guest-7aca56d78c844e95a11fb3d6de4d57e1@guest.local (ID: 14129) מבחן: אומדן פרמטרים

אומדן פרמטרים

מבחן אומדן פרמטרים - 50 שאלות: פרמטר vs סטטיסטי, הטיה ויעילות, אומדן לממוצע/שונות/פרופורציה, דרגות חופש.

| 1 | 1-10 | מושגי יסוד: פרמטר, סטטיסטי, אומדן, הטיה, יעילות, עקביות, MSE | | 2 | 11-20 | אומדן לממוצע: x̄, תכונותיו, שגיאת תקן | | 3 | 21-30 | אומדן לשונות: s², דרגות חופש, n-1 | | 4 | 31-40 | אומדן לפרופורציה: p̂, שונות, SE | | 5 | 41-50 | שאלות אינטגרטיביות ומתקדמות |
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 50
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
2.00 נק'

📊 מושגי יסוד:
מהו פרמטר בסטטיסטיקה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הגדרת פרמטר 🔍

הסבר יומיומי:

🔒 פרמטר = מספר שמתאר את כל האוכלוסייה

זה כמו "האמת" שאנחנו מנסים לגלות!

דוגמאות:
• הגובה הממוצע של כל הישראלים
• שיעור המצביעים האמיתי למפלגה
• זמן ההמתנה הממוצע של כל הלקוחות

הפרמטר קבוע - אבל בדרך כלל לא ידוע לנו!

שלב 2: המחשה ויזואלית 📊

האוכלוסייה?פרמטר: μ, σ, pקבוע אבל לא ידוע - זה מה שרוצים לגלות!

שלב 3: סימונים מקובלים 🎯

פרמטרים נפוצים (אותיות יווניות):

• μ (מיו) = ממוצע האוכלוסייה
• σ (סיגמא) = סטיית תקן האוכלוסייה
• σ² = שונות האוכלוסייה
• p = פרופורציה באוכלוסייה

תשובה נכונה: מספר קבוע שמתאר תכונה של האוכלוסייה

שאלה 2
2.00 נק'

📊 מושגי יסוד:
מהו סטטיסטי (Statistic)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הגדרת סטטיסטי 🔍

הסבר יומיומי:

📊 סטטיסטי = מספר שמחושב מהמדגם

זה מה שאנחנו באמת יכולים לחשב!

דוגמאות:
• ממוצע הציונים של 100 תלמידים שנבחרו
• שיעור התומכים ב-500 אנשים שנשאלו
• זמן ההמתנה הממוצע של 50 לקוחות שנדגמו

הסטטיסטי משתנה ממדגם למדגם!

שלב 2: השוואה 📊

פרמטר (אוכלוסייה)סטטיסטי (מדגם)קבועמשתנהלא ידועמחושבμ, σ, px̄, s, p̂

שלב 3: סימונים 🎯

סטטיסטים נפוצים (אותיות לטיניות):

• x̄ = ממוצע המדגם
• s = סטיית תקן המדגם
• s² = שונות המדגם
• p̂ = פרופורציית המדגם

תשובה נכונה: מספר שמחושב מנתוני המדגם

שאלה 3
2.00 נק'

📊 מושגי יסוד:
מהו אומדן (Estimator)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הגדרת אומדן 🔍

הסבר יומיומי:

🎯 אומדן = סטטיסטי שאנחנו משתמשים בו
כדי לנחש מה הפרמטר

זה הגשר בין מה שיש לנו (מדגם)
למה שאנחנו רוצים לדעת (פרמטר)!

אומדן = כלי להערכת הלא-נודע

שלב 2: הקשר בין המושגים 📊

פרמטרμ (לא ידוע)רוציםלדעתאומדןx̄ מעריך את μ(הגשר!)מחושבמהמדגםמדגםנתוניםאומדן = סטטיסטי בתפקיד הערכה

שלב 3: דוגמאות 🎯

אומדנים נפוצים:

• x̄ הוא אומדן ל-μ
• s² הוא אומדן ל-σ²
• p̂ הוא אומדן ל-p

הסימון ^ (כובע) מציין שזה אומדן!

תשובה נכונה: סטטיסטי שמשמש להערכת פרמטר לא ידוע

שאלה 4
2.00 נק'

📊 סוגי אומדנים:
מהו אומדן נקודתי?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הגדרה 🔍

הסבר יומיומי:

🎯 אומדן נקודתי = מספר אחד שמהווה
את ההערכה הטובה ביותר שלנו לפרמטר

דוגמה:
"הגובה הממוצע הוא 172 ס"מ"

זה מספר בודד - נקודה אחת על ציר המספרים!

שלב 2: השוואה לאומדן אחר 📊

אומדן נקודתיx̄ = 172רווח סמך (נלמד בהמשך)168176

תשובה נכונה: ערך בודד שמשמש כהערכה לפרמטר

שאלה 5
2.00 נק'

📊 תכונות אומדן:
מהו אומדן חסר הטיה (Unbiased)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הגדרה 🔍

הסבר יומיומי:

🎯 אומדן חסר הטיה = אומדן שבממוצע "פוגע במטרה"

זה לא אומר שכל פעם נקבל את הפרמטר בדיוק!
אבל אם נחזור על הניסוי הרבה פעמים,
הממוצע של כל האומדנים יהיה הפרמטר

אין נטייה שיטתית לצד אחד

שלב 2: המחשה 📊

חסר הטיהθE(θ̂) = θ ✓מוטהθE(θ̂) ≠ θ ✗בממוצע פוגע במטרה = חסר הטיה

שלב 3: הגדרה מתמטית 🎯

הגדרה פורמלית:

אומדן θ̂ הוא חסר הטיה לפרמטר θ אם:

E(θ̂) = θ

דוגמה: x̄ חסר הטיה ל-μ כי E(x̄) = μ

תשובה נכונה: אומדן שהתוחלת שלו שווה לפרמטר הנאמד

שאלה 6
2.00 נק'

📊 הטיה של אומדן:
מהי ההטיה (Bias) של אומדן θ̂ לפרמטר θ?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הגדרת הטיה 🔍

הסבר יומיומי:

📐 הטיה = המרחק בין "לאן האומדן מכוון בממוצע"
לבין "המטרה האמיתית"

זו הטעות השיטתית - לא הטעות האקראית!

הטיה = תוחלת האומדן פחות הפרמטר

שלב 2: נוסחה 📊

נוסחת ההטיה:Bias(θ̂) = E(θ̂) - θ

שלב 3: מקרים מיוחדים 🎯

פרשנות:

• אם Bias = 0 → האומדן חסר הטיה
• אם Bias > 0 → האומדן מעריך יתר (overestimate)
• אם Bias < 0 → האומדן מעריך חסר (underestimate)

תשובה נכונה: Bias(θ̂) = E(θ̂) - θ

שאלה 7
2.00 נק'

📊 יעילות של אומדן:
בין שני אומדנים חסרי הטיה לאותו פרמטר, איזה אומדן יעיל יותר?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הגדרת יעילות 🔍

הסבר יומיומי:

🎯 שני אומדנים יכולים להיות חסרי הטיה,
אבל אחד יכול להיות מדויק יותר!

אומדן יעיל יותר = פחות "מפוזר" סביב המטרה
= שונות קטנה יותר

יעילות = ריכוז סביב המטרה

שלב 2: המחשה 📊

השוואת יעילותθשונות קטנהיעיל יותר ✓שונות גדולהפחות יעיל

שלב 3: סיכום 🎯

כלל:

בין אומדנים חסרי הטיה,
האומדן היעיל ביותר הוא זה עם השונות הקטנה ביותר

הוא נקרא גם MVUE
(Minimum Variance Unbiased Estimator)

תשובה נכונה: האומדן עם השונות הקטנה יותר

שאלה 8
2.00 נק'

📊 עקביות של אומדן:
מהו אומדן עקבי (Consistent)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הגדרת עקביות 🔍

הסבר יומיומי:

📈 אומדן עקבי = משתפר ככל שיש יותר נתונים

כשהמדגם גדל ללא גבול,
האומדן "מתקרב" יותר ויותר לפרמטר האמיתי

יותר נתונים = יותר דיוק!

שלב 2: המחשה 📊

התכנסות אומדן עקביθn=10n=30n=100n=500n→∞

שלב 3: הגדרה פורמלית 🎯

הגדרה:

אומדן θ̂ₙ הוא עקבי אם:

θ̂ₙ →ₚ θ כש-n → ∞

(מתכנס בהסתברות לפרמטר)

תשובה נכונה: אומדן שמתכנס לפרמטר כשגודל המדגם שואף לאינסוף

שאלה 9
2.00 נק'

📊 טעות ריבועית ממוצעת:
מהי הנוסחה ל-MSE (Mean Squared Error) של אומדן?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהו MSE? 🔍

הסבר יומיומי:

📏 MSE = מדד כולל לטיב האומדן

הוא משלב את שני סוגי הטעות:
1. טעות שיטתית (הטיה)
2. טעות אקראית (שונות)

MSE = שונות + הטיה בריבוע

שלב 2: הנוסחה 📊

נוסחת MSE:MSE(θ̂) = Var(θ̂) + [Bias(θ̂)]²שונות(פיזור אקראי)+הטיה²(טעות שיטתית)

שלב 3: מקרה מיוחד 🎯

שימו לב:

אם האומדן חסר הטיה (Bias = 0):

MSE = Var(θ̂)

במקרה זה, MSE שווה בדיוק לשונות!

תשובה נכונה: MSE = Var(θ̂) + [Bias(θ̂)]²

שאלה 10
2.00 נק'

📊 זיהוי סימונים:
מה מייצג הסימון p̂ (פי עם כובע)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משמעות הכובע 🔍

הסבר יומיומי:

🎩 כובע (^) על אות = אומדן!

• p = הפרופורציה האמיתית באוכלוסייה (פרמטר)
• p̂ = הפרופורציה במדגם (אומדן)

הכובע מסמן: "זה מה שאנחנו מעריכים"

שלב 2: טבלת סימונים 📊

פרמטראומדןתיאורμx̄ או μ̂ממוצעσ²s² או σ̂²שונותpp̂פרופורציה

תשובה נכונה: פרופורציית המדגם - אומדן ל-p

שאלה 11
2.00 נק'

📊 אומדן לממוצע:
מהו האומדן הנקודתי הטוב ביותר לממוצע האוכלוסייה μ?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: למה x̄? 🔍

הסבר יומיומי:

🏆 ממוצע המדגם x̄ הוא האומדן הטוב ביותר ל-μ

למה?
✅ חסר הטיה: E(x̄) = μ
✅ יעיל: שונות מינימלית בין אומדנים חסרי הטיה
✅ עקבי: מתכנס ל-μ כש-n גדל

שלב 2: הנוסחה 📊

ממוצע המדגם:x̄ = (Σxᵢ) / n

שלב 3: תכונות 🎯

תכונות של x̄ כאומדן ל-μ:

• E(x̄) = μ (חסר הטיה)
• Var(x̄) = σ²/n (שונות)
• SE(x̄) = σ/√n (שגיאת תקן)

תשובה נכונה: ממוצע המדגם x̄

שאלה 12
2.00 נק'

📊 חישוב:
במדגם של 5 תצפיות: 12, 15, 18, 14, 16

מהו האומדן הנקודתי לממוצע האוכלוסייה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: זיהוי האומדן 🔍

האומדן הנקודתי ל-μ הוא x̄

נתונים: 12, 15, 18, 14, 16
n = 5

שלב 2: חישוב 📊

x̄ = (Σxᵢ) / nx̄ = (12+15+18+14+16) / 5x̄ = 75 / 5x̄ = 15

תשובה נכונה: 15

שאלה 13
2.00 נק'

📊 שגיאת תקן:
אם σ = 12 ו-n = 36,

מהי שגיאת התקן של ממוצע המדגם?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחה 🔍

שגיאת התקן של x̄:

SE(x̄) = σ / √n

שלב 2: חישוב 📊

SE = 12 / √36SE = 12 / 6SE = 2

תשובה נכונה: 2

שאלה 14
2.00 נק'

📊 שונות הממוצע:
אם שונות האוכלוסייה היא σ² = 100 וגודל המדגם הוא n = 25,

מהי שונות ממוצע המדגם Var(x̄)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחה 🔍

שונות ממוצע המדגם:

Var(x̄) = σ² / n

שלב 2: חישוב 📊

Var(x̄) = 100 / 25Var(x̄) = 4

שלב 3: בדיקה 🎯

בדיקה עם SE:

SE = √Var(x̄) = √4 = 2

או: SE = σ/√n = 10/5 = 2 ✓

תשובה נכונה: 4

שאלה 15
2.00 נק'

📊 MSE של ממוצע:
מכיוון שממוצע המדגם x̄ הוא אומדן חסר הטיה ל-μ,

מהו MSE(x̄)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הקשר בין MSE לשונות 🔍

נזכר:

MSE = Var(θ̂) + [Bias(θ̂)]²

מכיוון ש-x̄ חסר הטיה:
Bias(x̄) = E(x̄) - μ = μ - μ = 0

לכן: MSE = Var(x̄) + 0² = Var(x̄)

שלב 2: מסקנה 📊

עבור אומדן חסר הטיה:MSE(x̄) = Var(x̄) = σ²/n

תשובה נכונה: MSE(x̄) = σ²/n

שאלה 16
2.00 נק'

📊 השפעת גודל המדגם:
אם מכפילים את גודל המדגם פי 4,

מה קורה לשגיאת התקן של הממוצע?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הקשר עם השורש 🔍

נזכר בנוסחה:

SE = σ / √n

n נמצא תחת שורש!

לכן אם n גדל פי 4:
√n גדל פי √4 = 2
ו-SE קטן פי 2

שלב 2: דוגמה מספרית 📊

לפני:n = 25SE = σ/5→n × 4אחרי:n = 100SE = σ/10SE קטן פי 2!

תשובה נכונה: קטנה פי 2

שאלה 17
2.00 נק'

📊 גודל מדגם נדרש:
רוצים שגיאת תקן של 3. סטיית התקן של האוכלוסייה היא σ = 15.

מהו גודל המדגם הנדרש?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחה 🔍

מהנוסחה SE = σ/√n נובע:

√n = σ/SE
n = (σ/SE)²

שלב 2: חישוב 📊

n = (15/3)²n = 5²n = 25

תשובה נכונה: n = 25

שאלה 18
2.00 נק'

📊 חישוב:
במדגם של 4 תצפיות: 10, 20, 30, 40

מהו האומדן הנקודתי ל-μ?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב ממוצע 📊

x̄ = (10+20+30+40) / 4x̄ = 100 / 4x̄ = 25

תשובה נכונה: 25

שאלה 19
2.00 נק'

📊 תוחלת הממוצע:
אם ממוצע האוכלוסייה הוא μ = 80,

מהי התוחלת של ממוצע המדגם E(x̄)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: התכונה המרכזית 🔍

תכונה חשובה:

ממוצע המדגם הוא חסר הטיה

לכן: E(x̄) = μ

זה נכון לכל גודל מדגם!

שלב 2: מסקנה 📊

E(x̄) = μ = 80

תשובה נכונה: 80

שאלה 20
2.00 נק'

📊 יעילות:
למה ממוצע המדגם x̄ נחשב לאומדן יעיל ל-μ?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: משפט גאוס-מרקוב 🔍

הסבר:

🏆 משפט מתמטי מוכיח ש-x̄ הוא האומדן הלינארי
חסר ההטיה עם השונות הנמוכה ביותר

זה נקרא BLUE:
Best Linear Unbiased Estimator

שלב 2: המשמעות 📊

למה זה חשוב?

• שונות קטנה = פחות פיזור
• פחות פיזור = יותר דיוק
• יותר דיוק = אומדן טוב יותר!

x̄ נותן את ההערכה הכי מרוכזת סביב μ

תשובה נכונה: כי יש לו שונות מינימלית בין כל האומדנים חסרי ההטיה

שאלה 21
2.00 נק'

📊 אומדן לשונות:
מהו האומדן חסר ההטיה לשונות האוכלוסייה σ²?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: למה n-1? 🔍

הסבר יומיומי:

🎯 כשמחלקים ב-n, האומדן מוטה כלפי מטה
(מעריך חסר את השונות)

חלוקה ב-(n-1) מתקנת את ההטיה!

n-1 נקרא "דרגות חופש" (degrees of freedom)

שלב 2: הנוסחאות 📊

✓ חסר הטיה:s² = Σ(xᵢ-x̄)²/(n-1)✗ מוטה:Σ(xᵢ-x̄)²/nn-1 = דרגות חופש"מפצה" על השימוש ב-x̄ במקום μ

שלב 3: הגדרה פורמלית 🎯

שונות המדגם (Sample Variance):

s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)

תכונה: E(s²) = σ² (חסר הטיה!)

תשובה נכונה: s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)

שאלה 22
2.00 נק'

📊 דרגות חופש:
במדגם של n = 20 תצפיות,

כמה דרגות חופש יש בחישוב שונות המדגם s²?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: מהן דרגות חופש? 🔍

הסבר יומיומי:

📊 דרגות חופש = כמה ערכים "חופשיים" להשתנות

כשמחשבים s², אנחנו משתמשים ב-x̄
זה "נועל" ערך אחד (כי הסכום חייב לתת x̄×n)

לכן יש רק n-1 ערכים חופשיים!

שלב 2: חישוב 📊

df = n - 1 = 20 - 1df = 19

תשובה נכונה: 19

שאלה 23
2.00 נק'

📊 חישוב שונות:
במדגם של 3 תצפיות: 2,5, 8
הממוצע הוא x̄ = 5.

מהי שונות המדגם s²?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב הסטיות 🔍

נתונים: 2, 5, 8    x̄ = 5    n = 3

סטיות מהממוצע:
• 2 - 5 = -3
• 5 - 5 = 0
• 8 - 5 = 3

שלב 2: חישוב s² 📊

s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)s² = [(-3)² + 0² + 3²] / (3-1)s² = [9 + 0 + 9] / 2 = 18/2s² = 9

תשובה נכונה: 9

שאלה 24
2.00 נק'

📊 סטיית תקן מדגם:
אם שונות המדגם היא s² = 16,

מהי סטיית התקן של המדגם s?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הקשר בין שונות לסטיית תקן 🔍

נזכר:

סטיית תקן = שורש של שונות

s = √s²

חישוב 📊

s = √16 = 4

תשובה נכונה: 4

שאלה 25
2.00 נק'

📊 הטיה:
אם מחשבים את השונות על ידי חלוקה ב-n במקום ב-(n-1),

מה קורה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ההטיה 🔍

הסבר:

כשמחלקים ב-n (במקום n-1):

E[Σ(xᵢ-x̄)²/n] = σ² × (n-1)/n

זה קטן מ-σ²!

האומדן מעריך חסר את השונות האמיתית

שלב 2: דוגמה מספרית 📊

דוגמה:

אם σ² = 100 ו-n = 10:

• חלוקה ב-n: תוחלת = 100 × 9/10 = 90 (פחות מ-100!)
• חלוקה ב-(n-1): תוחלת = 100 (בדיוק!)

תשובה נכונה: האומדן מוטה כלפי מטה (מעריך חסר)

שאלה 26
2.00 נק'

📊 אומדן לסטיית תקן:
האם s = √s² הוא אומדן חסר הטיה ל-σ?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הבעיה עם השורש 🔍

עובדה מפתיעה:

• s² הוא חסר הטיה ל-σ²
• אבל s = √s² לא חסר הטיה ל-σ!

למה? כי E(√X) ≠ √E(X)
(פונקציית השורש היא קעורה)

s מעריך חסר מעט את σ

שלב 2: הערה חשובה 📊

בפועל:

ההטיה קטנה מאוד, במיוחד כש-n גדול

לכן בדרך כלל משתמשים ב-s כאומדן ל-σ
למרות שהוא לא חסר הטיה לחלוטין

תשובה נכונה: לא - s מוטה מעט כלפי מטה

שאלה 27
2.00 נק'

📊 חישוב:
נתון: Σ(xᵢ - x̄)² = 72 ו-n = 9

מהי שונות המדגם s²?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב פשוט 📊

s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)s² = 72 / (9-1) = 72/8s² = 9

תשובה נכונה: 9

שאלה 28
2.00 נק'

📊 תוחלת השונות:
אם שונות האוכלוסייה היא σ² = 25,

מהי התוחלת של שונות המדגם E(s²)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

התכונה המרכזית 🔍

s² חסר הטיה!

זה אומר:

E(s²) = σ²

לכן: E(s²) = 25

תשובה נכונה: 25

שאלה 29
2.00 נק'

📊 הבחנה חשובה:
מה ההבדל בין סטיית תקן המדגם (s) לבין שגיאת התקן של הממוצע (SE)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: שני מושגים שונים! 🔍

s (סטיית תקן המדגם):
כמה הנתונים במדגם מפוזרים סביב הממוצע

SE (שגיאת תקן):
כמה הממוצע x̄ צפוי להיות קרוב ל-μ
= כמה מדויק האומדן שלנו

שלב 2: הנוסחאות 📊

סטיית תקן המדגםs = √[Σ(xᵢ-x̄)²/(n-1)]פיזור הנתוניםשגיאת תקןSE = s / √nדיוק האומדן

תשובה נכונה: s מודד פיזור הנתונים, SE מודד דיוק הממוצע

שאלה 30
2.00 נק'

📊 חישוב:
במדגם של n = 25, סטיית תקן המדגם היא s = 10.

מהי שגיאת התקן של הממוצע?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב 📊

SE = s / √nSE = 10 / √25 = 10/5SE = 2

תשובה נכונה: 2

שאלה 31
2.00 נק'

📊 אומדן לפרופורציה:
מהו האומדן הנקודתי לפרופורציית האוכלוסייה p?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הגדרה 🔍

הסבר יומיומי:

🎯 פרופורציית המדגם p̂ = חלק ה"הצלחות" במדגם

אם שאלנו 100 אנשים ו-60 תמכו:
p̂ = 60/100 = 0.6 = 60%

p̂ = X/n

שלב 2: הנוסחה 📊

פרופורציית המדגם:p̂ = X / n

שלב 3: תכונות 🎯

תכונות של p̂:

• E(p̂) = p (חסר הטיה!)
• Var(p̂) = p(1-p)/n
• SE(p̂) = √[p(1-p)/n]

תשובה נכונה: p̂ = X/n

שאלה 32
2.00 נק'

📊 חישוב:
בסקר של 200 אנשים, 120 אמרו שהם מרוצים.

מהו האומדן הנקודתי לפרופורציית המרוצים באוכלוסייה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב 📊

p̂ = X / np̂ = 120 / 200p̂ = 0.6 (או 60%)

תשובה נכונה: 0.6

שאלה 33
2.00 נק'

📊 תוחלת הפרופורציה:
אם הפרופורציה האמיתית באוכלוסייה היא p = 0.3,

מהי התוחלת של פרופורציית המדגם E(p̂)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

p̂ חסר הטיה! 🔍

תכונה חשובה:

פרופורציית המדגם p̂ היא אומדן חסר הטיה ל-p

לכן: E(p̂) = p = 0.3

תשובה נכונה: 0.3

שאלה 34
2.00 נק'

📊 שונות הפרופורציה:
מהי הנוסחה לשונות של פרופורציית המדגם p̂?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: הנוסחה 🔍

שונות פרופורציית המדגם:

Var(p̂) = p(1-p)/n

שימו לב: זה דומה לשונות של ברנולי מחולקת ב-n!

שלב 2: הקשר לשגיאת תקן 📊

שגיאת התקן:

SE(p̂) = √Var(p̂) = √[p(1-p)/n]

או:
SE(p̂) = √[p(1-p)] / √n

תשובה נכונה: Var(p̂) = p(1-p)/n

שאלה 35
2.00 נק'

📊 חישוב שגיאת תקן:
p = 0.5, n = 100

מהי שגיאת התקן של p̂?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב 📊

SE = √[p(1-p)/n]SE = √[0.5 × 0.5 / 100]SE = √[0.25/100] = √0.0025SE = 0.05

תשובה נכונה: 0.05

שאלה 36
2.00 נק'

📊 שונות מקסימלית:
עבור איזה ערך של p השונות Var(p̂) = p(1-p)/n מקסימלית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: ניתוח p(1-p) 🔍

הסבר:

p(1-p) היא פרבולה הפוכה!

• כש-p = 0: p(1-p) = 0
• כש-p = 0.5: p(1-p) = 0.5 × 0.5 = 0.25 (מקסימום!)
• כש-p = 1: p(1-p) = 0

שלב 2: גרף 📊

00.510.25MAXp

תשובה נכונה: p = 0.5

שאלה 37
2.00 נק'

📊 אומדן שמרני:
כשלא יודעים את p, איזה ערך משתמשים בו לחישוב שגיאת תקן "שמרני" (מקסימלי)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הסבר 🔍

למה p = 0.5?

כשמשתמשים ב-p = 0.5, מקבלים את שגיאת התקן הגדולה ביותר

זה "שמרני" כי:
• מבטיח שלא נמעיט בגודל המדגם הנדרש
• נותן את ה"מקרה הגרוע ביותר"

p = 0.5 נותן את האומדן הזהיר ביותר

תשובה נכונה: p = 0.5

שאלה 38
2.00 נק'

📊 גודל מדגם:
רוצים שגיאת תקן של 0.02 לאומדן פרופורציה.
משתמשים באומדן שמרני p = 0.5.

מהו גודל המדגם הנדרש?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: נוסחה 🔍

מהנוסחה:

SE = √[p(1-p)/n]

נפתור ל-n:
n = p(1-p) / SE²

שלב 2: חישוב 📊

n = 0.5 × 0.5 / (0.02)²n = 0.25 / 0.0004n = 625

תשובה נכונה: 625

שאלה 39
2.00 נק'

📊 השפעת גודל המדגם:
אם מגדילים את n פי 4,

מה קורה לשגיאת התקן של p̂?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

אותו עיקרון כמו בממוצע! 🔍

הסבר:

SE(p̂) = √[p(1-p)/n]

n נמצא תחת שורש!

אם n גדל פי 4 → √n גדל פי 2
→ SE קטן פי 2

תשובה נכונה: קטנה פי 2

שאלה 40
2.00 נק'

📊 MSE של פרופורציה:
מכיוון ש-p̂ חסר הטיה,

מהו MSE(p̂)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הקשר 🔍

נזכר:

MSE = Var + Bias²

מכיוון ש-p̂ חסר הטיה: Bias = 0

לכן: MSE(p̂) = Var(p̂) = p(1-p)/n

תשובה נכונה: MSE(p̂) = p(1-p)/n

שאלה 41
2.00 נק'

📊 השוואת אומדנים:
נתונים שני אומדנים ל-θ:
אומדן A: E(A) = θ, Var(A) = 10
אומדן B: E(B) = θ+2, Var(B) = 5

איזה אומדן יעדיפו לפי MSE?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלב 1: חישוב MSE לכל אומדן 🔍

אומדן A:
• Bias(A) = E(A) - θ = θ - θ = 0
• MSE(A) = Var(A) + 0² = 10

אומדן B:
• Bias(B) = E(B) - θ = (θ+2) - θ = 2
• MSE(B) = Var(B) + 2² = 5 + 4 = 9

שלב 2: השוואה 📊

מסקנה:

MSE(B) = 9 < MSE(A) = 10

למרות שאומדן B מוטה,
הוא עדיף כי יש לו MSE נמוך יותר!

לפעמים אומדן מוטה עדיף על חסר הטיה!

תשובה נכונה: אומדן B (MSE = 9)

שאלה 42
2.00 נק'

📊 זיהוי:
חוקר חישב את הערך 45.3 כאומדן נקודתי לממוצע האוכלוסייה.

מהו הסטטיסטי שכנראה השתמש בו?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

ההיגיון 🔍

האומדן הסטנדרטי ל-μ הוא x̄

• x̄ הוא חסר הטיה, יעיל ועקבי
• הוא האומדן הנפוץ והמקובל ביותר
• כשמדברים על "אומדן לממוצע" - הכוונה בדרך כלל ל-x̄

תשובה נכונה: ממוצע המדגם x̄

שאלה 43
2.00 נק'

📊 בעיה מילולית:
במפעל נדגמו 50 מוצרים ונמצא ש-8 מהם פגומים.

מהו האומדן הנקודתי לשיעור הפגומים באוכלוסייה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב 📊

p̂ = 8 / 50p̂ = 0.16 (או 16%)

תשובה נכונה: 0.16

שאלה 44
2.00 נק'

📊 שגיאת תקן משוערת:
כאשר σ לא ידוע, מה משתמשים בו לחישוב שגיאת התקן של x̄?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

המצב המעשי 🔍

בפועל:

בדרך כלל σ לא ידוע!

לכן מחליפים את σ באומדן שלו - s

SE משוערת:
SE = s/√n (במקום σ/√n)

תשובה נכונה: s - סטיית תקן המדגם

שאלה 45
2.00 נק'

📊 מספר אומדנים:
האם יכולים להיות כמה אומדנים שונים לאותו פרמטר?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הסבר 🔍

דוגמאות לאומדנים שונים ל-μ:

• ממוצע x̄
• חציון
• ממוצע מקוצץ (trimmed mean)
• אמצע הטווח

כולם אומדנים ל-μ, אבל עם תכונות שונות!

x̄ הוא בדרך כלל הטוב ביותר

תשובה נכונה: כן - יש הרבה אומדנים אפשריים

שאלה 46
2.00 נק'

⚠️ זיהוי טעות:
סטודנט אמר: "האומדן x̄ = 72 שווה בדיוק לממוצע האוכלוסייה μ".

מה הטעות?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הטעות 🔍

בלבול נפוץ!

• E(x̄) = μ אומר שבממוצע x̄ "פוגע" ב-μ
• זה לא אומר ש-x̄ שווה ל-μ בכל מדגם!

x̄ יכול להיות מעל או מתחת ל-μ
רק בממוצע על פני הרבה מדגמים נקבל μ

תשובה נכונה: x̄ הוא רק הערכה ל-μ, לא בהכרח שווה לו

שאלה 47
2.00 נק'

📊 עקביות:
למה ממוצע המדגם x̄ הוא אומדן עקבי ל-μ?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

ההוכחה 🔍

שני תנאים לעקביות של x̄:

1. E(x̄) = μ (לא תלוי ב-n)
2. Var(x̄) = σ²/n → 0 כש-n → ∞

כש-n גדל:
• התוחלת נשארת μ
• השונות שואפת ל-0

x̄ "מתכנס" ל-μ!

תשובה נכונה: כי Var(x̄) = σ²/n שואפת ל-0 כש-n גדל

שאלה 48
2.00 נק'

📊 סיכום:
איזה מהבאים לא נכון לגבי ממוצע המדגם x̄?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בדיקת הטענות 🔍

✓ E(x̄) = μ - נכון (חסר הטיה)

✓ Var(x̄) = σ²/n - נכון

✓ x̄ עקבי - נכון (מתכנס ל-μ)

✗ x̄ תמיד שווה ל-μ - לא נכון!
x̄ משתנה ממדגם למדגם

תשובה נכונה: x̄ תמיד שווה בדיוק ל-μ

שאלה 49
2.00 נק'

📊 בעיה מסכמת:
במדגם של 100 עובדים, השכר הממוצע היה 12,000 ₪ עם סטיית תקן s = 2,000 ₪.

מהי שגיאת התקן של ממוצע השכר?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב 📊

SE = s / √nSE = 2000 / √100 = 2000/10SE = 200 ₪

תשובה נכונה: 200 ₪

שאלה 50
2.00 נק'

📊 שאלת סיכום:
מהן שלוש התכונות הרצויות באומדן טוב?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שלוש התכונות המרכזיות 🔍

1. חסר הטיה (Unbiased):
E(θ̂) = θ - בממוצע "פוגע במטרה"

2. יעיל (Efficient):
שונות מינימלית - הכי מרוכז סביב המטרה

3. עקבי (Consistent):
מתכנס לפרמטר כש-n גדל - משתפר עם יותר נתונים

סיכום 📊

חסר הטיהE(θ̂) = θ🎯 מכוון נכוןיעילVar מינימלית📍 מרוכזעקבימתכנס ל-θ📈 משתפרשלוש התכונות של אומדן טובx̄ מקיים את כל השלוש!

תשובה נכונה: חסר הטיה, יעיל (שונות מינימלית), ועקבי

🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 50 הושלמו