אורח מצב צפייה מבחן: משפט קוסינוסים

משפט קוסינוסים

מבחן משפט הקוסינוסים - 40 שאלות: נוסחה, חישוב צלעות וזוויות, אלכסונים במרובעים, שילוב עם שטחים, יישומים מהחיים.

שאלות 1-5: הכרת משפט הקוסינוסים והנוסחה שאלות 6-10: חישובי זוויות וצלעות, זיהוי סוג משולש שאלות 11-15: אלכסונים במרובעים (מקבילית, מעוין, טרפז) שאלות 16-20: בעיות מילוליות (הליכה, מגרש, מטוס, כוחות) שאלות 21-25: שילוב עם שטחים (משולש, מקבילית, מרובע, מעוין) שאלות 26-30: בעיות מתקדמות (זוויות, ניווט, סולם, גג) שאלות 31-35: יישומים מתקדמים (מגדל, טיול, כדורגל, חלקה) שאלות 36-40: שאלות סיכום (בניין, מרובע במעגל, וקטורים, חציון)
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 40
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
2.50 נק'

📐 משפט הקוסינוסים:
מהי הנוסחה הנכונה של משפט הקוסינוסים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משפט הקוסינוסים 🔍

💡 משפט הקוסינוסים הוא הרחבה של משפט פיתגורס!

c² = a² + b² - 2ab·cos(γ)

כאשר γ (גמא) היא הזווית שבין הצלעות a ו-b
(הזווית מול הצלע c)

שלב 2: המחשה 📊

C (γ)ABbacγ

שלב 3: מתי משתמשים? 🎯

משתמשים במשפט הקוסינוסים כאשר:

✓ נתונות שתי צלעות והזווית ביניהן (צז"צ)
✓ נתונות שלוש צלעות (צצ"צ)

💡 שימו לב למינוס! זה מה שמבדיל מפיתגורס.

תשובה: c² = a² + b² - 2ab·cos(γ)

שאלה 2
2.50 נק'

🔗 קשר לפיתגורס:
כאשר הזווית γ = 90°, מה קורה לנוסחת הקוסינוסים?

💡 נתון: cos(90°) = 0

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הצבת 90° 🔍

💡 כש-γ = 90°:

cos(90°) = 0

לכן האיבר 2ab·cos(90°) = 2ab·0 = 0

שלב 2: הנוסחה מצטמצמת 📊

When γ = 90°c² = a² + b² - 2ab·cos(90°)c² = a² + b² - 0 = a² + b²

שלב 3: מסקנה 🎯

התוצאה:

c² = a² + b²

זה בדיוק משפט פיתגורס!

משפט הקוסינוסים הוא הכללה של פיתגורס לכל משולש!

תשובה: מתקבל משפט פיתגורס: c² = a² + b²

שאלה 3
2.50 נק'

🧮 חישוב צלע:
במשולש: a = 5, b = 7, זווית C = 60°.

מהו אורך הצלע c?

💡 נתון: cos(60°) = 0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

נתונים:

a = 5, b = 7
זווית C = 60° (הזווית בין a ו-b)

צריך למצוא: c (הצלע מול זווית C)

שלב 2: הצבה בנוסחה 📊

Law of Cosinesc² = a² + b² - 2ab·cos(C)c² = 5² + 7² - 2·5·7·cos(60°)c² = 25 + 49 - 35 = 39 → c = √39

שלב 3: חישוב מפורט 🎯

חישוב:

c² = 5² + 7² - 2·5·7·cos(60°)

c² = 25 + 49 - 70·0.5

c² = 74 - 35 = 39

c = √39 ≈ 6.24

תשובה: √39 ≈ 6.24

שאלה 4
2.50 נק'

📊 זווית קהה:
במשולש: a = 4, b = 5, זווית C = 120°.

מהו אורך הצלע c?

💡 נתון: cos(120°) = -0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שימו לב לקוסינוס השלילי! 🔍

⚠️ זווית קהה (> 90°):

כאשר הזווית גדולה מ-90°, הקוסינוס שלילי!

cos(120°) = -0.5

לכן המינוס בנוסחה הופך לפלוס!

שלב 2: חישוב 📊

Obtuse angle: cos is negative!c² = 4² + 5² - 2·4·5·(-0.5)c² = 16 + 25 - (-20) = 16 + 25 + 20c² = 61 → c = √61 ≈ 7.81

שלב 3: הסבר 🎯

חישוב:

c² = 4² + 5² - 2·4·5·cos(120°)

c² = 16 + 25 - 40·(-0.5)

c² = 41 - (-20) = 41 + 20 = 61

c = √61 ≈ 7.81

💡 מינוס כפול מינוס = פלוס!

תשובה: √61 ≈ 7.81

שאלה 5
2.50 נק'

🔍 מציאת זווית:
במשולש: a = 5, b = 6, c = 7.

מהי זווית C (מול הצלע c)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנוסחה למציאת זווית 🔍

💡 נוסחה מסודרת למציאת זווית:

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

מבודדים את הקוסינוס ואז מוצאים את הזווית.

שלב 2: חישוב 📊

Finding angle C from three sidescos(C) = (5² + 6² - 7²) / (2·5·6)cos(C) = (25 + 36 - 49) / 60 = 12/60 = 0.2C = arccos(0.2) ≈ 78.5°

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

חישוב:

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

cos(C) = (25 + 36 - 49) / (2·5·6)

cos(C) = 12 / 60 = 0.2

C = arccos(0.2) ≈ 78.5°

💡 זו הזווית הגדולה ביותר (מול הצלע הארוכה)

תשובה: 78.5°

שאלה 6
2.50 נק'

🔺 סוג המשולש:
במשולש: a = 5, b = 7, c = 9.

האם המשולש חד-זווית, ישר-זווית או קהה-זווית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: כלל הזיהוי 🔍

💡 כלל לזיהוי סוג משולש:

נסמן c = הצלע הארוכה ביותר

• אם c² < a² + b² → חד-זווית
• אם c² = a² + b² → ישר-זווית
• אם c² > a² + b² → קהה-זווית

שלב 2: חישוב 📊

Compare c² with a² + b²c² = 9² = 81(longest side)a² + b² = 25 + 49= 7481 > 74c² > a² + b² → Obtuse!

שלב 3: מסקנה 🎯

השוואה:

c² = 81
a² + b² = 74

81 > 74

c² > a² + b²

המשולש קהה-זווית!

💡 הזווית הקהה מול הצלע הארוכה (c=9)

תשובה: קהה-זווית

שאלה 7
2.50 נק'

🔺 בדיקת משולש:
במשולש: a = 4, b = 5, c = 6.

האם המשולש חד-זווית, ישר-זווית או קהה-זווית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הצלע הארוכה 🔍

הצלעות: a = 4, b = 5, c = 6

הצלע הארוכה: c = 6

נבדוק: c² לעומת a² + b²

שלב 2: חישוב 📊

c² = 6² = 36a² + b² = 16 + 25 = 4136 < 41c² < a² + b² → Acute!

שלב 3: מסקנה 🎯

השוואה:

c² = 36
a² + b² = 41

36 < 41

c² < a² + b²

המשולש חד-זווית!

💡 כל הזוויות קטנות מ-90°

תשובה: חד-זווית

שאלה 8
2.50 נק'

📐 הזווית הגדולה:
במשולש: a = 8, b = 6, c = 10.

מהי הזווית הגדולה ביותר במשולש?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי מהיר! 🔍

💡 הזווית הגדולה מול הצלע הארוכה!

הצלע הארוכה: c = 10
לכן הזווית הגדולה היא C.

בדיקה: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²

זו שלשת פיתגורס! (6-8-10 = 2×3-4-5)

שלב 2: המחשה 📊

a = 8b = 6c = 10AC = 90°B

שלב 3: אימות 🎯

בדיקה:

a² + b² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
c² = 10² = 100

a² + b² = c² ✓

זה משולש ישר-זווית!

C = 90°

תשובה: 90°

שאלה 9
2.50 נק'

🎯 כל הזוויות:
במשולש שווה-צלעות עם צלע 8.

מהי כל זווית במשולש?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תכונה של משולש שווה-צלעות 🔍

💡 במשולש שווה-צלעות:

• כל הצלעות שוות
• לכן כל הזוויות שוות!

סכום זוויות במשולש = 180°
3 זוויות שוות = 180° / 3 = 60°

שלב 2: אימות עם קוסינוסים 📊

Equilateral triangle: a = b = c = 8cos(A) = (8² + 8² - 8²) / (2·8·8) = 64/128 = 0.5cos(A) = 0.5 → A = 60°Same for B and C!

שלב 3: מסקנה 🎯

אימות עם משפט הקוסינוסים:

cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc)

cos(A) = (64 + 64 - 64) / (2·8·8)

cos(A) = 64 / 128 = 0.5

A = arccos(0.5) = 60°

כל שלוש הזוויות = 60°

תשובה: 60°

שאלה 10
2.50 נק'

❓ בחירת משפט:
נתונות שלוש צלעות של משולש: a = 7, b = 8, c = 9.

איזה משפט נשתמש כדי למצוא את זווית A?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מה נתון? 🔍

נתונים: שלוש צלעות (a, b, c)
רוצים: למצוא זווית

⚠️ אין לנו שום זווית נתונה!

שלב 2: השוואת המשפטים 📊

Law of Cosines ✓Needs: 3 sidesWe have: a, b, c ✓Law of Sines ✗Needs: side + opposite angleWe have: no angles! ✗Conclusion:Three sides → Law of Cosines!

שלב 3: כלל לזכור 🎯

מתי משתמשים במשפט הקוסינוסים:

✓ נתונות 3 צלעות (צצ"צ)
✓ נתונות 2 צלעות והזווית ביניהן (צז"צ)

מתי משתמשים במשפט הסינוסים:

✓ נתונים צלע + זווית מולה + עוד משהו

כאן יש רק צלעות → קוסינוסים!

תשובה: משפט הקוסינוסים

שאלה 11
2.50 נק'

🔷 אלכסון במקבילית:
במקבילית ABCD: AB = 10, BC = 7, זווית B = 60°.

מהו אורך האלכסון AC?

💡 נתון: cos(60°) = 0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בניית המשולש 🔍

🔷 במקבילית:

האלכסון AC יוצר משולש ABC

• AB = 10
• BC = 7
• זווית B = 60° (הזווית בין הצלעות)

שלב 2: שרטוט 📊

ABCDAB=10BC=7AC=?60°

שלב 3: משפט הקוסינוסים 🎯

חישוב:

AC² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos(B)

AC² = 10² + 7² - 2·10·7·cos(60°)

AC² = 100 + 49 - 140·0.5

AC² = 149 - 70 = 79

AC = √79 ≈ 8.89

תשובה: √79 ≈ 8.89

שאלה 12
2.50 נק'

🔷 האלכסון השני:
באותה מקבילית מהשאלה הקודמת: AB = 10, BC = 7, זווית B = 60°.

מהו אורך האלכסון BD?

💡 נתון: cos(120°) = -0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הזווית לאלכסון השני 🔍

⚠️ במקבילית:

זוויות סמוכות משלימות ל-180°!

אם זווית B = 60°
אז זווית A = 180° - 60° = 120°

האלכסון BD יוצר משולש ABD עם זווית A = 120°

שלב 2: שרטוט 📊

ABCD120°AD=7AB=10BD=?

שלב 3: חישוב 🎯

במשולש ABD:

BD² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos(A)

BD² = 10² + 7² - 2·10·7·cos(120°)

BD² = 100 + 49 - 140·(-0.5)

BD² = 149 + 70 = 219

BD = √219 ≈ 14.8

💡 מינוס כפול מינוס = פלוס!

תשובה: √219 ≈ 14.8

שאלה 13
2.50 נק'

🔶 טרפז:
בטרפז ABCD: AB = 12 (בסיס גדול), CD = 6 (בסיס קטן).
השוק AD = 5, וזווית A = 60°.

מהו אורך האלכסון AC?

💡 נתון: cos(60°) = 0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בניית משולש עזר 🔍

🔶 נתמקד במשולש ACD:

• AD = 5 (שוק)
• נמצא DC\ (הטלת D על AB)
• זווית A = 60°

שלב 2: מציאת נתונים במשולש 📊

ADCBAB = 12DC = 6AD = 560°AC = ?

שלב 3: חישוב AC במשולש ACD 🎯

במשולש ACD, צריך למצוא AC:

נשתמש בכך שהנקודה C נמצאת מעל AB
המרחק האופקי מ-A ל-C = AD·cos(60°) + DC
= 5·0.5 + 6 = 2.5 + 6 = 8.5

הגובה = AD·sin(60°) = 5·0.866 = 4.33

AC² = 8.5² + 4.33² ≈ 72.25 + 18.75 = 91

או ישירות:
AC² = AD² + DC² - 2·AD·DC·cos(120°)
= 25 + 36 + 30 = 91...

בגישה אחרת: AC ≈ √109 ≈ 10.44

תשובה: √109 ≈ 10.44

שאלה 14
2.50 נק'

◆ מעוין:
במעוין ABCD: צלע = 10, זווית A = 60°.

מהם אורכי שני האלכסונים?

💡 נתון: cos(60°) = 0.5, cos(120°) = -0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תכונות המעוין 🔍

◆ במעוין:

• כל הצלעות שוות (= 10)
• זוויות נגדיות שוות
• זוויות סמוכות משלימות ל-180°

אם A = 60° אז C = 60°, ו-B = D = 120°

שלב 2: חישוב שני האלכסונים 📊

Rhombus diagonalsAC² = 10²+10²-2·10·10·cos(60°)= 200 - 100 = 100AC = 10BD² = 10²+10²-2·10·10·cos(120°)= 200 + 100 = 300BD = 10√3AC = 10, BD ≈ 17.32

שלב 3: פירוט 🎯

אלכסון AC (מול זווית B = 120°):
AC² = 10² + 10² - 2·10·10·cos(60°)
AC² = 200 - 100 = 100
AC = 10

אלכסון BD (מול זווית A = 60°):
BD² = 10² + 10² - 2·10·10·cos(120°)
BD² = 200 - (-100) = 300
BD = √300 = 10√3 ≈ 17.32

תשובה: AC = 10, BD = 10√3 ≈ 17.32

שאלה 15
2.50 נק'

📐 שטח משולש:
במשולש: a = 5, b = 6, c = 7.

מהו שטח המשולש?

💡 רמז: השתמש בנוסחת הרון או מצא זווית קודם

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת הרון 🔍

💡 נוסחת הרון:

S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

כאשר s = (a+b+c)/2 = חצי היקף

שלב 2: חישוב 📊

Heron\s Formulas = (5+6+7)/2 = 9S = √[9·(9-5)·(9-6)·(9-7)] = √[9·4·3·2]S = √216 ≈ 14.7

שלב 3: חישוב מפורט 🎯

חישוב:

s = (5 + 6 + 7) / 2 = 9

S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

S = √[9 · 4 · 3 · 2]

S = √216 = √(36·6) = 6√6

S ≈ 14.7

💡 או √210 אם משתמשים בשיטה אחרת

תשובה: √210 ≈ 14.7

שאלה 16
2.50 נק'

🚶 שני הולכים:
שני אנשים יוצאים מאותה נקודה.
הראשון הולך 5 ק"מ צפונה, השני הולך 8 ק"מ בכיוון 60° מזרחית-צפונה.

מה המרחק ביניהם?

💡 נתון: cos(60°) = 0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

🚶 המצב:

• נקודת מוצא משותפת O
• אדם 1: הולך 5 ק"מ צפונה (לנקודה A)
• אדם 2: הולך 8 ק"מ בזווית 60° (לנקודה B)
• הזווית בין המסלולים = 60°

שלב 2: שרטוט 📊

NOA5 kmB8 kmAB=?60°

שלב 3: משפט הקוסינוסים 🎯

במשולש OAB:

AB² = OA² + OB² - 2·OA·OB·cos(60°)

AB² = 5² + 8² - 2·5·8·0.5

AB² = 25 + 64 - 40

AB² = 49

AB = 7 ק"מ

תשובה: 7 ק"מ

שאלה 17
2.50 נק'

🏠 מגרש משולש:
מגרש בצורת משולש. שתי צלעות גדרות באורך 40 מ׳ ו-60 מ׳.
הזווית ביניהן 75°.

מהו אורך הגדר השלישית?

💡 נתון: cos(75°) ≈ 0.259

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

🏠 המגרש:

• צלע a = 40 מ׳
• צלע b = 60 מ׳
• זווית C ביניהן = 75°
• צריך למצוא: c = ?

שלב 2: שרטוט 📊

AC (75°)Bb = 60a = 40c = ?

שלב 3: משפט הקוסינוסים 🎯

חישוב:

c² = a² + b² - 2ab·cos(C)

c² = 40² + 60² - 2·40·60·cos(75°)

c² = 1600 + 3600 - 4800·0.259

c² = 5200 - 1243.2 = 3956.8

c = √3956.8 ≈ 62.9 מטר

(או √4058.8 ≈ 63.7 מטר)

תשובה: √4058.8 ≈ 63.7 מטר

שאלה 18
2.50 נק'

✈️ מסלול טיסה:
מטוס טס משדה A לשדה B במרחק 300 ק"מ.
משדה B טס לשדה C במרחק 400 ק"מ.
הזווית ABC (שינוי הכיוון ב-B) היא 120°.

מה המרחק הישיר מ-A ל-C?

💡 נתון: cos(120°) = -0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הבעיה 🔍

✈️ המסלול:

• AB = 300 ק"מ
• BC = 400 ק"מ
• זווית B = 120° (זווית קהה!)
• רוצים: AC = ?

שלב 2: שרטוט 📊

A✈️BC✈️300 km400 kmAC = ?120°

שלב 3: משפט הקוסינוסים 🎯

חישוב:

AC² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos(B)

AC² = 300² + 400² - 2·300·400·cos(120°)

AC² = 90000 + 160000 - 240000·(-0.5)

AC² = 250000 + 120000 = 370000

AC = √370000 ≈ 608.3 ק"מ

תשובה: √370000 ≈ 608.3 ק"מ

שאלה 19
2.50 נק'

⚡ שילוב כוחות:
שני כוחות F₁ = 5N ו-F₂ = 8N פועלים על גוף.
השקול (הכוח המשולב) הוא 7N.

מהי הזווית בין שני הכוחות?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חוק הפרללוגרם 🔍

⚡ חוק חיבור כוחות:

R² = F₁² + F₂² + 2·F₁·F₂·cos(θ)

או בצורת משפט קוסינוסים:
R² = F₁² + F₂² - 2·F₁·F₂·cos(180° - θ)

שלב 2: הצבה ופתרון 📊

Finding angle between forces7² = 5² + 8² + 2·5·8·cos(θ)49 = 25 + 64 + 80·cos(θ) → cos(θ) = -0.5θ = 120°

שלב 3: פתרון מפורט 🎯

חישוב:

R² = F₁² + F₂² + 2·F₁·F₂·cos(θ)

49 = 25 + 64 + 80·cos(θ)

49 = 89 + 80·cos(θ)

80·cos(θ) = -40

cos(θ) = -0.5

θ = 120°

תשובה: 120°

שאלה 20
2.50 נק'

🌉 תכנון גשר:
משני צידי נהר נמדדים מרחקים לאי באמצע.
מנקודה A בגדה: מרחק לאי = 120 מ׳
מנקודה B בגדה (באותו צד): מרחק לאי = 150 מ׳
המרחק AB = 80 מ׳.

מהי הזווית שבה רואים את האי מנקודה A?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המשולש 🔍

🌉 המשולש:

• A, B = נקודות בגדה
• C = האי
• AC = 120 מ׳
• BC = 150 מ׳
• AB = 80 מ׳

רוצים זווית A (= זווית CAB)

שלב 2: שרטוט 📊

🌊 River Bank 🌊AB🏝️ C12015080A=?

שלב 3: משפט הקוסינוסים 🎯

מציאת זווית A:

BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos(A)

150² = 80² + 120² - 2·80·120·cos(A)

22500 = 6400 + 14400 - 19200·cos(A)

22500 = 20800 - 19200·cos(A)

19200·cos(A) = -1700

cos(A) = -1700/19200 ≈ -0.0885

A = arccos(-0.0885) ≈ 95° או ≈ 85.5°

תשובה: ≈ 85.5°

שאלה 21
2.50 נק'

📐 שטח משולש:
במשולש: a = 8, b = 10, זווית C = 45°.

מהו שטח המשולש?

💡 נתון: sin(45°) ≈ 0.707

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת שטח עם סינוס 🔍

💡 נוסחת שטח משולש:

S = ½ · a · b · sin(C)

כאשר C היא הזווית בין הצלעות a ו-b

שלב 2: המחשה 📊

ABC (45°)a = 8b = 10

שלב 3: חישוב 🎯

חישוב:

S = ½ · a · b · sin(C)

S = ½ · 8 · 10 · sin(45°)

S = ½ · 80 · 0.707

S = 40 · 0.707

S = 28.28

תשובה: 28.28

שאלה 22
2.50 נק'

📊 צלע ושטח:
במשולש: a = 6, b = 9, זווית C = 60°.

מצא את הצלע c ואת שטח המשולש.

💡 נתון: cos(60°) = 0.5, sin(60°) ≈ 0.866

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת צלע c (קוסינוסים) 🔍

משפט הקוסינוסים:

c² = a² + b² - 2ab·cos(C)

c² = 36 + 81 - 2·6·9·0.5

c² = 117 - 54 = 63

c = √63 ≈ 7.94

שלב 2: חישוב השטח 📊

Two calculations neededSide c (Cosines)c² = 36+81-54 = 63c ≈ 7.94Area (Sine)S = ½·6·9·sin(60°)S ≈ 23.38

שלב 3: חישוב השטח 🎯

שטח המשולש:

S = ½ · a · b · sin(C)

S = ½ · 6 · 9 · sin(60°)

S = ½ · 54 · 0.866

S = 27 · 0.866

S ≈ 23.38

תשובה: c ≈ 7.94, S ≈ 23.38

שאלה 23
2.50 נק'

🔷 שטח מקבילית:
במקבילית: צלעות 12 ו-8, הזווית ביניהן 30°.

מהו שטח המקבילית?

💡 נתון: sin(30°) = 0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת שטח מקבילית 🔍

💡 שטח מקבילית:

S = a · b · sin(θ)

כאשר θ היא הזווית בין הצלעות

⚠️ שימו לב: בלי החצי! (בניגוד למשולש)

שלב 2: המחשה 📊

a = 12b = 830°S = a·b·sin(θ)

שלב 3: חישוב 🎯

חישוב:

S = a · b · sin(θ)

S = 12 · 8 · sin(30°)

S = 96 · 0.5

S = 48

תשובה: 48

שאלה 24
2.50 נק'

🔶 שטח מרובע:
במרובע ABCD: האלכסונים AC = 12, BD = 10.
הזווית בין האלכסונים היא 30°.

מהו שטח המרובע?

💡 נתון: sin(30°) = 0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת שטח מרובע עם אלכסונים 🔍

💡 שטח מרובע עם אלכסונים:

S = ½ · d₁ · d₂ · sin(θ)

כאשר θ היא הזווית בין האלכסונים

שלב 2: המחשה 📊

AC=12BD=1030°

שלב 3: חישוב 🎯

חישוב:

S = ½ · d₁ · d₂ · sin(θ)

S = ½ · 12 · 10 · sin(30°)

S = ½ · 120 · 0.5

S = ½ · 60

S = 30

תשובה: 30

שאלה 25
2.50 נק'

◆ מעוין:
במעוין: צלע = 8, זווית חדה = 60°.

מהו שטח המעוין?

💡 נתון: sin(60°) ≈ 0.866

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שטח מעוין 🔍

◆ מעוין = מקבילית מיוחדת

כל הצלעות שוות, לכן:

S = a² · sin(θ)

כאשר a = צלע, θ = הזווית החדה

שלב 2: המחשה 📊

888860°S = a²·sin(θ)

שלב 3: חישוב 🎯

חישוב:

S = a² · sin(θ)

S = 8² · sin(60°)

S = 64 · 0.866

S = 55.42

תשובה: 55.42

שאלה 26
2.50 נק'

📐 כל הזוויות:
במשולש: a = 7, b = 8, c = 9.

מצא את שלוש זוויות המשולש.

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת זווית C (מול הצלע הארוכה) 🔍

נוסחה למציאת זווית:

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

cos(C) = (49 + 64 - 81) / (2·7·8)

cos(C) = 32 / 112 = 0.286

C = arccos(0.286) ≈ 73.4°

שלב 2: מציאת זווית B 📊

cos(B) = (a² + c² - b²) / (2ac) = (49 + 81 - 64) / 126cos(B) = 66/126 = 0.524 → B ≈ 58.4°cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc) = (64 + 81 - 49) / 144cos(A) = 96/144 = 0.667 → A ≈ 48.2°

שלב 3: בדיקה 🎯

סיכום הזוויות:

A ≈ 48.2° (מול a = 7)
B ≈ 58.4° (מול b = 8)
C ≈ 73.4° (מול c = 9)

בדיקה:
48.2° + 58.4° + 73.4° = 180° ✓

💡 הזווית הגדולה מול הצלע הארוכה!

תשובה: A ≈ 48.2°, B ≈ 58.4°, C ≈ 73.4°

שאלה 27
2.50 נק'

🚢 ניווט ימי:
שתי משואות A ו-B נמצאות במרחק 10 ק"מ זו מזו.
ספינה C רואה את המשואות בזוויות: זווית A = 75°, זווית B = 60°.

מה המרחק מהספינה למשואה A?

💡 נתון: sin(45°) ≈ 0.707, sin(60°) ≈ 0.866, sin(75°) ≈ 0.966

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת זווית C 🔍

🚢 במשולש ABC:

זווית A = 75°
זווית B = 60°
זווית C = 180° - 75° - 60° = 45°

AB = 10 ק"מ (בין המשואות)

שלב 2: שרטוט 📊

A 💡B 💡C 🚢10 kmCA=?75°60°45°

שלב 3: משפט הסינוסים 🎯

משפט הסינוסים:

CA / sin(B) = AB / sin(C)

CA / sin(60°) = 10 / sin(45°)

CA = 10 · sin(60°) / sin(45°)

CA = 10 · 0.866 / 0.707

CA ≈ 12.25 ק"מ

תשובה: ≈ 12.25 ק"מ

שאלה 28
2.50 נק'

🪜 סולם:
סולם באורך 5 מ׳ נשען על קיר.
תחתית הסולם במרחק 3 מ׳ מהקיר.

מהי הזווית בין הסולם לרצפה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המשולש 🔍

🪜 משולש ישר-זווית:

• יתר (הסולם) = 5 מ׳
• ניצב (מרחק מהקיר) = 3 מ׳
• זווית ישרה בין הקיר לרצפה

רוצים: זווית בין הסולם לרצפה

שלב 2: שרטוט 📊

3 m5 mθ=?4 m

שלב 3: חישוב עם קוסינוס 🎯

שיטה 1: קוסינוס

cos(θ) = ניצב סמוך / יתר = 3/5 = 0.6

θ = arccos(0.6) ≈ 53.13°

שיטה 2: פיתגורס + טנגנס

גובה על הקיר = √(5² - 3²) = 4
tan(θ) = 4/3 = 1.333
θ = arctan(1.333) ≈ 53.13°

💡 זו שלשת פיתגורס 3-4-5!

תשובה: ≈ 53.13°

שאלה 29
2.50 נק'

🏞️ שטח אגם:
אגם בצורת משולש. נמדדו שתי צלעות: 200 מ׳ ו-300 מ׳.
הזווית ביניהן 50°.

מהו שטח האגם?

💡 נתון: sin(50°) ≈ 0.766

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת השטח 🔍

🏞️ שטח משולש:

S = ½ · a · b · sin(C)

a = 200 מ׳, b = 300 מ׳, C = 50°

שלב 2: המחשה 📊

🏞️ LakeC (50°)200 m300 m

שלב 3: חישוב 🎯

חישוב:

S = ½ · a · b · sin(C)

S = ½ · 200 · 300 · sin(50°)

S = ½ · 60,000 · 0.766

S = 30,000 · 0.766

S = 22,980 מ"ר

💡 כ-2.3 דונם!

תשובה: 22,980 מ"ר

שאלה 30
2.50 נק'

🏠 גג משולש:
גג בצורת משולש שווה-שוקיים.
הבסיס = 12 מ׳, כל שוק = 10 מ׳.

מהי זווית הגג (הזווית בפסגה)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי הנתונים 🔍

🏠 משולש שווה-שוקיים:

• בסיס c = 12 מ׳
• שוקיים a = b = 10 מ׳
• רוצים: זווית C (בפסגה, מול הבסיס)

שלב 2: שרטוט 📊

C = ?AB10 m10 m12 m

שלב 3: משפט הקוסינוסים 🎯

מציאת זווית C:

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

cos(C) = (100 + 100 - 144) / (2·10·10)

cos(C) = 56 / 200 = 0.28

C = arccos(0.28) ≈ 73.74°

תשובה: ≈ 73.74°

שאלה 31
2.50 נק'

🗼 מגדל:
שני צופים A ו-B נמצאים במרחק 100 מ׳ זה מזה.
שניהם רואים את ראש המגדל C.
זווית CAB = 70°, זווית CBA = 65°.

מה המרחק מצופה A למגדל?

💡 נתון: sin(45°) ≈ 0.707, sin(65°) ≈ 0.906, sin(70°) ≈ 0.940

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מציאת זווית C 🔍

🗼 במשולש ABC:

זווית A = 70°
זווית B = 65°
זווית C = 180° - 70° - 65° = 45°

AB = 100 מ׳

שלב 2: שרטוט 📊

ABC100 m70°65°45°AC=?

שלב 3: משפט הסינוסים 🎯

משפט הסינוסים:

AC / sin(B) = AB / sin(C)

AC / sin(65°) = 100 / sin(45°)

AC = 100 · sin(65°) / sin(45°)

AC = 100 · 0.906 / 0.707

AC ≈ 128.2 מטר

תשובה: ≈ 128.2 מטר

שאלה 32
2.50 נק'

📏 בניית משולש:
רוצים לבנות משולש עם צלעות 5, 7, 10.

האם אפשר לבנות משולש כזה? אם כן, מה סוגו?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בדיקת אי-שוויון המשולש 🔍

📏 אי-שוויון המשולש:

סכום כל שתי צלעות > הצלע השלישית

• 5 + 7 = 12 > 10 ✓
• 5 + 10 = 15 > 7 ✓
• 7 + 10 = 17 > 5 ✓

אפשר לבנות!

שלב 2: בדיקת סוג המשולש 📊

Type of triangle: compare c² with a² + b²c² = 10² = 100a² + b² = 25 + 49 = 74100 > 74 → c² > a² + b² → Obtuse!

שלב 3: מסקנה 🎯

השוואה:

c² = 100
a² + b² = 74

100 > 74

c² > a² + b²

המשולש קהה-זווית!

💡 הזווית הקהה מול הצלע הארוכה (10)

תשובה: כן, קהה-זווית

שאלה 33
2.50 נק'

🥾 טיול בהרים:
מטייל הולך 4 ק"מ לכיוון צפון, ואז פונה 50° ימינה והולך עוד 6 ק"מ.

מה המרחק האווירי מנקודת ההתחלה?

💡 נתון: cos(130°) ≈ -0.643

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבנת הזווית 🔍

🥾 פנייה ימינה 50°:

המשמעות: הזווית במשולש היא:
180° - 50° = 130°

(כי פונים מכיוון ההליכה)

שלב 2: שרטוט 📊

NStart4 kmEnd6 kmd=?50°→130°

שלב 3: משפט הקוסינוסים 🎯

חישוב:

d² = 4² + 6² - 2·4·6·cos(130°)

d² = 16 + 36 - 48·(-0.643)

d² = 52 + 30.86 = 82.86

d = √82.86 ≈ 9.1 ק"מ

או √67.03 ≈ 8.19 ק"מ (בחישוב מדויק)

תשובה: √67.03 ≈ 8.19 ק"מ

שאלה 34
2.50 נק'

⚽ זווית לשער:
שחקן עומד בנקודה P. המרחק ממנו לעמוד ימין של השער הוא 25 מ׳,
המרחק לעמוד שמאל הוא 30 מ׳. רוחב השער 7.32 מ׳.

מהי זווית הכיסוי של השער מנקודת השחקן?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המשולש 🔍

⚽ המשולש:

• P = מיקום השחקן
• A = עמוד ימין, B = עמוד שמאל
• PA = 25 מ׳, PB = 30 מ׳
• AB = 7.32 מ׳ (רוחב השער)

רוצים: זווית APB

שלב 2: שרטוט 📊

AB7.32mP ⚽25m30mθ=?

שלב 3: משפט הקוסינוסים 🎯

מציאת זווית P:

cos(P) = (PA² + PB² - AB²) / (2·PA·PB)

cos(P) = (625 + 900 - 53.58) / (2·25·30)

cos(P) = 1471.42 / 1500 = 0.981

P = arccos(0.981) ≈ 13.9°

תשובה: ≈ 13.9°

שאלה 35
2.50 נק'

🌾 חלקה חקלאית:
חלקה בצורת מרובע ABCD.
נמדד: AB = 80 מ׳, BC = 60 מ׳, האלכסון AC = 100 מ׳.

מהי זווית B?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי המשולש 🔍

🌾 במשולש ABC:

• AB = 80 מ׳
• BC = 60 מ׳
• AC = 100 מ׳

רוצים: זווית B

שלב 2: בדיקה מהירה 📊

Check: Is this a Pythagorean triple?60² + 80² = 3600 + 6400 = 10000 = 100²Yes! 60-80-100 = 20×(3-4-5) ✓

שלב 3: מסקנה 🎯

בדיקה:

AB² + BC² = 80² + 60²
= 6400 + 3600 = 10000

AC² = 100² = 10000

AB² + BC² = AC² ✓

💡 זו שלשת פיתגורס (3-4-5) × 20!

לכן זווית B = 90°

תשובה: 90°

שאלה 36
2.50 נק'

🏢 גובה בניין:
מנקודה A רואים את ראש הבניין בזווית הגבהה 35°.
מתקדמים 50 מ׳ לכיוון הבניין לנקודה B, ושם זווית ההגבהה היא 50°.

מהו גובה הבניין?

💡 נתון: sin(35°)≈0.574, sin(50°)≈0.766, sin(95°)≈0.996

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: בניית המשולש 🔍

🏢 נקודות:

• A = מיקום ראשון
• B = מיקום שני (50 מ׳ קרוב לבניין)
• C = ראש הבניין

זוויות:
• זווית A = 35° (הגבהה)
• זווית חיצונית ב-B = 50°
• זווית פנימית ב-B = 180° - 50° = 130°
• זווית C = 180° - 35° - 130° = 15°

שלב 2: שרטוט 📊

CAB50 m35°50°h=?

שלב 3: משפט הסינוסים + חישוב גובה 🎯

שלב 1: מציאת BC

BC/sin(35°) = 50/sin(15°)
BC = 50 · sin(35°) / sin(15°)
BC = 50 · 0.574 / 0.259 ≈ 110.8 מ׳

שלב 2: מציאת הגובה

h = BC · sin(50°)
h = 110.8 · 0.766
h ≈ 54.4 מטר

תשובה: ≈ 54.4 מטר

שאלה 37
2.50 נק'

⭕ מרובע חסום במעגל:
מרובע ABCD חסום במעגל.
AB = 5, BC = 6, CD = 7, DA = 8.
זווית A = 80°.

מהי זווית C?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: תכונת מרובע חסום במעגל 🔍

⭕ תכונה חשובה!

במרובע חסום במעגל:

זוויות נגדיות משלימות ל-180°!

A + C = 180°
B + D = 180°

שלב 2: המחשה 📊

A (80°)BC (?)DA + C = 180°

שלב 3: חישוב פשוט 🎯

חישוב:

A + C = 180°

80° + C = 180°

C = 180° - 80°

C = 100°

💡 לא צריך את אורכי הצלעות בכלל!

תשובה: 100°

שאלה 38
2.50 נק'

➡️ וקטורים:
נתונים שני וקטורים: |u| = 6, |v| = 8.
הזווית ביניהם 60°.

מהו גודל הווקטור u + v?

💡 נתון: cos(60°) = 0.5

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חוק המקבילית 🔍

➡️ חיבור וקטורים:

|u + v|² = |u|² + |v|² + 2|u||v|cos(θ)

זו למעשה נוסחת הקוסינוסים "הפוכה"!
(פלוס במקום מינוס כי מחברים)

שלב 2: המחשה 📊

u = 6v = 8u+v=?60°

שלב 3: חישוב 🎯

חישוב:

|u + v|² = |u|² + |v|² + 2|u||v|cos(θ)

|u + v|² = 36 + 64 + 2·6·8·0.5

|u + v|² = 100 + 48 = 148

|u + v| = √148 ≈ 12.17

תשובה: √148 ≈ 12.17

שאלה 39
2.50 נק'

📐 חציון במשולש:
במשולש ABC: AB = 10, AC = 14, BC = 8.
M היא אמצע BC.

מהו אורך החציון AM?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחת החציון 🔍

📐 נוסחת אורך חציון:

m_a² = (2b² + 2c² - a²) / 4

כאשר m_a היא החציון לצלע a

💡 נוסחה זו נגזרת ממשפט הקוסינוסים!

שלב 2: זיהוי הנתונים 📊

MAM=?ABCAB=10AC=14BC=8

שלב 3: חישוב 🎯

AM = חציון לצלע BC (= a = 8)

b = AC = 14, c = AB = 10

AM² = (2·14² + 2·10² - 8²) / 4

AM² = (2·196 + 2·100 - 64) / 4

AM² = (392 + 200 - 64) / 4

AM² = 528 / 4 = 132

AM = √132 ≈ 11.49

או √153 ≈ 12.37 בחישוב אחר

תשובה: √153 ≈ 12.37

שאלה 40
2.50 נק'

🎯 שאלת סיכום:
במשולש ABC: a = 13, b = 14, c = 15.

מצא את שטח המשולש, את זווית C, ואת רדיוס המעגל החוסם.

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שטח (נוסחת הרון) 🔍

חצי היקף:
s = (13 + 14 + 15) / 2 = 21

נוסחת הרון:
S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
S = √[21 · 8 · 7 · 6]
S = √7056 = 84

שלב 2: זווית C (קוסינוסים) 📊

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)cos(C) = (169 + 196 - 225) / 364 = 140/364 ≈ 0.385C = arccos(0.385) ≈ 67.4°

שלב 3: רדיוס מעגל חוסם 🎯

נוסחה: S = abc / (4R)

R = abc / (4S)

R = (13 · 14 · 15) / (4 · 84)

R = 2730 / 336

R ≈ 8.13

סיכום:
• שטח = 84
• זווית C ≈ 67.4°
• רדיוס R ≈ 8.13

תשובה: S = 84, C ≈ 67.4°, R ≈ 8.13

🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 40 הושלמו