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח המצב 🔍

הסבר יומיומי:

התחלנו עם פח באורך 10

חתכנו x משני הצדדים!
→ x מימין + x משמאל = 2x

נשאר: 10 - 2x

שלב 2: שרטוט מפורט 📊

10 ס"מxx10 - 2xבסיס הקופסהאורך הבסיס = 10 - 2x

שלב 3: חישוב לוגי 🎯

אורך מקורי: 10 ס"מ

חיתוכים:
• מצד ימין: x
• מצד שמאל: x
• סה"כ: 2x

אורך בסיס:
10 - 2x

באותו אופן גם הרוחב: 10 - 2x

תשובה נכונה: 10 - 2x

שאלה 14
3.45 נק'

📦 סיום בעיית הקופסה:
גובה: x
אורך ורוחב בסיס: 10-2x

מה הביטוי לנפח הקופסה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת נפח 🔍

הסבר יומיומי:

נפח תיבה מלבנית:

V = אורך × רוחב × גובה

בבעיה שלנו:
אורך = 10-2x
רוחב = 10-2x
גובה = x

שלב 2: בניית הנוסחה 📊

10-2x10-2xxV = אורך × רוחב × גובהV = (10-2x) · (10-2x) · x

שלב 3: פישוט 🎯

V = אורך × רוחב × גובה

V = (10-2x) · (10-2x) · x

פישוט:
V = x(10-2x)²

זו פונקצית המטרה שלנו!
נרצה למצוא את ה-x שממקסם אותה.

תשובה נכונה: V = x(10-2x)²

שאלה 15
3.45 נק'

🎯 הגבלות על המשתנה:
בבעיית הקופסה: חותכים ריבועים x מפח 12×12.

מהו תחום ההגדרה של x?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת ההגבלות 🔍

הסבר יומיומי:

צריך לחשוב: מה הגיוני?

✅ x חייב להיות חיובי (לא יכול לחתוך גודל שלילי!)
✅ x לא יכול להיות גדול מדי

המגבלה: אחרי החיתוך חייב להישאר משהו!

שלב 2: ניתוח מפורט 📊

12 ס"מxx > 0 (חיובי)אם x גדול מדי:לא נשאר שטח לבסיס!12 - 2x > 0חישוב:12 - 2x > 02x < 12x < 6

שלב 3: המסקנה 🎯

תנאי 1: x > 0 (חיובי)

תנאי 2: צריך להישאר בסיס
12 - 2x > 0
12 > 2x
6 > x

תחום ההגדרה:
0 < x < 6

תשובה נכונה: 0 < x < 6

שאלה 16
3.45 נק'

💰 בעיה כלכלית:
מחיר מוצר: p = 100 - 2q
(q = כמות שנמכרת)

מה הביטוי להכנסה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: כלל בסיסי בכלכלה 🔍

הסבר יומיומי:

💰 הכנסה = כמה כסף נכנס

הנוסחה הבסיסית:
הכנסה = מחיר × כמות

R = p × q

שלב 2: הצבה 📊

מחיר (p)100 - 2q×כמות (q)qהכנסה (R)R = q(100 - 2q)

שלב 3: פישוט אופציונלי 🎯

R = מחיר × כמות

R = p · q

R = (100 - 2q) · q

R = q(100 - 2q)

או בפריסה: R = 100q - 2q²

זו פרבולה - נרצה למצוא את המקסימום!

תשובה נכונה: R = q(100 - 2q)

שאלה 17
3.45 נק'

📐 בעיה גיאומטרית:
מלבן בגודל 10×6.
חוסמים בתוכו משולש עם בסיס על צלע 10.

מהו הביטוי לשטח המשולש?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת שטח משולש 🔍

הסבר יומיומי:

שטח משולש:
S = (בסיס × גובה) / 2

בבעיה שלנו:
בסיס = 10 (קבוע!)
גובה = h (משתנה)

שלב 2: שרטוט 📊

106h10S = (10 × h) / 2 = 5h

שלב 3: החישוב 🎯

S = (בסיס × גובה) / 2

S = (10 × h) / 2

S = 10h / 2

S = 5h

הגבלה: 0 < h ≤ 6
(הגובה לא יכול לעבור את המלבן)

תשובה נכונה: S = 5h (כאשר h הגובה)

שאלה 18
3.45 נק'

⚠️ זיהוי טעות נפוצה:
שני מספרים חיוביים שסכומם 50.
רוצים למקסם את המכפלה.

איזה ביטוי שגוי?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הטעות הנפוצה 🔍

⚠️ טעות נפוצה:

לכתוב P = x · y
ולהפסיק כאן!

הבעיה:
יש לנו שני משתנים (x ו-y)
אבל אנחנו צריכים משתנה אחד
כדי למצוא קיצון!

שלב 2: הדרך הנכונה 📊

❌ שגויP = x · y(שני משתנים!)✓ נכוןP = x(50-x)(משתנה אחד!)השלבים הנכונים:1. P = x · y (נוסחה כללית)2. השתמש בנתון: x + y = 503. לכן: y = 50 - x4. P = x(50 - x) ✓

שלב 3: למה זה חשוב? 🎯

הסיבה:

כדי למצוא מקסימום/מינימום,
אנחנו צריכים:

1️⃣ פונקציה של משתנה אחד
2️⃣ לגזור אותה
3️⃣ להשוות ל-0

❌ P = x · y (שני משתנים - לא ניתן לגזור!)
✓ P = x(50-x) (משתנה אחד - אפשר לגזור!)

תשובה נכונה: P = x · y (ללא שימוש בנתון!)

שאלה 19
3.45 נק'

📐 משולש ישר-זווית:
צלעות: a, b
יתר: 10

מה הקשר בין a ל-b?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משפט פיתגורס 🔍

הסבר יומיומי:

במשולש ישר-זווית:

a² + b² = c²

כאשר c = היתר (הצלע הארוכה)
בבעיה שלנו: c = 10

שלב 2: שרטוט 📊

ab10a² + b² = 10² = 100

שלב 3: בידוד b 🎯

משפט פיתגורס:
a² + b² = 10²

a² + b² = 100

בידוד b²:
b² = 100 - a²

שורש לשני הצדדים:
b = √(100 - a²)

(רק שורש חיובי כי b > 0)

תשובה נכונה: b = √(100 - a²)

שאלה 20
3.45 נק'

🌳 בעיית הגינה:
רוצים לגדר גינה מלבנית ליד קיר.
יש 80 מטר גדר.
הקיר משמש כצלע אחת (לא צריך גדר).

מהו הנתון?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המצב 🔍

הסבר יומיומי:

מצב מיוחד: יש קיר קיים!

🧱 הקיר = צלע אחת (חינם!)
🔒 הנתון = כמות הגדר שיש לנו
🎯 המטרה = שטח מרבי

שלב 2: שרטוט המצב 📊

קיר (לא צריך גדר!)גדרגדרגדרהנתון: 80 מטר גדר (לא כולל הקיר!)

שלב 3: הנוסחה 🎯

נסמן:
x = אורך (לאורך הקיר)
y = רוחב

🔒 הנתון: אורך הגדר
הגדר רק על 3 צלעות!
x + 2y = 80

🎯 המטרה:
S = x · y → MAX

תשובה נכונה: אורך הגדר: 80 מטר

שאלה 21
3.45 נק'

🌳 המשך בעיית הגינה:
x + 2y = 80 (הנתון)

איך נכתוב את פונקצית השטח?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהנתון לפונקציה 🔍

הסבר יומיומי:

צריך לבטא את השטח
כפונקציה של משתנה אחד!

נשתמש בנתון לבטא x דרך y
(או להיפך)

שלב 2: השלבים 📊

שלב א: השטח הכללי
S = x · y

שלב ב: הנתון
x + 2y = 80

שלב ג: בידוד x
x = 80 - 2y

שלב ד: הצבה
S = x · y
S = (80 - 2y) · y
S(y) = (80-2y)·y

שלב 3: פריסה אופציונלית 🎯

S(y) = (80-2y)·y

פריסה:
S(y) = 80y - 2y²

זו פרבולה פתוחה כלפי מטה!

עכשיו אפשר:
• לגזור
• להשוות ל-0
• למצוא מקסימום

תשובה נכונה: S(y) = (80-2y)·y

שאלה 22
3.45 נק'

🌳🌳 שתי גינות זהות:
רוצים לגדר שתי גינות מרובעות זהות.
יש 200 מטר גדר.

מה הנתון?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

הסבר יומיומי:

יש לנו כמות קבועה של גדר
שצריכה להספיק לשתי גינות!

🔒 הנתון = אורך הגדר הכולל
🎯 המטרה = שטח מקסימלי לכל אחת

שלב 2: שרטוט 📊

גינה 1גינה 2xxהנתון: 200 מטר גדר בסך הכל

שלב 3: הנוסחה 🎯

נסמן צלע כל ריבוע: x

🔒 הנתון:
כל ריבוע צריך 4 צלעות
שני ריבועים = 8 צלעות
8x = 200

🎯 המטרה:
שטח כולל = 2x² → MAX

תשובה נכונה: אורך גדר כולל: 200 מטר

שאלה 23
3.45 נק'

⭕🔲 חלוקת חוט:
יש חוט באורך 40 ס"מ.
חותכים אותו לשני חלקים:
אחד לעיגול, אחד למרובע.

מהי פונקצית המטרה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

הסבר יומיומי:

🔒 הנתון: אורך החוט = 40 ס"מ (קבוע)

🎯 המטרה: בדרך כלל רוצים למזער
את סכום השטחים

מחפשים את החלוקה האופטימלית!

שלב 2: שרטוט 📊

40 ס"מx40-xעיגולהיקף: xמרובעהיקף: 40-xמטרה: סכום שטחים → MIN

שלב 3: הנוסחה 🎯

נסמן: x = אורך החוט לעיגול

עיגול:
היקף = x → 2πr = x → r = x/(2π)
שטח = πr² = π[x/(2π)]² = x²/(4π)

מרובע:
היקף = 40-x → צלע = (40-x)/4
שטח = [(40-x)/4]²

🎯 פונקצית המטרה:
S(x) = x²/(4π) + [(40-x)/4]² → MIN

תשובה נכונה: סכום השטחים - למזער אותו

שאלה 24
3.45 נק'

🥫 בעיית הגליל:
גליל בעל נפח קבוע 100π ס"מ³.
רוצים שהשטח החיצוני יהיה מינימלי.

מהו הנתון?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

הסבר יומיומי:

דמיינו פחית שימורים:

🔒 הנתון: כמות התכולה קבועה (הנפח)
🎯 המטרה: להשתמש בפחות חומר אריזה
(שטח חיצוני מינימלי)

שלב 2: שרטוט 📊

hrנתון: V = πr²h = 100πמטרה: שטח חיצוני → MIN

שלב 3: הנוסחאות 🎯

🔒 הנתון:
V = πr²h = 100π
לכן: r²h = 100

מכאן: h = 100/r²

🎯 פונקצית המטרה:
שטח חיצוני = 2πr² + 2πrh
S(r) = 2πr² + 2πr(100/r²)
S(r) = 2πr² + 200π/r → MIN

תשובה נכונה: הנפח: 100π ס"מ³

שאלה 25
3.45 נק'

📍 בעיית המרחק:
נתונה הנקודה A(2, 5).
מחפשים נקודה P על הישר y = x
שהמרחק AP מינימלי.

איך נבטא את P?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת המגבלה 🔍

הסבר יומיומי:

הנקודה P חייבת להיות על הישר y = x

זאת אומרת:
הקואורדינטות של P שוות!

אם נסמן אותן t, אז: P = (t, t)

שלב 2: שרטוט 📊

xyy = xA(2,5)P(t,t)dP על הישר → P = (t, t)

שלב 3: פונקצית המרחק 🎯

P נמצאת על y = x
לכן: P = (t, t)

המרחק מ-A(2, 5) ל-P(t, t):

d(t) = √[(t-2)² + (t-5)²]

זו הפונקציה שנרצה למזער!

תשובה נכונה: P = (t, t) כאשר t המשתנה

שאלה 26
3.45 נק'

⚠️ זיהוי טעות:
קופסה מפח 8×8, חותכים x מהפינות.
תלמיד כתב: V = x³

מה הטעות?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הטעות 🔍

⚠️ הטעות הנפוצה:

התלמיד חשב שהקופסה קוביה
(כל הצלעות שוות)

❌ V = x³ (שגוי!)

אבל הבסיס לא x×x!
הבסיס הוא (8-2x)×(8-2x)!

שלב 2: הדרך הנכונה 📊

x8-2x8-2xx✓ נוסחה נכונה:V = x·(8-2x)²

שלב 3: ההסבר 🎯

נפח = אורך × רוחב × גובה

❌ שגוי: V = x³
(התלמיד חשב שכל המידות x)

✓ נכון:
• גובה = x
• אורך בסיס = 8-2x
• רוחב בסיס = 8-2x

V = x·(8-2x)·(8-2x) = x(8-2x)²

תשובה נכונה: התלמיד שכח את הבסיס (8-2x)²

שאלה 27
3.45 נק'

🥫 בעיה תעשייתית:
מפעל מייצר מיכלים גליליים בנפח 500 ס"מ³.
רוצים לחסוך בחומר גלם.

מהי המטרה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנה כלכלית 🔍

הסבר יומיומי:

המפעל רוצה לחסוך כסף!

💰 פחות חומר = פחות עלות
💰 חומר = שטח הפח

🔒 הנפח חייב להישאר 500
🎯 למזער את שטח הפח

שלב 2: התרגום למתמטיקה 📊

500 ס"מ³פחות פח =פחות כסף!🔒 נתון: V = 500 (קבוע)🎯 מטרה: שטח פח → MIN

שלב 3: הנוסחאות 🎯

🔒 הנתון:
V = πr²h = 500

🎯 פונקצית המטרה:
שטח פח = 2 מכסים + דופן
A = 2πr² + 2πrh

נשתמש בנתון לבטא h דרך r:
h = 500/(πr²)

A(r) = 2πr² + 2πr·[500/(πr²)] → MIN

תשובה נכונה: למזער את שטח הפח (החומר)

שאלה 28
3.45 נק'

🪟 בעיית החלון:
חלון בצורת מלבן + חצי עיגול מעליו.
ההיקף הכולל 10 מטר.

מהי המטרה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

הסבר יומיומי:

רוצים חלון עם הכי הרבה אור!

☀️ יותר אור = שטח גדול יותר

🔒 המגבלה: ההיקף (המסגרת) קבוע
🎯 המטרה: שטח מקסימלי

שלב 2: שרטוט 📊

rh2r☀️ כניסת אור🔒 נתון: היקף = 10 מטר🎯 מטרה: שטח → MAX

שלב 3: המתמטיקה 🎯

🔒 הנתון - היקף:
2h + 2r + πr = 10

🎯 המטרה - שטח:
שטח מלבן + שטח חצי עיגול
A = 2r·h + (πr²)/2

נבטא h דרך r מהנתון,
ונקבל A(r) → MAX

תשובה נכונה: למקסם את שטח החלון (כניסת אור)

שאלה 29
3.45 נק'

🎯 שאלת סיכום:
מה הסדר הנכון לפתרון בעיית קיצון?

בחר את הרצף הנכון:

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

השלבים הנכונים לפתרון בעיית קיצון:

שלב 1️⃣: זיהוי נתון ומטרה

🔒 מה קבוע בבעיה? (נתון/מגבלה)
🎯 מה רוצים למקסם/למזער? (מטרה)

זה הבסיס לכל הבעיה!
שלב 2️⃣: כתיבת קשר בין משתנים

מהנתון נוציא קשר מתמטי:
למשל: x + y = 50
או: a² + b² = 100

הקשר מקשר בין המשתנים!
שלב 3️⃣: בניית פונקציה במשתנה אחד

נשתמש בקשר משלב 2
כדי לבטא הכל דרך משתנה אחד:
למשל: S(x) = x(50-x)

חייבים משתנה אחד כדי לגזור!
שלב 4️⃣: נגזרת ומציאת קיצון

• נגזור את הפונקציה
• נשווה ל-0
• נמצא את נקודות הקיצון
• נבדוק מקסימום/מינימום

זה השלב האחרון!

שלב 5: תרשים זרימה 📊

שלב 1: זיהוי🔒 נתון 🎯 מטרהשלב 2: קשרx + y = 50שלב 3: פונקציהf(x) במשתנה אחדשלב 4: נגזרתf'(x) = 0 למקסימום/מינימום✓ פתרון!

תשובה נכונה: 1) זיהוי נתון ומטרה 2) כתיבת קשר 3) פונקציה במשתנה אחד 4) נגזרת

🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 29 הושלמו