מבחנים א- פרמטרים הבנה

💡 הסבר יומיומי:

מבחן א-פרמטרי הוא "מבחן פחות מפונק" – הוא לא דורש לדעת איך נראית ההתפלגות באוכלוסייה (נורמלית, מוטה, משוננת וכו).
במקום להסתמך על ממוצעים וסטיות תקן, הוא עובד הרבה פעמים עם דירוגים (מי גדול ממי) או עם סימנים (פלוס/מינוס).

📐 הסבר מתמטי קצר:

במבחנים פרמטריים אנו מניחים התפלגות מוגדרת (למשל \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\)) ובודקים פרמטרים כמו \( \mu \).
במבחנים א-פרמטריים אין הנחה מפורשת על צורת ההתפלגות, ולכן הם מכונים גם "distribution-free".

💡 הסבר אינטואיטיבי:

אם הנתונים "יפהפיים" – נורמליים, ללא ערכים קיצוניים, סולם רווח או מנה – נעדיף מבחן פרמטרי (כמו t) כי הוא חזק יותר.
אם הנתונים "בעייתיים" – מוטים מאוד, עם הרבה outliers, או מדורגים (למשל שביעות רצון מ-1 עד 5) – מבחן א-פרמטרי מתאים יותר.

עוצמה סטטיסטית = היכולת של המבחן לזהות מצב שבו באמת יש אפקט (להדחות \(H_0\) כשצריך).
כאשר כל ההנחות של מבחן t, למשל, באמת מתקיימות – הוא יעיל יותר מהמבחן הא-פרמטרי המקביל (למשל Wilcoxon).
לכן, עבור אותו אפקט ואותו מדגם, למבחן פרמטרי יש בדרך כלל סיכוי גבוה יותר לזהות את ההבדל.

מבחנים פרמטריים מניחים בדרך כלל סולם רווח/מנה (interval/ratio).
אם יש לנו רק דירוגים ("מדרג" של עמדות, שביעות רצון וכו), עדיף להשתמש במבחן א-פרמטרי שעובד עם דירוגים ולא עם מרחקים מספריים מדויקים.

התרשים מדגיש את העסקה: יותר הנחות ⇒ יותר עוצמה (מבחן פרמטרי).
פחות הנחות ⇒ יותר גמישות אבל מחיר בעוצמה (מבחן א-פרמטרי).

שביעות רצון 1–5 היא בדרך כלל סולם אורדינלי (לא בטוח שהמרחק בין 1 ל-2 שווה למרחק בין 4 ל-5).
בנוסף ההתפלגות מוטה. לכן מתאימים יותר מבחנים א-פרמטריים (למשל Mann–Whitney או Wilcoxon למקרים מסוימים).

מבחן א-פרמטרי לא מוגדר רק לפי "יש/אין נורמליות", אלא לפי זה שהוא לא מניח צורה מפורשת להתפלגות ולא בודק ישירות פרמטרים כמו \( \mu \) או \( \sigma^2 \).
יש מבחנים שעושים התאמות לנתונים לא נורמליים ועדיין נחשבים פרמטריים.

Wilcoxon למדגמים מזווגים נחשב לעיתים כאנלוג הא-פרמטרי של מבחן t לזוגות תלויים, כאשר ההבדל הוא בכך ש-Wilcoxon עובד עם דירוגי הפרשים (ולא עם ההפרשים עצמם בהנחת נורמליות).

אם יש לנו נתונים כמותיים בסולם מתאים ומדגם גדול יחסית – לפעמים גם אם ההתפלגות לא מושלמת, CLT מאפשר להשתמש בקירובים נורמליים ולנצל את העוצמה הגבוהה של מבחן פרמטרי. רק כשיש חשד ממשי להפרה משמעותית של ההנחות, או סולם מדידה בעייתי, נעבור לא-פרמטרי.

בבדיקות רבות (כמו מבחני סימנים, Wilcoxon, Mann–Whitney) משתמשים בסדר או בסימן של ההפרש, ולא בערך עצמו.
לכן ערך 1000 לעומת 100 משפיע בעיקר על הדירוג שלו אך לא מושך ממוצע או שונות כמו במבחן פרמטרי.

במבחנים א-פרמטריים להשוואת שתי קבוצות, הניסוח הנפוץ הוא שאין הבדל במיקום/בחציון/בצורת ההתפלגות, ולא בהכרח "הממוצעים שווים" כמו במבחן t.

במבחנים כמו Wilcoxon ו-Mann–Whitney ממיינים את כל הערכים לפי גודל, נותנים לכל אחד דרגה, ואז עובדים על סכומי הדרגות ולא על המספרים עצמם. זה מצמצם תלות בצורה המדויקת של ההתפלגות.

התרשים מדגיש גישה מסודרת: לא לרוץ ישר למבחן א-פרמטרי, אלא לבדוק האם ההנחות הפרמטריות מתקיימות. אם כן – נעדיף מבחן פרמטרי; אם לא – נשקול ברצינות מבחן א-פרמטרי.

גם במבחן א-פרמטרי יכולים להופיע מושגים כמו חציון או אחוזונים, אבל הרעיון הוא שהמבחן לא נשען על צורה מוגדרת של ההתפלגות ולא בונה את עצמו רק דרך ממוצע וסטיית תקן כמו מבחנים פרמטריים.

במדגמים גדולים, גם אם ההתפלגות אינה מושלמת, משפט הגבול המרכזי מאפשר לעיתים להשתמש במבחנים פרמטריים. השיקול בין פרמטרי לא-פרמטרי במקרה כזה הוא עדין ותלוי גם בחומרת ההטיה ובמטרת המחקר.

במדגמים קטנים הצורה האמיתית של ההתפלגות משפיעה הרבה יותר, וקירובים נורמליים עלולים להיות גרועים. לכן, אם ההתפלגות רחוקה מנורמליות, מבחן א-פרמטרי יכול להיות בחירה בטוחה יותר.

כאשר ההתפלגות אינה סימטרית או כוללת outliers, הממוצע יכול להישאב לכיוון הערכים הקיצוניים. החציון, לעומת זאת, מתבסס על מיקום (אמצע הדירוג) ולכן מתאים יותר לרוח של מבחנים א-פרמטריים.

לעיתים קרובות, כשיש אפקט ברור והנחות לא מופרות בצורה קיצונית, גם מבחן t וגם Wilcoxon, למשל, ייתנו אותה מסקנה (דחייה או אי-דחייה של \(H_0\)). ההבדל המהותי יותר הוא במצבים גבוליים של עוצמה.

הטענה הראשונה שגויה: כאשר ההנחות של מבחן פרמטרי מתקיימות, דווקא המבחן הפרמטרי בדרך כלל חזק יותר מהמבחן הא-פרמטרי המקביל.

זהו הרעיון המרכזי: פחות הנחות על האוכלוסייה ⇒ יותר גמישות, פחות עוצמה.
במבחנים אלו נכללים, בין השאר, מבחן הסימנים, Wilcoxon, Mann–Whitney, Kruskal–Wallis, מבחן הבינום, מבחני חי בריבוע ועוד.