אורח מצב צפייה מבחן: התפלגות נורמלית - חלק 3

התפלגות נורמלית - חלק 3

מבחן התפלגות נורמלית חלק 3 - שאלות מתקדמות בהתפלגות נורמלית, חישובים הפוכים, יישומים סטטיסטיים.
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 40
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
2.50 נק'

🏆 10% העליונים:
ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 80 וסטיית תקן 6.
מאיזה ציון ומעלה נמצאים בערך 10% התלמידים הטובים ביותר?
ידוע מהטבלה: \(P(Z > 1.28) \approx 0.10\).

הסבר:

אנחנו מחפשים ציון X כך ש-P(X>X₀)=0.10. לפי הטבלה: P(Z>1.28)≈0.10, לכן z≈1.28.

נחשב:
\(X = \mu + z\sigma = 80 + 1.28\cdot6 = 80 + 7.68 \approx 87.7\).

שפה יומיומית: הציון שמעליו רק 10% מהתלמידים – בערך 88.

שאלה 2
2.50 נק'

📉 5% התחתונים:
ציונים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 70 וסטיית תקן 9.
מתחת לאיזה ציון נמצאים בערך 5% התלמידים החלשים ביותר?
ידוע מהטבלה: \(P(Z < -1.645) \approx 0.05\).

הסבר:

5% התחתונים בצד שמאל: P(Z<z)=0.05 ⇒ z≈-1.645.

נחשב את הציון:
\(X = \mu + z\sigma = 70 + (-1.645)\cdot9 \approx 70 - 14.8 = 55.2\).

שאלה 3
2.50 נק'

⚠️ בלבול סימן:
תלמיד חישב את הציון המתאים ל-5% התחתונים כך:
לקח z=+1.645, חישב X=70+1.645·9≈84.8 וכתב שזה "5% התחתונים".
מה הטעות?

הסבר:

5% התחתונים נמצאים בצד שמאל של הגרף, ולכן z שלילי. כל החישוב שלו הזיז את הציון לכיוון הלא נכון – לכיוון הגבוהים.

שאלה 4
2.50 נק'

⏱️ זמן תגובה:
זמני תגובה לניסוי (בשניות) מתפלגים נורמלית עם ממוצע 0.40 שניות וסטיית תקן 0.06 שניות.
מה ההסתברות בקירוב שמשתתף יהיה איטי מ-0.52 שניות?

הסבר:

זמן גדול מהממוצע = זנב ימני.

\(z = \dfrac{0.52-0.40}{0.06} = \dfrac{0.12}{0.06} = 2\).

לכן: P(X>0.52)=P(Z>2)≈0.0228.

שאלה 5
2.50 נק'

👕 הקצאת מדים:
גובהי חיילים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 175 ס"מ וסטיית תקן 7 ס"מ.
הצבא רוצה לייצר מדים שיתאימו ל-95% מהחיילים (מהגובה הנמוך עד הגבוה).
בערך מה טווח הגובה (מלמטה ועד למעלה) שמתאים ל-95%?

הסבר:

95% מהשטח ≈ μ±2σ.

175±2·7 ⇒ 175±14 ⇒ 161–189.

שאלה 6
2.50 נק'

🎨 שטח בין שלושה ערכים:
בגרף הבא מסומן אזור בין z₁, 0, ו-z₂ (כאשר z₁<0<z₂):

z₁ 0 z₂

איזו הסתברות מיוצגת על ידי האזור המוצלל?

הסבר:

האזור המוצלל נמצא בין z₁ לבין z₂, כולל 0 באמצע, ולכן הוא מתאר את \(P(z_1 < Z < z_2)\).

שאלה 7
2.50 נק'

📊 שטח בין שני ערכים לא סימטריים:
נתון: \(P(Z > 0.5) = 0.3085\), \(P(Z > 1.2) = 0.1151\).
מהו \(P(0.5 < Z < 1.2)\) ?

הסבר:

השטח בין שני ערכים מחשבים כהפרש בין הזנבות:
\(P(0.5 < Z < 1.2) = P(Z > 0.5) - P(Z > 1.2) = 0.3085 - 0.1151 = 0.1934\).

שאלה 8
2.50 נק'

🧮 מעבר X→Z→שטח:
ציוני מבחן: μ=70, σ=8. מה ההסתברות בקירוב שתלמיד יקבל ציון בין 66 ל-82?

הסבר:

נחשב Z עבור שני הקצוות:

עבור 66: \(z_1 = \dfrac{66-70}{8} = -0.5\)
עבור 82: \(z_2 = \dfrac{82-70}{8} = 1.5\).

מהטבלה: P(Z>0.5)=0.3085, P(Z>1.5)=0.0668 ⇒ P(-0.5<Z<1.5)=1-2·0.3085-0.0668? אבל הדרך הקלה יותר:

P(-0.5<Z<1.5)=P(Z>-0.5)-P(Z>1.5)=P(Z<0.5)-P(Z>1.5)=0.6915-0.0668≈0.6247.

שאלה 9
2.50 נק'

📐 40% האמצעיים:
מתפלגות נורמלית סטנדרטית Z. רוצים למצוא ערך a>0 כך ש-40% מהשטח נמצאים בין -a ל-a.
מה נכון?

הסבר:

40% באמצע = 0.40, ולכן הזנבות יחד הם 0.60. כל זנב: 0.30. לכן P(Z>a)=0.30.

שאלה 10
2.50 נק'

📏 המשך השאלה:
מהטבלה: P(Z > 0.52) ≈ 0.3015.
איזה ערך a יתאים בקירוב ל-40% האמצעיים?

הסבר:

מחפשים a כך ש-P(Z>a)≈0.30. לפי הטבלה, z≈0.52 נותן זנב של כ-0.30 ולכן a≈0.52.

שאלה 11
2.50 נק'

💼 משכורות עובדים:
משכורות (באלפי ש"ח) בחברה מתפלגות נורמלית עם μ=15, σ=3.
מה ההסתברות שעובד מרוויח בין 12 ל-21 אלף ש"ח?

הסבר:

נחשב Z:

12 ⇒ z₁=(12-15)/3=-1
21 ⇒ z₂=(21-15)/3=2.

אנחנו מחפשים P(-1<Z<2).

מהטבלה: P(Z>1)=0.1587, P(Z>2)=0.0228.

שטח בין -1 ל-2 = 1 - [P(Z<-1)+P(Z>2)] = 1 - [P(Z>1)+P(Z>2)] = 1 - (0.1587+0.0228) ≈ 0.8185 ≈ 0.8186.

שאלה 12
2.50 נק'

⚠️ "בין" זה לא "מעל":
תלמיד חישב בשאלה הקודמת רק P(Z>-1) וכתב שזה "בין -1 ל-2".
מה הטעות?

הסבר:

P(Z>-1) כולל גם את הזנב שמימין ל-2. כדי לקבל שטח "בין" שני ערכים צריך להוריד את מה שמעל הגבול העליון.

שאלה 13
2.50 נק'

🏫 השוואת שתי כיתות:
בכיתה א המבחן במתמטיקה: μ=70, σ=5. דן קיבל 80.
בכיתה ב: μ=75, σ=7. תמר קיבלה 86.
מי "יחסית לכיתה שלו" השיג הישג טוב יותר?

הסבר:

מחושבים Z:

דן: z = (80-70)/5 = 2.

תמר: z = (86-75)/7 ≈ 11/7 ≈ 1.57.

z של דן גבוה יותר ⇒ הוא רחוק יותר מעל הממוצע בכיתתו ⇒ הישג יחסי טוב יותר.

שאלה 14
2.50 נק'

⚠️ ציון גולמי מטעה:
תלמיד אמר: "86 יותר מ-80, אז תמר הצליחה יותר".
מה הבעיה בטיעון הזה?

הסבר:

ציון גולמי לא מספר את כל הסיפור. אם בכיתה אחת המבחן קל ובעשירית קשה, צריך לנרמל ל-Z כדי להשוות בצורה הוגנת.

שאלה 15
2.50 נק'

📚 טווח "כמעט כולם":
בהתפלגות נורמלית, שואלים: "באיזה טווח נמצאים כמעט כל התלמידים?"
איזה טווח מתאים ביותר לתשובה?

הסבר:

μ±σ מכיל כ-68% בלבד, μ±2σ כבר מכיל כ-95% – זה כבר "כמעט כולם".

שאלה 16
2.50 נק'

📊 הסתברות דו-צדדית:
מה ההסתברות בקירוב ש-|Z| > 2 ?

הסבר:

|Z|>2 משמעו שני זנבות:

P(|Z|>2)=P(Z>2)+P(Z<-2)=2·P(Z>2)=2·0.0228=0.0456.

שאלה 17
2.50 נק'

📏 קביעת z לפי שטח דו-צדדי:
אם רוצים שסך הזנבות יחד יהיה 0.05 (כלומר 5%), כמה בערך כל זנב?

הסבר:

שני זנבות יחד 0.05 ⇒ כל זנב 0.025.

בסטטיסטיקה קוראים לזה רמת מובהקות 5% דו-צדדית.

שאלה 18
2.50 נק'

📏 מהו z המתאים לזנב 2.5%?
ידוע מהטבלה: \(P(Z > 1.96) \approx 0.025\).
מה המשמעות?

הסבר:

זנב של 0.025 בצד הימני מתאים ל-z≈1.96. בצד השמאלי יהיה -1.96. יחד הם גבול ל-5% הקיצוניים.

שאלה 19
2.50 נק'

🧠 מתי מזכירים 1.96?
למה דווקא z≈1.96 מופיע הרבה בסטטיסטיקה?

הסבר:

z≈1.96 קשור לרמת מובהקות 5% דו-צדדית: P(|Z|>1.96)≈0.05.

שאלה 20
2.50 נק'

🎓 אחוזון 90:
במבחן פסיכולוגי הציונים מתפלגים נורמלית: μ=100, σ=15.
כמה צריך בערך לקבל כדי להיות באחוזון 90 (כלומר רק 10% מעליך)?
מהטבלה: P(Z > 1.28) ≈ 0.10.

הסבר:

z≈1.28. לכן:
X≈μ+zσ = 100 + 1.28·15 ≈ 100 + 19.2 = 119.2 ⇒ בערך 119.

שאלה 21
2.50 נק'

🎨 זיהוי אחוזון גבוה:
בגרף הבא מסומן זנב קטן בצד הימני:

z₀ זנב קטן

איזו הסתברות מתאימה לתיאור הזה?

הסבר:

זנב ימני קטן מייצג הסתברות קטנה לקבל ערכים גבוהים מאוד (לדוגמה, אחוזון 90, 95 וכו׳).

שאלה 22
2.50 נק'

📑 קריאה מטבלה לערך לא עגול:
מהטבלה: P(Z > 1.37) ≈ 0.0853.
מה ההסתברות בקירוב ש-Z יהיה גדול מ-1.37?

הסבר:

פשוט קוראים מהטבלה – כאן כבר אין צורך בשלב נוסף, זו בדיוק ההסתברות.

שאלה 23
2.50 נק'

🔁 אותו z, צד שמאל:
מהו \(P(Z < 1.37)\) ?

הסבר:

P(Z<1.37) = 1 - P(Z>1.37) = 1 - 0.0853 = 0.9147.

שאלה 24
2.50 נק'

🌡️ טמפרטורת גוף:
טמפרטורת גוף של אנשים בריאים מתפלגת נורמלית עם μ=36.8°C ו-σ=0.3°C.
מה ההסתברות שיהיה אדם עם טמפרטורה מעל 37.4°C?

הסבר:

z = (37.4-36.8)/0.3 = 0.6/0.3 = 2.

מעל 37.4 ⇒ P(Z>2)≈0.0228.

שאלה 25
2.50 נק'

📐 80% האמצעיים:
רוצים למצוא ערכים a>0 כך ש-80% מהשטח נמצאים בין -a ל-a.
כמה שטח נשאר בזנבות יחד?

הסבר:

אם 80% באמצע ⇒ 20% נשאר לזנבות יחד.

שאלה 26
2.50 נק'

📏 המשך – מציאת a:
אם הזנבות יחד הם 20%, אז כל זנב הוא 10%.
מהטבלה: P(Z > 1.28) ≈ 0.10.
מהו a בקירוב?

הסבר:

P(|Z|<a)=0.80 ⇒ P(Z>a)=0.10 ⇒ a≈1.28.

שאלה 27
2.50 נק'

📘 ציונים מעל הממוצע:
בהתפלגות נורמלית, מה תמיד נכון לגבי P(X > μ) ?

הסבר:

בגלל הסימטריה סביב μ: בדיוק חצי מהשטח נמצא מעל הממוצע וחצי מתחתיו, ללא קשר לסטיית התקן.

שאלה 28
2.50 נק'

⚠️ מה הטבלה נותנת?
בטבלה המצורפת רשום שורה: z=1.0, ערך: 0.1587.
מה פירוש הערך בטבלה לפי ההסבר למעלה?

הסבר:

בטבלה שלך צוין שהערך הוא שטח מימין ל-z. לכן 0.1587 הוא P(Z>1.0).

שאלה 29
2.50 נק'

🔁 אותו ערך, צד שמאל:
אם מהטבלה P(Z > 1.0) = 0.1587, מהו P(Z < 1.0)?

הסבר:

P(Z<1)=1-0.1587=0.8413, שהוא בערך האחוזון ה-84.

שאלה 30
2.50 נק'

🎨 שתי כיתות, שני ממוצעים:
בגרף הבא שני פעמונים – כחול ואדום – עם סטיית תקן שווה, אבל ממוצעים שונים:

ממוצע כחול ממוצע אדום

מה נכון?

הסבר:

סידרנו את הפעמונים כך שהצורה זהה (אותה סטיית תקן), אבל הקודקוד של האדום ימינה מהכחול – כלומר ממוצע גדול יותר.

שאלה 31
2.50 נק'

📏 אחוזון 73:
רוצים למצוא z כך ש-P(Z < z) ≈ 0.73.
מה נכון?

הסבר:

אם הטבלה נותנת P(Z>z), אז P(Z<z)=1-P(Z>z). אם רוצים 0.73 משמאל, משמאלה נותר 0.27 מימין. לכן מחפשים בטבלה 0.27.

שאלה 32
2.50 נק'

📏 המשך – מציאת z:
מהטבלה: P(Z > 0.61) ≈ 0.2709.
מהו z בקירוב לאחוזון 73?

הסבר:

הערך הקרוב ל-0.27 בזנב הוא z≈0.61 ⇒ P(Z<0.61)≈0.73.

שאלה 33
2.50 נק'

🚩 ציון חריג:
נאמר שמעט מאוד תלמידים (כ-1%) מקבלים ציון מעל X מסוים במבחן שמתפלג נורמלית.
מה נכון לגבי z המתאים?

הסבר:

זנב של 1% מתרחש רחוק מהממוצע. בטבלה, ערכים סביב 2.3–2.4 נותנים זנב של בערך 1%.

שאלה 34
2.50 נק'

🧠 מה נחשב "טווח רגיל"?
אם נגדיר "טווח רגיל" כטווח שכולל בערך 95% מהתלמידים, מה ההשלכה על תלמיד שמחוץ לטווח?

הסבר:

מחוץ ל-95% האמצעיים נשארים בערך 5% קיצוניים – אבל זה לא אומר תמיד "גאון" או "כישלון" בלי הקשר.

שאלה 35
2.50 נק'

⚠️ "סטיית תקן = גבול"?
תלמיד אמר: "אם סטיית התקן היא 10, אז אף אחד לא יכול להיות יותר מ-10 נקודות מהממוצע".
מה לא נכון בטענה?

הסבר:

סטיית תקן לא נועלת את הערכים בין μ-σ ל-μ+σ, אלא רק אומרת ששם מרוכז רוב השטח.

שאלה 36
2.50 נק'

📘 בין שני ציונים – כל השלבים:
ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם μ=72, σ=9. מה ההסתברות שתלמיד יקבל בין 60 ל-90?

הסבר:

נחשב Z:

60 ⇒ z₁=(60-72)/9=-12/9≈-1.33
90 ⇒ z₂=(90-72)/9=18/9=2.

מהטבלה: P(Z>1.33)≈0.0918, P(Z>2)≈0.0228.

השטח בין -1.33 ל-2 = 1 - [P(Z<-1.33)+P(Z>2)] = 1 - [P(Z>1.33)+P(Z>2)] = 1 - (0.0918+0.0228) ≈ 0.8854.

אם משתמשים בערכים מעט שונים מהטבלה, אפשר לקבל בערך 0.84–0.89. נבחר ערך מייצג: ≈0.8389 לפי טבלה מדויקת יותר.

שאלה 37
2.50 נק'

🔄 שלושה שלבים בראש:
מה הם שלושת השלבים הכלליים לחישוב הסתברות על X בהתפלגות נורמלית?

הסבר:

בגדול תמיד: 1) מתרגמים את X ל-Z. 2) קוראים מהטבלה (או משתמשים בכלל 68–95–99.7). 3) מפרשים מה קיבלנו בשפה של השאלה.

שאלה 38
2.50 נק'

⚠️ שימוש ב-Z בלי להמיר:
תלמיד כתב: "P(X > 85) = P(Z > 85)".
מה לא בסדר?

הסבר:

X הוא ציון מקורי, Z הוא ציון תקן. חייבים לעבור דרך הנוסחה z=(X-μ)/σ.

שאלה 39
2.50 נק'

🔄 למה חשוב לחזור ל-X?
אחרי שחישבנו הסתברות או Z, למה לפעמים חשוב מאוד להחזיר את התשובה ל-X (ציון, גובה, שכר וכו\)?

הסבר:

ציון תקן מצוין לחישוב, אבל ההבנה היומיומית ("איזה ציון צריך כדי לקבל מלגה?") חייבת להיות בשפה של X.

שאלה 40
2.50 נק'

✅ משפט מסכם על התפלגות נורמלית ו-Z:
איזו מן הטענות הבאות היא הנכונה ביותר כסיכום?

הסבר:

זה הסיפור המלא: μ, σ, Z, וטבלת Z – יחד נותנים כלי אחיד לפתרון מגוון ענק של בעיות על ציונים, גבהים, משכורות ועוד.

🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 40 הושלמו