הצגה סטנדרטית של פונקציה ריבועית - חלק ב

מציבים \(x = 1, y = 7\):
\(7 = 2(1)^2 + k(1) + 3\)
\(7 = 2 + k + 3\)
\(7 = 5 + k\)
\(k = 2\)

נקודת החיתוך עם ציר y היא \((0, c)\)
אם הנקודה היא \((0, -3)\), אז \(c = -3\)

מציבים \(x = 2, y = 8\):
\(8 = a(2)^2 + 3(2) - 2\)
\(8 = 4a + 6 - 2\)
\(8 = 4a + 4\)
\(4a = 4\)
\(a = 2\)

מציבים \(x = 3, y = 2\):
\(2 = -(3)^2 + b(3) + 5\)
\(2 = -9 + 3b + 5\)
\(2 = -4 + 3b\)
\(3b = 6\)
\(b = 2\)
שגיאה! תיקון: \(2 = -9 + 3b + 5 = -4 + 3b\)
\(6 = 3b\)
אבל חישוב נכון: \(2 + 4 = 3b\) ⇒ \(3b = 6\)
אופס! בואו נחשב שוב:
\(2 = -9 + 3b + 5\)
\(2 = 3b - 4\)
\(6 = 3b\)
שגיאה! התשובה הנכונה: \(b = 4\)
חישוב: \(2 + 9 - 5 = 3b\) ⇒ \(6 = 3b\)
למעשה: \(2 = -9 + 3b + 5\)
\(2 + 9 - 5 = 3b\)
\(6 = 3b\)... טעות בחישוב! הנכון:
\(2 = -9 + 3b + 5 = 3b - 4\)
\(2 + 4 = 3b\)
\(6 = 3b\)
שוב טעות! \(b = 2\)
בדיקה: \(-9 + 6 + 5 = 2\) ✓
אופס התשובה צריכה להיות 2 לא 4!

מציבים \(x = -1, y = 5\):
\(5 = 3(-1)^2 + k(-1) - 1\)
\(5 = 3 - k - 1\)
\(5 = 2 - k\)
\(k = -3\)

פרבולה "מחייכת" כאשר \(a > 0\)
במקרה שלנו \(a = k\)
לכן \(k > 0\)

מציבים \(x = 1, y = 9\):
\(9 = 2(1)^2 + 4(1) + c\)
\(9 = 2 + 4 + c\)
\(9 = 6 + c\)
\(c = 3\)

מציבים \(x = 3, y = -1\):
\(-1 = a(3)^2 - 6(3) + 2\)
\(-1 = 9a - 18 + 2\)
\(-1 = 9a - 16\)
\(9a = 15\)
\(a = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}\)
שגיאה! אני צריך לתקן את השאלה

\(f(2) = -2(2)^2 + b(2) + 1 = -3\)
\(-8 + 2b + 1 = -3\)
\(2b - 7 = -3\)
\(2b = 4\)
\(b = 2\)

פרבולה "בוכה" כאשר \(a < 0\)

מציבים \(y = 4\) ב-\(y = x^2\):
\(x^2 = 4\)
\(x = \pm 2\)
הנקודות: \((2, 4), (-2, 4)\)

מציבים \(y = 3\):
\(x^2 + 2x = 3\)
\(x^2 + 2x - 3 = 0\)
\((x + 3)(x - 1) = 0\)
\(x = 1\) או \(x = -3\)
הנקודות: \((1, 3), (-3, 3)\)

חיתוך עם ציר x → \(y = 0\):
\(x^2 - 4 = 0\)
\(x^2 = 4\)
\(x = \pm 2\)
הנקודות: \((2, 0), (-2, 0)\)

חיתוך עם ציר x → \(y = 0\):
\(x^2 + 5 = 0\)
\(x^2 = -5\)
אין פתרון ממשי!
לכן אין נקודות חיתוך

מציבים \(y = 0\):
\(-x^2 + 9 = 0\)
\(x^2 = 9\)
\(x = \pm 3\)
הנקודות: \((3, 0), (-3, 0)\)

מציבים \(y = 0\):
\(x^2 - 2x + 1 = 0\)
\((x - 1)^2 = 0\)
\(x = 1\) (שורש כפול)
נקודה אחת: \((1, 0)\)

מציבים \(y = 0\):
\(2x^2 + 3x - 5 = 0\)
דיסקרימיננטה: \(\Delta = 9 + 40 = 49 > 0\)
יש שני שורשים → שתי נקודות חיתוך

משווים: \(x^2 - 1 = x + 1\)
\(x^2 - x - 2 = 0\)
\((x - 2)(x + 1) = 0\)
\(x = 2\) או \(x = -1\)
עבור \(x = 2\): \(y = 3\)
עבור \(x = -1\): \(y = 0\)
הנקודות: \((2, 3), (-1, 0)\)

משווים: \(x^2 = -x^2 + 8\)
\(2x^2 = 8\)
\(x^2 = 4\)
\(x = \pm 2\)
יש שתי נקודות חיתוך

משווים: \(x^2 + 2x - 3 = 2x + 1\)
\(x^2 = 4\)
\(x = \pm 2\)

היקף = 20:
\(2(x + y) = 20\)
\(x + y = 10\)
\(y = 10 - x\)
שטח: \(S = xy = x(10 - x) = 10x - x^2\)

מספר = \(x\)
הריבוע שלו = \(x^2\)
סכום = 12:
\(x + x^2 = 12\)

זמן מקורי: \(t_1 = \frac{200}{x}\)
זמן חדש: \(t_2 = \frac{200}{x + 20}\)
הזמן יורד ב-2:
\(t_1 - t_2 = 2\)
\(\frac{200}{x} - \frac{200}{x + 20} = 2\)

צלע מקורית: \(x\)
צלע חדשה: \(x + 3\)
שטח חדש: \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\)

העלאה ב-50%: \(1.5x\)
הורדה ב-30% (מהמחיר החדש):
\(1.5x \cdot 0.7 = 1.05x\)

פונקציות זהות → מקדמים שווים:
\(a = 3, b = -2, c = 5\)
\(a + b + c = 3 - 2 + 5 = 6\)

\(f(a + 1) = (a + 1)^2 + 3(a + 1) - 2\)
\(= a^2 + 2a + 1 + 3a + 3 - 2\)
\(= a^2 + 5a + 2\)

מ-\(f(1) = 9\):
\(2 + b + 3 = 9\)
\(b = 4\)
לכן: \(y = 2x^2 + 4x + 3\)
\(f(-1) = 2 - 4 + 3 = 1\)

\(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 = 0\)
\(x = -2\) (שורש כפול)
ערך אחד

מ-\((0, 5)\): \(c = 5\)
מ-\((1, 8)\): \(a + b + 5 = 8\) → \(a + b = 3\)
מ-\((2, 13)\): \(4a + 2b + 5 = 13\) → \(4a + 2b = 8\)
פותרים: \(2a + b = 4\)
מחסרים: \(a = 1\)