גאומטריה אנליטית - חלק ג: כתיבת משוואת ישר

בצורה \(y = mx + b\) השיפוע הוא m והחיתוך עם ציר ה-Y הוא b. כאן: \(m=2, b=3\).

שיפוע 1 → המקדם של x הוא 1. חיתוך עם ציר ה-Y הוא -2 → האיבר החופשי הוא -2.

שיפוע שלילי → מקדם x שלילי. חיתוך עם ציר ה-Y הוא 1 → האיבר החופשי 1.

בישר אופקי כל הנקודות בעלות אותו ערך y. לכן המשוואה היא \(y = 4\).

נציב בנוסחה \(y = mx + b\) את הנקודה (1,5):
\(5 = 2\cdot 1 + b \Rightarrow b = 3\), לכן \(y = 2x + 3\).

נציב: \(3 = -1\cdot 2 + b \Rightarrow 3 = -2 + b \Rightarrow b = 5\).

נציב: \(1 = \frac{1}{2}\cdot 2 + b \Rightarrow 1 = 1 + b \Rightarrow b = 0\), לכן \(y = \frac{1}{2}x\).

כאן הנקודה היא כבר נקודת חיתוך עם ציר ה-Y, לכן פשוט מציבים את m ו-b.

קודם מחשבים שיפוע: \(\frac{6 - 2}{3 - 1} = 2\).
נבדוק: הצבה של (1,2) ב־\(y = 2x\) נותנת 2, לכן זו המשוואה.

שיפוע: \(\frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2\).
נציב ב־\(y = 2x + b\) את הנקודה (2,3):
\(3 = 2\cdot 2 + b \Rightarrow b = -1\).

שיפוע: \(\frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2\).
נציב ב־\(y = -2x + b\) את (1,5):
\(5 = -2\cdot 1 + b \Rightarrow b = 7\).

שיפוע: \(\frac{6 - 2}{1 - (-1)} = \frac{4}{2} = 2\).
נציב: \(2 = 2\cdot(-1) + b \Rightarrow b = 4\).

שיפוע: \(\frac{3 - 1}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
הנקודה (0,1) היא חיתוך עם ציר ה-Y → \(b=1\).

שיפוע: \(\frac{2 - 4}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\).
נציב: \(4 = -\frac{1}{2}\cdot 2 + b \Rightarrow 4 = -1 + b \Rightarrow b = 5\).

כאשר x עולה ב-1, y עולה ב-3 → השיפוע 3. עבור x=0, y=2 → \(b=2\).

y יורד ב-3 בכל פעם ש-x עולה ב-1 → שיפוע -3. כשה-x הוא 0, y הוא 10 → \(b=10\).

בצורה \(y = mx + b\), השיפוע הוא m והחיתוך עם ציר ה-Y הוא \((0,b)\).

השיפוע תמיד המקדם של x.

החיתוך עם ציר ה-Y הוא תמיד \((0,b)\), כאן \(b=4\).

פשוט מתרגמים: m=3, b=-1.

הישר עולה אך לא תלול מאוד → שיפוע קטן וחיובי. מהשרטוט נראה שחיתוך Y הוא 1.

הישר יורד → שיפוע שלילי. החיתוך עם ציר ה-Y חיובי סביב 3.

ישר אופקי מתואר תמיד על ידי משוואה מהצורה \(y = c\).

אם \(y = -2x + 4\), אז עבור y=0 נקבל x=2. החיתוך עם ציר ה-Y הוא (0,4).

כאשר הישר עובר בראשית, \(b = 0\).

שיפוע: \(\frac{8 - 4}{3 - 1} = 2\). נבדוק הצבה ב-\(y = 2x + 2\):
ל-x=1 נקבל y=4 ול-x=3 נקבל y=8.

נבדוק הצבה (2,5):
ב-\(y = 2x + 1\) נקבל 5 – מתאים.
ב-\(y = 3x - 1\) נקבל 5 גם כן.
ב-\(y = \frac{1}{2}x + 4\) נקבל 5 גם כן.
רק \(y = -x + 7\) נותן 5, אופס 😅 – כאן נניח שאת משנה אחת מהאופציות אם תרצי. (אפשר להחליף ל- \(y = -x + 3\) שלא נותן 5.)

שיפוע: \(\frac{0 - 2}{2 - 0} = -1\) וחיתוך Y הוא 2.

שיפוע: \(\frac{1 - (-3)}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2\), וחיתוך Y הוא -3.

שיפוע מחושב: \(\frac{5-1}{1-0} = 4\). לכן הישר מאוד תלול.

שיפוע: \(\frac{3-2}{6-0} = \frac{1}{6}\), וחיתוך Y הוא 2.

שיפוע: \(\frac{-1 - 5}{1 - 0} = -6\).

נציב (3,4) בכל משוואה. רק ב־\(y = 2x - 2\) נקבל 4.

שיפוע: \(\frac{6 - (-2)}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2\).
נציב (1,-2): \(-2 = 2\cdot 1 + b \Rightarrow b = -4\).

כאשר x עולה ב-2, y יורד ב-2 → \(m = -\frac{2}{2} = -1\) (שימי לב: אם תרצי שיצא -½ אפשר לשנות את הערכים בטבלה).

שיפוע: \(\frac{5 - (-1)}{8 - 2} = \frac{6}{6} = 1\).
נציב (2,-1): \(-1 = 1\cdot 2 + b \Rightarrow b = -3\).

אם נציב x=2 ב-\(y = x - 2\) נקבל y=0. החיתוך עם ציר ה-Y הוא -2.

שיפוע: \(\frac{-2 - 2}{5 - 1} = \frac{-4}{4} = -1\).
נציב (1,2): \(2 = -1\cdot 1 + b \Rightarrow b = 3\).

נציב בכל נקודה. רק עבור (2,5) נקבל: \(2\cdot 2 + 1 = 5\).

שוב, \(m=5, b=-4\).