אורח מצב צפייה מבחן: סדרה הנדסית - הבנת מהבסיס

סדרה הנדסית - הבנת מהבסיס

מבחן סדרה הנדסית הבנה מהבסיס - מהי סדרה הנדסית, כפל קבוע, מנה, נוסחאות ויישומים. הסברים אינטואיטיביים למתחילים.
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 50
ניקוד כולל: 500 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

📐 מהי סדרה הנדסית?

איזו מהסדרות הבאות היא סדרה הנדסית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סדרה הנדסית - ההגדרה! 📐

2×36×318×354כל איבר = האיבר הקודם × 3

⭐ הגדרה:
סדרה הנדסית = סדרה שבה כופלים במספר קבוע

הסדרה 2, 6, 18, 54...
6÷2=3, 18÷6=3, 54÷18=3
המנה קבועה: q=3 ✓

הסדרות האחרות:
• 2,5,8,11 - חשבונית (חיבור)
• 1,4,9,16 - ריבועים
• 1,1,2,3,5 - פיבונאצי

שאלה 2
10.00 נק'

🔢 מהי המנה (q)?

בסדרה 5, 15, 45, 135...

מהו q?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

המנה q - המפתח לסדרה! 🔢

הגדרה:
המנה q = המספר הקבוע שכופלים בו

נוסחה:
q = aₙ₊₁ ÷ aₙ

חישוב מהסדרה:
q = 15 ÷ 5 = 3

בדיקה:
45 ÷ 15 = 3 ✓
135 ÷ 45 = 3 ✓

⭐ המנה קבועה לאורך כל הסדרה!
שאלה 3
10.00 נק'

🔍 מצא את המנה:

a₁ = 4
a₂ = 12

מהו q?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב המנה! 🔍

נוסחה:
q = a₂ ÷ a₁

חישוב:
q = 12 ÷ 4
q = 3

משמעות:
כל איבר בסדרה הוא פי 3 מהאיבר הקודם

המשך הסדרה:
4, 12, 36, 108, 324...

⭐ תמיד: q = איבר ÷ איבר קודם
שאלה 4
10.00 נק'

✅ זיהוי:

האם הסדרה 3, 9, 27, 81 היא הנדסית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בדיקה אם סדרה הנדסית! ✅

איך בודקים?
מחלקים כל איבר באיבר הקודם

בדיקה:
9 ÷ 3 = 3
27 ÷ 9 = 3
81 ÷ 27 = 3

מסקנה:
המנה קבועה! q = 3

✓ זו סדרה הנדסית!

⭐ אם המנה קבועה → הנדסית
שאלה 5
10.00 נק'

❌ זיהוי:

האם הסדרה 2, 4, 8, 14 היא הנדסית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

זו לא סדרה הנדסית! ❌

בדיקה:
4 ÷ 2 = 2
8 ÷ 4 = 2
14 ÷ 8 = 1.75

מסקנה:
המנה משתנה!
2 ≠ 1.75

✗ זו לא סדרה הנדסית!

⭐ בסדרה הנדסית המנה חייבת להיות קבועה
שאלה 6
10.00 נק'

➖ מנה שלילית:

בסדרה 2, -6, 18, -54...

מהו q?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מנה שלילית! ➖

חישוב:
q = -6 ÷ 2 = -3

בדיקה:
18 ÷ (-6) = -3 ✓
-54 ÷ 18 = -3 ✓

משמעות:
מנה שלילית = הסימן מתחלף!

חיובי → שלילי → חיובי → שלילי...

⭐ סדרה הנדסית יכולה להיות עם מנה שלילית!
שאלה 7
10.00 נק'

📉 מנה קטנה:

בסדרה 16, 8, 4, 2...

מהו q?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מנה קטנה מ-1! 📉

חישוב:
q = 8 ÷ 16 = 0.5 (או 1/2)

בדיקה:
4 ÷ 8 = 0.5 ✓
2 ÷ 4 = 0.5 ✓

משמעות:
כשמנה בין 0 ל-1:
הסדרה יורדת!

16 → 8 → 4 → 2 → 1 → 0.5...

⭐ מנה < 1 = סדרה יורדת
שאלה 8
10.00 נק'

⚠️ תנאי חשוב:

האם יכולה להיות סדרה הנדסית עם q = 0?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

תנאי קיום - q≠0! ⚠️

למה q לא יכול להיות 0?

נניח: a₁=5, q=0

a₁ = 5
a₂ = 5 × 0 = 0
a₃ = 0 × 0 = 0
a₄ = 0 × 0 = 0
...

בעיה:
מהאיבר השני והלאה הכל 0!
זו לא באמת סדרה הנדסית.

⭐ תנאי:
q ≠ 0
שאלה 9
10.00 נק'

⚠️ תנאי נוסף:

בסדרה הנדסית, האם יכול להיות איבר השווה ל-0?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

תנאי קיום - aₙ≠0! ⚠️

למה אף איבר לא יכול להיות 0?

נניח: a₃=0 באיזשהו מקום

אז: a₄ = a₃ × q = 0 × q = 0
וגם: a₅ = 0 × q = 0
וכל האיברים אחריו: 0

גם:
אם a₃=0, אז a₃=a₂×q
לכן 0=a₂×q
מכאן a₂=0 (כי q≠0)

⭐ תנאי:
aₙ ≠ 0 לכל n
שאלה 10
10.00 נק'

📋 סיכום תנאים:

מהם התנאים לקיום סדרה הנדסית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

תנאי קיום סדרה הנדסית! 📋

תנאי 1:q ≠ 0תנאי 2:aₙ ≠ 0⭐ שני תנאים חובה!בלעדיהם הסדרה לא תהיה הנדסית
שאלה 11
10.00 נק'

🔄 הנוסחה הרקורסיבית:

מה משמעות הנוסחה aₙ₊₁ = aₙ × q?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הנוסחה הרקורסיבית! 🔄

הנוסחה:
aₙ₊₁ = aₙ × q

פירוש:
aₙ₊₁ = האיבר הבא
aₙ = האיבר הנוכחי
q = המנה

במילים:
כדי לקבל איבר, כופלים את האיבר הקודם ב-q

דוגמה: a₁=2, q=3
a₂ = a₁ × 3 = 2 × 3 = 6
a₃ = a₂ × 3 = 6 × 3 = 18

⭐ קוראים לזה "רקורסיבית" כי צריך את האיבר הקודם
שאלה 12
10.00 נק'

🔢 שימוש בנוסחה:

בסדרה: a₁=5, q=2

מהו a₂?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב לפי הנוסחה הרקורסיבית! 🔢

נתונים:
a₁ = 5
q = 2

נוסחה:
aₙ₊₁ = aₙ × q

חישוב a₂:
a₂ = a₁ × q
a₂ = 5 × 2
a₂ = 10

⭐ פשוט כופלים את האיבר הקודם ב-q!
שאלה 13
10.00 נק'

🔢 שימוש בנוסחה:

בסדרה: a₁=3, q=4

מהו a₃?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב a₃ בנוסחה רקורסיבית! 🔢

צעד אחר צעד:

שלב 1: מוצאים a₂
a₂ = a₁ × q
a₂ = 3 × 4 = 12

שלב 2: מוצאים a₃
a₃ = a₂ × q
a₃ = 12 × 4
a₃ = 48

הסדרה:
3, 12, 48, 192...

⭐ בנוסחה רקורסיבית צריך לחשב צעד אחר צעד!
שאלה 14
10.00 נק'

🔙 עבודה לאחור:

בסדרה: a₃=24, q=2

מהו a₂?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

עבודה לאחור! 🔙

נוסחה:
aₙ₊₁ = aₙ × q

מסדרים מחדש:
aₙ = aₙ₊₁ ÷ q

חישוב:
a₃ = a₂ × q
24 = a₂ × 2
a₂ = 24 ÷ 2
a₂ = 12

בדיקה:
12 × 2 = 24 ✓

⭐ לאחור: חולקים ב-q!
שאלה 15
10.00 נק'

🔙 מציאת a₁:

בסדרה: a₄=54, q=3

מהו a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חזרה ל-a₁! 🔙

עבודה לאחור צעד אחר צעד:

שלב 1: a₃ = a₄ ÷ q
a₃ = 54 ÷ 3 = 18

שלב 2: a₂ = a₃ ÷ q
a₂ = 18 ÷ 3 = 6

שלב 3: a₁ = a₂ ÷ q
a₁ = 6 ÷ 3
a₁ = 2

הסדרה:
2, 6, 18, 54, 162...

⭐ חזרה לאחור: חלק ב-q בכל פעם!
שאלה 16
10.00 נק'

🔍 מציאת q:

בסדרה: a₂=20, a₃=80

מהו q?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת המנה! 🔍

נוסחה:
a₃ = a₂ × q

נתון:
a₂ = 20
a₃ = 80

הצבה:
80 = 20 × q
q = 80 ÷ 20
q = 4

בדיקה:
20 × 4 = 80 ✓

⭐ q = איבר ÷ איבר קודם
שאלה 17
10.00 נק'

🆚 ההבדל:

מה ההבדל בין הנוסחה הרקורסיבית ההנדסית לחשבונית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

ההבדל המהותי! 🆚

סדרה חשבוניתaₙ₊₁ = aₙ + dמוסיפים קבועסדרה הנדסיתaₙ₊₁ = aₙ × qכופלים קבוע2,5,8,11,14...2,6,18,54,162...
שאלה 18
10.00 נק'

⚖️ יתרון וחיסרון:

מה החיסרון של הנוסחה הרקורסיבית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

יתרון וחיסרון! ⚖️

✅ יתרון:
פשוטה להבנה: כופלים באיבר הקודם

❌ חיסרון:
כדי למצוא a₁₀₀, צריך לחשב את כל 99 האיברים לפניו!

דוגמה:
רוצים a₅
צריך: a₁ → a₂ → a₃ → a₄ → a₅

זה ארוך!

⭐ לכן נצטרך נוסחה ישירה (איבר כללי)!
שאלה 19
10.00 נק'

✅ שימוש נכון:

מתי כדאי להשתמש בנוסחה הרקורסיבית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מתי להשתמש? ✅

✅ כדאי כש:
• רוצים את האיבר הבא (aₙ₊₁)
• רוצים את האיבר הקודם (aₙ₋₁)
• בודקים אם זו סדרה הנדסית

❌ לא כדאי כש:
• רוצים איבר רחוק (כמו a₁₀₀)
• רוצים סכום

דוגמה טובה:
נתון a₅=32, q=2, מצא a₆
פתרון: a₆ = 32 × 2 = 64 ✓

⭐ מהיר לאיברים סמוכים!
שאלה 20
10.00 נק'

📋 סיכום:

הנוסחה הרקורסיבית aₙ₊₁ = aₙ × q מבטאת:

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סיכום הנוסחה הרקורסיבית! 📋

aₙ×qaₙ₊₁

המשמעות:
הנוסחה הרקורסיבית מקשרת כל איבר לאיבר שלפניו

⭐ "רקורסיבי" = חוזר אל עצמו

שאלה 21
10.00 נק'

⭐ הנוסחה הישירה:

מהי נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

נוסחת האיבר הכללי! ⭐

aₙ = a₁ × q^(n-1)האיבר ה-nאיבר ראשוןהמנהחזקהדוגמה: a₁=2, q=3a₅ = 2 × 3^(5-1) = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162הסדרה: 2, 6, 18, 54, 162...
שאלה 22
10.00 נק'

🤔 למה (n-1)?

מדוע החזקה בנוסחה היא (n-1) ולא n?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הסבר החזקה (n-1)! 🤔

בואו נספור כפילות:

מ-a₁ ל-a₂: כפילה אחת (×q)
מ-a₁ ל-a₃: 2 כפילות (×q×q)
מ-a₁ ל-a₄: 3 כפילות (×q×q×q)
מ-a₁ ל-aₙ: (n-1) כפילות!

דוגמה: למצוא a₅
a₁ → a₂ → a₃ → a₄ → a₅
4 כפילות = (5-1) כפילות

לכן: a₅ = a₁ × q⁴

⭐ כלל: מקום n צריך (n-1) כפילות!
שאלה 23
10.00 נק'

🔢 שימוש בנוסחה:

a₁=3, q=2

מהו a₅?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב a₅! 🔢

נוסחה:
aₙ = a₁ × q^(n-1)

נתונים:
a₁ = 3
q = 2
n = 5

הצבה:
a₅ = 3 × 2^(5-1)
a₅ = 3 × 2⁴
a₅ = 3 × 16
a₅ = 48

ספירה לבדיקה:
3, 6, 12, 24, 48 ✓
שאלה 24
10.00 נק'

🔢 שימוש בנוסחה:

a₁=5, q=3

מהו a₇?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב a₇! 🔢

נוסחה:
aₙ = a₁ × q^(n-1)

נתונים:
a₁ = 5
q = 3
n = 7

הצבה:
a₇ = 5 × 3^(7-1)
a₇ = 5 × 3⁶
a₇ = 5 × 729
a₇ = 3,645

⭐ בנוסחה הישירה לא צריך לחשב את כל האיברים!
שאלה 25
10.00 נק'

🔍 מציאת a₁:

a₅=162, q=3

מהו a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת a₁ מהנוסחה! 🔍

נוסחה:
aₙ = a₁ × q^(n-1)

נתון:
a₅ = 162
q = 3

הצבה:
162 = a₁ × 3^(5-1)
162 = a₁ × 3⁴
162 = a₁ × 81
a₁ = 162 ÷ 81
a₁ = 2

בדיקה:
2, 6, 18, 54, 162 ✓
שאלה 26
10.00 נק'

🔍 מציאת q:

a₁=2, a₄=54

מהו q?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת q מהנוסחה! 🔍

נוסחה:
aₙ = a₁ × q^(n-1)

נתונים:
a₁ = 2
a₄ = 54

הצבה:
54 = 2 × q^(4-1)
54 = 2 × q³
27 = q³
q = ∛27
q = 3

בדיקה:
2, 6, 18, 54 ✓
שאלה 27
10.00 נק'

🔍 באיזה מקום?

a₁=3, q=2
נתון שאיבר מסוים הוא 96

באיזה מקום הוא?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת מקום האיבר! 🔍

נתונים:
a₁ = 3
q = 2
aₙ = 96

נוסחה:
96 = 3 × 2^(n-1)
32 = 2^(n-1)
2⁵ = 2^(n-1)
5 = n-1
n = 6

ספירה לבדיקה:
3, 6, 12, 24, 48, 96 ✓
זה אכן האיבר ה-6!
שאלה 28
10.00 נק'

⭐ מה היתרון?

מה היתרון של הנוסחה הישירה על הרקורסיבית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

היתרון הגדול! ⭐

✅ יתרון עצום:
רוצים a₁₀₀?

בנוסחה רקורסיבית:
צריך לחשב 99 איברים! 😫

בנוסחה ישירה:
a₁₀₀ = a₁ × q⁹⁹
חישוב אחד! 😊

דוגמה: a₁=2, q=3
a₁₀₀ = 2 × 3⁹⁹
ישירות!

⭐ מסקנה: לאיברים רחוקים - נוסחה ישירה!
שאלה 29
10.00 נק'

🔢 מנה קטנה:

a₁=64, q=0.5

מהו a₄?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב עם מנה קטנה! 🔢

נתונים:
a₁ = 64
q = 0.5 (חצי)
n = 4

חישוב:
a₄ = 64 × (0.5)^(4-1)
a₄ = 64 × (0.5)³
a₄ = 64 × 0.125
a₄ = 8

ספירה:
64, 32, 16, 8 ✓

⭐ כש-q<1 הסדרה יורדת!
שאלה 30
10.00 נק'

🔢 מנה שלילית:

a₁=2, q=-3

מהו a₅?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב עם מנה שלילית! 🔢

נתונים:
a₁ = 2
q = -3
n = 5

חישוב:
a₅ = 2 × (-3)^(5-1)
a₅ = 2 × (-3)⁴
a₅ = 2 × 81
a₅ = 162

ספירה:
2, -6, 18, -54, 162 ✓

⭐ חזקה זוגית של מספר שלילי = חיובי!
שאלה 31
10.00 נק'

🆚 השוואה:

איזו נוסחה עדיפה למצוא a₅₀?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

איזו נוסחה? 🆚

רקורסיביתaₙ₊₁ = aₙ × qלמצוא a₅₀:צריך לחשב49 איברים!😫ישירהaₙ = a₁ × q^(n-1)למצוא a₅₀:a₅₀ = a₁ × q⁴⁹חישוב אחד!😊

⭐ לאיברים רחוקים: תמיד ישירה!

שאלה 32
10.00 נק'

🤔 חזקה 0:

מתי החזקה בנוסחה שווה ל-0?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

החזקה היא 0! 🤔

נוסחה:
aₙ = a₁ × q^(n-1)

כשn=1:
a₁ = a₁ × q^(1-1)
a₁ = a₁ × q⁰
a₁ = a₁ × 1
a₁ = a₁ ✓

זה הגיוני!
האיבר הראשון הוא עצמו!

⭐ כלל: כל מספר בחזקת 0 שווה ל-1
(q⁰ = 1)
שאלה 33
10.00 נק'

✅ בדיקה:

a₁=7, q=5
האם הנוסחה aₙ = a₁ × q^(n-1) עובדת עבור a₁?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הנוסחה עובדת תמיד! ✅

בדיקה ל-a₁:

נוסחה:
aₙ = a₁ × q^(n-1)

עבור n=1:
a₁ = 7 × 5^(1-1)
a₁ = 7 × 5⁰
a₁ = 7 × 1
a₁ = 7 ✓

מסקנה:
הנוסחה עובדת גם ל-a₁!

⭐ נוסחה טובה עובדת לכל n!
שאלה 34
10.00 נק'

🔢 חישוב:

a₁=1, q=2

מהו a₁₀?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב a₁₀! 🔢

נתונים:
a₁ = 1
q = 2
n = 10

נוסחה:
a₁₀ = 1 × 2^(10-1)
a₁₀ = 1 × 2⁹
a₁₀ = 1 × 512
a₁₀ = 512

הסדרה:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512

⭐ חזקות של 2 חשובות!
שאלה 35
10.00 נק'

📋 סיכום:

מה צריך כדי לחשב aₙ?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מה צריך לחישוב? 📋

aₙ = a₁ × q^(n-1)a₁איברראשוןqהמנהnמקוםהאיבר

⭐ שלושה נתונים = חישוב מלא!

שאלה 36
10.00 נק'

🔗 קשר בין איברים:

מהו הקשר בין aₙ ל-aₘ?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

קשר בין שני איברים! 🔗

גזירת הנוסחה:

aₙ = a₁ × q^(n-1)
aₘ = a₁ × q^(m-1)

חילוק:
aₙ/aₘ = [a₁ × q^(n-1)] / [a₁ × q^(m-1)]
aₙ/aₘ = q^(n-1) / q^(m-1)
aₙ/aₘ = q^(n-1-m+1)
aₙ/aₘ = q^(n-m)

לכן:
aₙ = aₘ × q^(n-m)

⭐ מכל איבר אפשר להגיע לכל איבר!
שאלה 37
10.00 נק'

🔢 שימוש בקשר:

a₃=5, q=2

מהו a₇?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב בין איברים! 🔢

נוסחה:
aₙ = aₘ × q^(n-m)

נתונים:
a₃ = 5
q = 2
רוצים: a₇

חישוב:
a₇ = a₃ × q^(7-3)
a₇ = 5 × 2⁴
a₇ = 5 × 16
a₇ = 80

ספירה:
a₃=5, a₄=10, a₅=20, a₆=40, a₇=80 ✓

⭐ 4 כפילות מ-a₃ ל-a₇!
שאלה 38
10.00 נק'

🤔 הבנה:

כמה כפילות יש מ-a₅ ל-a₉?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

ספירת כפילות! 🤔

הדרך מ-a₅ ל-a₉:

a₅ → a₆ (כפילה 1)
a₆ → a₇ (כפילה 2)
a₇ → a₈ (כפילה 3)
a₈ → a₉ (כפילה 4)

סה"כ: 4 כפילות

נוסחה:
מספר כפילות = n - m
= 9 - 5 = 4

⭐ החזקה תמיד היא ההפרש!
שאלה 39
10.00 נק'

🔢 חישוב:

a₂=12, q=3

מהו a₆?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מ-a₂ ל-a₆! 🔢

נוסחה:
a₆ = a₂ × q^(6-2)

חישוב:
a₆ = 12 × 3⁴
a₆ = 12 × 81
a₆ = 972

ספירה לבדיקה:
a₂ = 12
a₃ = 36
a₄ = 108
a₅ = 324
a₆ = 972 ✓

⭐ 4 צעדים מ-a₂ ל-a₆!
שאלה 40
10.00 נק'

🔙 לאחור:

a₈=64, q=2

מהו a₅?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

עבודה לאחור! 🔙

נוסחה:
a₈ = a₅ × q^(8-5)

נתון:
a₈ = 64
q = 2

פתרון:
64 = a₅ × 2³
64 = a₅ × 8
a₅ = 64 ÷ 8
a₅ = 8

בדיקה:
a₅=8, a₆=16, a₇=32, a₈=64 ✓

⭐ לאחור: חלק בחזקה!
שאלה 41
10.00 נק'

🔍 מציאת q:

a₂=6, a₅=162

מהו q?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מציאת q מ-2 איברים! 🔍

נוסחה:
a₅ = a₂ × q^(5-2)

נתונים:
a₂ = 6
a₅ = 162

הצבה:
162 = 6 × q³
27 = q³
q = ∛27
q = 3

בדיקה:
a₂=6, a₃=18, a₄=54, a₅=162 ✓

⭐ שורש מהחזקה!
שאלה 42
10.00 נק'

📏 מרחק:

a₃=10, a₁₁=2,560
q=2

האם הנתונים עקביים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

בדיקת עקביות! 📏

בדיקה:

לפי הנוסחה:
a₁₁ = a₃ × q^(11-3)
a₁₁ = 10 × 2⁸
a₁₁ = 10 × 256
a₁₁ = 2,560 ✓

מה שנתון:
a₁₁ = 2,560 ✓

מסקנה:
התוצאות עקביות!

⭐ הנתונים מתאימים לסדרה הנדסית!
שאלה 43
10.00 נק'

➗ יחס:

בסדרה הנדסית עם q=2

מה היחס a₁₀/a₇?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

יחס בין איברים! ➗

שיטה 1: נוסחה ישירה
a₁₀ = a₇ × q^(10-7)
a₁₀ = a₇ × q³
a₁₀/a₇ = q³ = 2³ = 8

שיטה 2: נוסחאות מלאות
a₁₀ = a₁ × q⁹
a₇ = a₁ × q⁶
a₁₀/a₇ = q⁹/q⁶ = q³ = 8

⭐ היחס תלוי רק במרחק וב-q!
שאלה 44
10.00 נק'

📐 כללי:

אם aₘ/aₙ = q⁵, מה המרחק בין האיברים?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

המרחק מהחזקה! 📐

נוסחה כללית:
aₘ = aₙ × q^(m-n)

לכן:
aₘ/aₙ = q^(m-n)

אם:
aₘ/aₙ = q⁵

אז:
q^(m-n) = q⁵
m - n = 5

משמעות:
המרחק בין האיברים הוא 5 מקומות

⭐ החזקה = המרחק!
שאלה 45
10.00 נק'

📋 סיכום:

מה היתרון של הנוסחה aₙ = aₘ × q^(n-m)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

היתרון הגדול! 📋

aₙ = a₁ × q^(n-1)צריך: a₁, q, naₙ = aₘ × q^(n-m)צריך: aₘ, q, n, m⭐ היתרון:עובד מכל איבר נתון!

⭐ גמישות - לא תמיד יודעים את a₁!

שאלה 46
10.00 נק'

🔍 זיהוי:

הנוסחה aₙ = 5 × 2ⁿ מתארת:

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

זיהוי מהנוסחה! 🔍

נוסחה נתונה:
aₙ = 5 × 2ⁿ

נוסחה נכונה לסדרה הנדסית:
aₙ = a₁ × q^(n-1)

ההבדל:
בנוסחה הנתונה יש 2ⁿ
בנוסחה הנכונה צריך 2^(n-1)

בדיקה:
a₁ = 5 × 2¹ = 10
a₂ = 5 × 2² = 20

לא מתאים!
a₁ צריך להיות 5, לא 10

⭐ זו לא סדרה הנדסית תקנית!
שאלה 47
10.00 נק'

✏️ תיקון:

איך לתקן את aₙ = 5 × 2ⁿ
כדי שתהיה סדרה הנדסית עם a₁=5?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

התיקון! ✏️

רוצים:
a₁ = 5
q = 2

הנוסחה הנכונה:
aₙ = 5 × 2^(n-1)

בדיקה:
a₁ = 5 × 2^(1-1) = 5 × 2⁰ = 5 × 1 = 5 ✓
a₂ = 5 × 2^(2-1) = 5 × 2¹ = 10 ✓
a₃ = 5 × 2^(3-1) = 5 × 2² = 20 ✓

הסדרה: 5, 10, 20, 40, 80...

⭐ תמיד (n-1) בחזקה!
שאלה 48
10.00 נק'

🤔 שאלת הבנה:

אם נשתמש ב-aₙ = a₁ × qⁿ
(במקום q^(n-1))

מה הבעיה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

למה לא qⁿ? 🤔

נניח: aₙ = a₁ × qⁿ

בדיקה עבור n=1:
a₁ = a₁ × q¹
a₁ = a₁ × q

בעיה!
זה נכון רק אם q=1
אחרת: a₁ ≠ a₁ × q

דוגמה: a₁=5, q=2
לפי הנוסחה הלא נכונה:
a₁ = 5 × 2 = 10 ✗

לכן צריך q^(n-1):
a₁ = 5 × 2⁰ = 5 ✓

⭐ החזקה (n-1) מבטיחה ש-a₁ נכון!
שאלה 49
10.00 נק'

🦠 יישום:

חיידק מתחלק לשניים כל שעה.
מתחילים עם 1 חיידק.

איזו נוסחה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

גדילת חיידקים! 🦠

הבנה:
• מתחילים עם 1: a₁ = 1
• כל שעה ×2: q = 2

זו סדרה הנדסית!

נוסחה:
aₙ = a₁ × q^(n-1)
aₙ = 1 × 2^(n-1)
aₙ = 2^(n-1)

בדיקה:
שעה 1: a₁ = 2⁰ = 1 ✓
שעה 2: a₂ = 2¹ = 2 ✓
שעה 3: a₃ = 2² = 4 ✓
שעה 4: a₄ = 2³ = 8 ✓

⭐ דוגמה מהחיים לסדרה הנדסית!
שאלה 50
10.00 נק'

🎓 סיכום:

מה הכי חשוב לזכור על סדרה הנדסית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סיכום כל המבחן! 🎓

סדרה הנדסית - סיכוםהגדרהיחס קבוע qaₙ₊₁ = aₙ × qתנאיםq ≠ 0aₙ ≠ 0נוסחאותרקורסיבית:aₙ₊₁ = aₙ × qישירה:aₙ = a₁ × q^(n-1)קשריםבין איברים:aₙ = aₘ × q^(n-m)יחס:aₙ/aₘ = q^(n-m)

⭐ העיקר: יחס קבוע = הנדסית!

🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 50 הושלמו