אורח מצב צפייה מבחן: מושגים בסיסיים (אוכלוסייה, מדגם, סטטיסטי, פרמטר)

מושגים בסיסיים (אוכלוסייה, מדגם, סטטיסטי, פרמטר)

מבחן מושגי יסוד בסטטיסטיקה - 40 שאלות: אוכלוסייה, מדגם, פרמטר, סטטיסטי, דגימה, ממוצע, שונות, Z-score, רווחי סמך. סטטיסטיקה אקדמית.

✅ חלק א (1-10): אוכלוסייה, מדגם, פרמטר, סטטיסטי, דגימה ✅ חלק ב (11-20): נוסחאות ממוצע, שונות, סטיית תקן, משתנים מקריים ✅ חלק ג (21-30): התפלגות דגימה, שגיאת תקן, Z-score, התפלגות נורמלית ✅ חלק ד (31-40): הסתברויות, רווחי סמך, בדיקת השערות, p-value נוסחאות מרכזיות שהודגשו: ממוצע: x̄ = Σxᵢ / n שונות: s² = Σ(xᵢ-x̄)² / (n-1) שגיאת תקן: SE = σ/√n Z-score: Z = (x̄ - μ) / SE רווח סמך 95%: x̄ ± 1.96×SE
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 40
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
2.50 נק'

👥 מושג יסוד:

מהי אוכלוסייה (Population) בסטטיסטיקה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מהי אוכלוסייה! 👥

📚 הגדרה:

אוכלוסייה (Population):
כלל הפרטים או המקרים שאנו מעוניינים לחקור ולהסיק לגביהם מסקנות.

דוגמאות:

🎓 דוגמה 1:
חוקרים את גובה הסטודנטים באוניברסיטה
• האוכלוסייה: כל הסטודנטים באוניברסיטה

🏥 דוגמה 2:
בודקים יעילות של תרופה
• האוכלוסייה: כל החולים עם המחלה הספציפית

🏭 דוגמה 3:
בקרת איכות במפעל
• האוכלוסייה: כל המוצרים שיוצרו היום

⭐ חשוב:
• האוכלוסייה יכולה להיות סופית (מספר קבוע של פרטים)
• או אינסופית (תאורטית)

סימון:
גודל האוכלוסייה מסומן באות N
שאלה 2
2.50 נק'

🔬 מושג יסוד:

מהו מדגם (Sample) בסטטיסטיקה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מהו מדגם! 🔬

📚 הגדרה:

מדגם (Sample):
תת-קבוצה של פרטים שנבחרו מתוך האוכלוסייה, שאותם אנו בוחנים בפועל.

למה צריך מדגם?

❌ לא מעשי לבדוק את כל האוכלוסייה:
• יקר מדי 💰
• לוקח יותר מדי זמן ⏰
• לפעמים בלתי אפשרי (אוכלוסייה אינסופית)

✅ פתרון: לוקחים מדגם מייצג

דוגמה:

🎓 חוקרים גובה סטודנטים באוניברסיטה:
• אוכלוסייה: כל 20,000 הסטודנטים
• מדגם: 200 סטודנטים שנבחרו באקראי

סימון:
גודל המדגם מסומן באות n

⭐ תמיד: n < N
שאלה 3
2.50 נק'

🔄 השוואה:

באוניברסיטה יש 15,000 סטודנטים. חוקרים בחרו 300 סטודנטים באקראי ומדדו את גובהם.

מהי האוכלוסייה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

הבחנה בין אוכלוסייה למדגם! 🔄

אוכלוסייה vs מדגםאוכלוסייהN = 15,000 סטודנטיםמדגםn = 300 סטודנטיםנבחרו מתוך
📊 טבלת השוואה:

מאפייןאוכלוסייהמדגם
הגדרהכל הפרטיםחלק מהפרטים
גודלN = 15,000n = 300
מטרהלהסיק לגביהלבדוק בפועל
נגישותלא תמיד זמינהזמינה למחקר
שאלה 4
2.50 נק'

✅ מדגם טוב:

מהו מדגם מייצג?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מדגם מייצג! ✅

📚 הגדרה:

מדגם מייצג (Representative Sample):
מדגם שמשקף בצורה נאמנה את המאפיינים של האוכלוסייה כולה.

איך מבטיחים מדגם מייצג?

✅ דגימה אקראית (Random Sampling):
• כל פרט באוכלוסייה יש לו סיכוי שווה להיבחר
• מונע הטיה (Bias)

דוגמאות:

❌ מדגם לא מייצג:
🎓 רוצים לדעת את הגובה הממוצע בישראל
• בוחרים רק שחקני כדורסל → מוטה כלפי מעלה!

✅ מדגם מייצג:
🎓 רוצים לדעת את הגובה הממוצע בישראל
• בוחרים אנשים באקראי מכל רחבי המדינה
• מגילאים שונים, ממינים שונים → מייצג!

⭐ עקרון חשוב:
מדגם טוב = דגימה אקראית + גודל מספיק
שאלה 5
2.50 נק'

📏 גודל מדגם:

נתון: N = 50,000 (גודל אוכלוסייה), n = 500 (גודל מדגם).

מה היחס בין המדגם לאוכלוסייה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב יחס המדגם! 📏

📐 חישוב:

נוסחה:

יחס המדגם = (n / N) × 100%

פתרון:

נתון:
• N = 50,000
• n = 500

יחס = (500 / 50,000) × 100%

= (1 / 100) × 100%

= 1%

פירוש:
המדגם מהווה 1% מהאוכלוסייה

כלומר: בדקנו 1 מתוך כל 100 פרטים

⭐ כלל אצבע:
• מדגם של 1-5% לרוב מספיק למחקרים
• בא וכלוסיות גדולות, גם 0.1% יכול להספיק
שאלה 6
2.50 נק'

🎲 סוגי דגימה:

מהי דגימה אקראית פשוטה (Simple Random Sampling)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

דגימה אקראית פשוטה! 🎲

📚 הגדרה:

דגימה אקראית פשוטה (SRS - Simple Random Sample):
שיטת דגימה שבה לכל פרט באוכלוסייה יש אותו הסיכוי להיבחר למדגם.

איך עושים זאת?

1️⃣ ממספרים את כל הפרטים באוכלוסייה
פרט 1, פרט 2, ..., פרט N

2️⃣ בוחרים מספרים באקראי
• באמצעות מחשב
• גורל
• טבלת מספרים אקראיים

3️⃣ הפרטים שהמספרים שלהם נבחרו → המדגם

דוגמה:

🎓 יש 1,000 סטודנטים (מספרים 1-1000)
רוצים מדגם של n=50

פעולה:
• מחשב בוחר 50 מספרים אקראיים בין 1 ל-1000
• נניח: 17, 234, 891, 45, ...
• הסטודנטים עם מספרים אלה = המדגם

⭐ יתרון:
• ללא הטיה
• כל קבוצה אפשרית של n פרטים יש סיכוי שווה להיבחר

⚠️ חשוב:
צריך רשימה מלאה של כל האוכלוסייה!
שאלה 7
2.50 נק'

📊 מושג מרכזי:

מהו פרמטר (Parameter)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מהו פרמטר! 📊

📚 הגדרה:

פרמטר (Parameter):
מדד מספרי שמתאר מאפיין של האוכלוסייה.

פרמטרים נפוצים:

📐 ממוצע האוכלוסייה: μ (מיו)

📏 סטיית תקן של האוכלוסייה: σ (סיגמא)

📊 שונות האוכלוסייה: σ²

📈 שיעור באוכלוסייה: p

דוגמאות:

🎓 דוגמה 1:
הגובה הממוצע של כל הסטודנטים באוניברסיטה
• זה פרמטר: μ

🏥 דוגמה 2:
האחוז של כל האזרחים שחוסנו
• זה פרמטר: p

⭐ מאפיינים:
• ערך קבוע (אחד ויחיד לכל אוכלוסייה)
• בדרך כלל לא ידוע
• אותיות יווניות: μ, σ, p
שאלה 8
2.50 נק'

📈 מושג מרכזי:

מהו סטטיסטי (Statistic)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מהו סטטיסטי! 📈

📚 הגדרה:

סטטיסטי (Statistic):
מדד מספרי שמתאר מאפיין של המדגם.

סטטיסטים נפוצים:

📐 ממוצע המדגם: x̄ (איקס קו)

📏 סטיית תקן של המדגם: s

📊 שונות המדגם: s²

📈 שיעור במדגם: p̂ (פי עם כובע)

דוגמאות:

🎓 דוגמה 1:
הגובה הממוצע של 300 הסטודנטים שנדגמו
• זה סטטיסטי: x̄

🏥 דוגמה 2:
האחוז של 1000 האזרחים שנדגמו שחוסנו
• זה סטטיסטי: p̂

⭐ מאפיינים:
• ערך משתנה (משתנה בין מדגמים)
• ניתן לחישוב מהנתונים
• אותיות לטיניות: x̄, s, p̂
שאלה 9
2.50 נק'

🔄 השוואה:

מה ההבדל המרכזי בין פרמטר לסטטיסטי?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

פרמטר vs סטטיסטי! 🔄

📊 טבלת השוואה מפורטת:

מאפייןפרמטר (Parameter)סטטיסטי (Statistic)
מתאראוכלוסייהמדגם
סוג ערךקבוע (אחד ויחיד)משתנה (בין מדגמים)
ידוע?בד"כ לא ידועניתן לחישוב
סימון אותיותיווניות: μ, σ, pלטיניות: x̄, s, p̂
גודלN (אוכלוסייה)n (מדגם)
מטרהמה שרוצים להעריךכלי להערכה

דוגמה מלאה:

🎓 גובה סטודנטים באוניברסיטה:

פרמטר μ:
הגובה הממוצע של כל 15,000 הסטודנטים
• לא ידוע (לא מדדנו את כולם)
• קבוע (ערך אחד)

סטטיסטי x̄:
הגובה הממוצע של 300 הסטודנטים שנדגמו
• ידוע (חישבנו: x̄ = 172 ס״מ)
• משתנה (מדגם אחר → ממוצע אחר)

⭐ הקשר:
משתמשים ב-x̄ (סטטיסטי) כדי להעריך את μ (פרמטר)
שאלה 10
2.50 נק'

🎯 זיהוי:

"הממוצע של 50 הנבדקים במחקר היה 165 ס״מ"

האם 165 הוא פרמטר או סטטיסטי?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

זיהוי נכון! 🎯

🔍 ניתוח:

זה סטטיסטי!

למה?

1️⃣ מתאר מדגם (50 נבדקים)

2️⃣ ידוע וניתן לחישוב מהנתונים

3️⃣ משתמש בסימון: x̄ = 165

איך לזהות?

שאל את עצמך: ״האם זה מתאר את כל האוכלוסייה או רק חלק ממנה?״

✅ חלק ממנה (מדגם) → סטטיסטי

❌ את כולה (אוכלוסייה) → פרמטר

דוגמאות נוספות:

📊 "רוב האזרחים תומכים במדיניות" → פרמטר

📊 "65% מ-800 האנשים שנשאלו תומכים" → סטטיסטי

📊 "הגובה הממוצע בישראל" → פרמטר

📊 "הממוצע של 200 הנמדדים" → סטטיסטי
שאלה 11
2.50 נק'

📐 נוסחה בסיסית:

מהי הנוסחה לחישוב ממוצע המדגם x̄?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

נוסחת ממוצע המדגם! 📐

📚 הנוסחה:

ממוצע המדגם:

x̄ = (Σxᵢ) / n

כאשר:
Σxᵢ = x₁ + x₂ + x₃ + ... + xₙ

פירוש הסימנים:

• x̄ = ממוצע המדגם (איקס קו)
• xᵢ = התצפית ה-i במדגם
• n = גודל המדגם
• Σ (סיגמא) = סכום

דוגמה מלאה:

נתון מדגם של גבהים (ס״מ):
165, 170, 168, 172, 175

פתרון:

n = 5 (5 תצפיות)

Σxᵢ = 165 + 170 + 168 + 172 + 175 = 850

x̄ = 850 / 5 = 170 ס״מ

⭐ משמעות:
הממוצע הוא ״נקודת האיזון״ של הנתונים
שאלה 12
2.50 נק'

📊 נוסחה חשובה:

מהי הנוסחה לשונות המדגם s²?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

נוסחת שונות המדגם! 📊

📚 הנוסחה:

שונות המדגם:

s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)

⚠️ שים לב:
מחלקים ב-(n-1) ולא ב-n!

למה (n-1)?

זה נקרא ״תיקון בסל״ (Bessel\s correction)
• מבטיח ש-s² הוא אומד לא מוטה של σ²
• (n-1) נקראות דרגות חופש

דוגמה:

נתונים: 10, 12, 14, 16, 18

שלב 1: חישוב ממוצע
x̄ = (10+12+14+16+18) / 5 = 70/5 = 14

שלב 2: חישוב סכום ריבועי הסטיות
(10-14)² = 16
(12-14)² = 4
(14-14)² = 0
(16-14)² = 4
(18-14)² = 16
Σ(xᵢ - x̄)² = 16+4+0+4+16 = 40

שלב 3: חישוב שונות
s² = 40 / (5-1) = 40/4 = 10

⭐ משמעות:
השונות מודדת את הפיזור של הנתונים סביב הממוצע
שאלה 13
2.50 נק'

📏 נוסחה:

מהי הנוסחה לסטיית התקן של המדגם s?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

נוסחת סטיית התקן! 📏

📚 הנוסחה:

סטיית תקן של המדגם:

s = √s²

s = √[Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)]

הקשר בין s ו-s²:

s² = שונות
s = סטיית תקן = √שונות

דוגמה (המשך מהשאלה הקודמת):

מצאנו: s² = 10

לכן:
s = √10 = 3.16

⭐ למה סטיית תקן?

1️⃣ אותן יחידות כמו הנתונים
• אם הנתונים בס״מ → s בס״מ
• s² בס״מ² (לא אינטואיטיבי)

2️⃣ קל יותר לפרש
s = 3.16 ס״מ → הנתונים מפוזרים בממוצע 3.16 ס״מ מהממוצע

⭐ כלל:
• s קטן → נתונים מרוכזים סביב הממוצע
• s גדול → נתונים מפוזרים
שאלה 14
2.50 נק'

🔄 סימונים:

איך מסמנים את ממוצע האוכלוסייה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סימון ממוצעים! 🔄

📊 טבלת סימונים:

מדדאוכלוסייה
(פרמטר)		מדגם
(סטטיסטי)
ממוצעμ
(מיו)		x̄
(איקס קו)
שונותσ²
(סיגמא בריבוע)		s²
סטיית תקןσ
(סיגמא)		s
גודלNn

הנוסחאות:

ממוצע אוכלוסייה:
μ = ΣX / N

ממוצע מדגם:
x̄ = Σx / n

⭐ זכור:
• אותיות יווניות (μ, σ) → אוכלוסייה
• אותיות לטיניות (x̄, s) → מדגם
שאלה 15
2.50 נק'

🧮 תרגיל:

נתון מדגם: 5, 7, 9, 11, 13

מה הממוצע x̄?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב צעד אחר צעד! 🧮

📐 פתרון מלא:

נוסחה:
x̄ = (Σxᵢ) / n

שלב 1: זיהוי נתונים

המדגם: 5, 7, 9, 11, 13

n = 5 (5 תצפיות)

שלב 2: חישוב סכום

Σxᵢ = 5 + 7 + 9 + 11 + 13

= 45

שלב 3: חישוב ממוצע

x̄ = 45 / 5

= 9

⭐ בדיקה:

האם הממוצע הגיוני?
• הערך הקטן ביותר: 5
• הערך הגדול ביותר: 13
• הממוצע: 9 ✓

9 נמצא בין 5 ל-13 → נכון!

💡 טיפ:
במקרה הזה, המספרים הם סדרה חשבונית עם הפרש 2, אז הממוצע שווה לערך האמצעי (9)
שאלה 16
2.50 נק'

🧮 תרגיל:

נתון מדגם: 2, 4, 6 (ממוצע: 4)

מה השונות s²?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב שונות! 🧮

📐 פתרון מלא:

נוסחה:
s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)

נתונים:
• מדגם: 2, 4, 6
• x̄ = 4
• n = 3

שלב 1: חישוב סטיות מהממוצע

xᵢxᵢ - x̄(xᵢ - x̄)²
22 - 4 = -2(-2)² = 4
44 - 4 = 00² = 0
66 - 4 = 22² = 4

שלב 2: סכום ריבועי הסטיות

Σ(xᵢ - x̄)² = 4 + 0 + 4 = 8

שלב 3: חישוב שונות

s² = 8 / (3-1)

s² = 8 / 2

= 4

⭐ משמעות:
הנתונים מפוזרים בממוצע ב-4 יחידות² מהממוצע
שאלה 17
2.50 נק'

📏 תרגיל:

אם השונות s² = 16, מה סטיית התקן s?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

מהשונות לסטיית התקן! 📏

📐 פתרון:

נוסחה:
s = √s²

נתון:
s² = 16

חישוב:

s = √16

s = 4

⭐ זכור את הקשר:

כיוון ←
s → s² : העלאה בריבוע
s² = s × s
כיוון →
s² → s : שורש ריבועי
s = √s²

דוגמאות נוספות:

• s² = 9 → s = √9 = 3
• s² = 25 → s = √25 = 5
• s² = 2 → s = √2 ≈ 1.41
• s = 3 → s² = 3² = 9

💡 משמעות:
אם s² = 16 ס״מ²
אז s = 4 ס״מ

סטיית התקן חוזרת ליחידות המקוריות של הנתונים
שאלה 18
2.50 נק'

🤔 שאלה תאורטית:

למה בשונות המדגם מחלקים ב-(n-1) ולא ב-n?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

למה (n-1)? 🤔

📚 ההסבר:

תיקון בסל (Bessel\s Correction)

הבעיה:

אם נחלק ב-n, נקבל אומד מוטה (biased estimator)

כלומר: בממוצע, s² יהיה קטן מדי בהשוואה ל-σ²

הפתרון:

חלוקה ב-(n-1) במקום ב-n מתקנת את ההטיה

→ בממוצע: s² = σ²

למה זה קורה?

1️⃣ אנחנו משתמשים ב-x̄ (ממוצע המדגם) ולא ב-μ (ממוצע האוכלוסייה)

2️⃣ x̄ "קרוב יותר" לנקודות במדגם מאשר μ

3️⃣ זה גורם לסטיות (xᵢ - x̄) להיות קטנות מדי

4️⃣ חלוקה ב-(n-1) מפצה על כך

⭐ דרגות חופש:

(n-1) נקראות דרגות חופש (degrees of freedom)

למה n-1?
• יש לנו n נתונים
• אבל הממוצע x̄ כבר ״השתמש״ בכולם
• נשארו רק (n-1) ערכים "חופשיים"

💡 בפועל:

שונות אוכלוסייה:
σ² = Σ(X - μ)² / N

שונות מדגם:
s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)
שאלה 19
2.50 נק'

🎯 מושג:

מהו אומד נקודתי (Point Estimator)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

אומד נקודתי! 🎯

📚 הגדרה:

אומד נקודתי (Point Estimator):
סטטיסטי המשמש להערכת ערך של פרמטר באוכלוסייה.

אומדים נפוצים:

פרמטר
(מה שרוצים להעריך)		אומד
(מה שמחשבים)
μ
(ממוצע אוכלוסייה)		x̄
(ממוצע מדגם)
σ²
(שונות אוכלוסייה)		s²
(שונות מדגם)
σ
(סטיית תקן אוכלוסייה)		s
(סטיית תקן מדגם)
p
(שיעור באוכלוסייה)		p̂
(שיעור במדגם)

דוגמה:

🎓 רוצים לדעת את μ = הגובה הממוצע של כל הסטודנטים

פעולה:
1️⃣ לוקחים מדגם של n=200 סטודנטים
2️⃣ מחשבים x̄ = 171 ס״מ
3️⃣ משתמשים ב-x̄ כאומד ל-μ

מסקנה: מעריכים ש-μ ≈ 171 ס״מ

⭐ תכונות של אומד טוב:

✅ לא מוטה (Unbiased): בממוצע שווה לפרמטר
✅ יעיל (Efficient): שונות קטנה
✅ עקבי (Consistent): מתכנס לפרמטר כש-n גדל
שאלה 20
2.50 נק'

📊 סוגי משתנים:

מהו משתנה מקרי רציף (Continuous)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

משתנה רציף vs בדיד! 📊

📚 טבלת השוואה:

מאפייןרציף
(Continuous)		בדיד
(Discrete)
ערכים אפשרייםכל ערך בתחום
(כולל עשרוניים)		ערכים נפרדים
(לרוב שלמים)
ספירהלא ניתן למנותניתן למנות
דוגמאות• גובה: 171.3 ס״מ
• משקל: 68.5 ק״ג
• זמן: 12.47 שניות
• טמפרטורה: 36.6°C		• מספר ילדים: 0,1,2,3
• תוצאת קוביה: 1-6
• מספר מכוניות: 0,1,2...
• מס׳ שאלות: 10, 20, 30
התפלגותפונקציית צפיפות
(PDF)		פונקציית הסתברות
(PMF)

⭐ איך לזהות?

שאל: "האם יכולים להיות ערכים ביניים?"

✅ כן → רציף
❌ לא → בדיד

דוגמאות:

📏 גובה: רציף
• יכול להיות 171.234... ס״מ
• יש אינסוף ערכים אפשריים

👨‍👩‍👧 מספר ילדים: בדיד
• רק 0, 1, 2, 3, ...
• לא יכול להיות 2.5 ילדים!
שאלה 21
2.50 נק'

🎯 מושג מרכזי:

אם נקח הרבה מדגמים מאותה אוכלוסייה ונחשב לכל מדגם את הממוצע x̄, איך יתפלגו הממוצעים האלה?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

התפלגות ממוצע המדגם! 🎯

📚 התגלית המדהימה:

משפט הגבול המרכזי (Central Limit Theorem - CLT)

אומר שממוצעי מדגמים מתפלגים נורמלית (גאוס), גם אם האוכלוסייה עצמה לא נורמלית!

הרעיון:

1️⃣ יש לנו אוכלוסייה כלשהי (עם כל התפלגות)

2️⃣ לוקחים מדגם גודל n, מחשבים x̄₁

3️⃣ לוקחים מדגם אחר גודל n, מחשבים x̄₂

4️⃣ חוזרים על זה הרבה פעמים...

5️⃣ מציירים היסטוגרמה של כל ה-x̄ שקיבלנו

📊 התוצאה:
ההיסטוגרמה נראית כמו פעמון (התפלגות נורמלית)!

⭐ תנאי:

• המדגמים צריכים להיות גדולים מספיק
• בדרך כלל: n ≥ 30

למה זה חשוב?

זה מאפשר לנו לעשות מסקנות סטטיסטיות גם כשלא יודעים את התפלגות האוכלוסייה!

(נרחיב על זה במבחן 147)
שאלה 22
2.50 נק'

📏 מושג חשוב:

מהי שגיאת התקן (Standard Error) של הממוצע?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

שגיאת התקן! 📏

📚 הגדרה:

שגיאת תקן (Standard Error - SE):
סטיית התקן של התפלגות הדגימה של הממוצע.

נוסחת שגיאת התקן:

SE = σ / √n

או בקירוב (כש-σ לא ידוע):

SE ≈ s / √n

פירוש הסימנים:

• σ = סטיית תקן של האוכלוסייה
• s = סטיית תקן של המדגם
• n = גודל המדגם
• √n = שורש של n

משמעות:

SE מודדת כמה הממוצע x̄ צפוי להשתנות בין מדגמים שונים.

• SE קטן → ממוצעי מדגמים קרובים זה לזה
• SE גדול → ממוצעי מדגמים מפוזרים

⭐ תובנה חשובה:

כש-n גדל:
√n גדל → SE = σ/√n קטן

→ מדגם גדול יותר = דיוק גבוה יותר!

דוגמה:

נתון: σ = 12, n = 36

SE = 12 / √36
SE = 12 / 6
SE = 2

פירוש: ממוצעי המדגמים מפוזרים בסטיית תקן של 2 סביב μ
שאלה 23
2.50 נק'

🧮 תרגיל:

נתון: σ = 20, n = 100

מה שגיאת התקן SE?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב SE! 🧮

📐 פתרון מלא:

נוסחה:
SE = σ / √n

נתונים:
• σ = 20
• n = 100

שלב 1: חישוב √n

√n = √100 = 10

שלב 2: חישוב SE

SE = σ / √n

SE = 20 / 10

SE = 2

⭐ פירוש:

אם ניקח מדגמים רבים בגודל n=100:

• הממוצעים שלהם יתפלגו נורמלית
• עם סטיית תקן של 2
• סביב μ (ממוצע האוכלוסייה)

💡 שימו לב:

סטיית התקן של האוכלוסייה: σ = 20

סטיית התקן של הממוצעים: SE = 2

→ הממוצעים הרבה פחות מפוזרים מהנתונים עצמם!

זו התובנה של משפט הגבול המרכזי
שאלה 24
2.50 נק'

📊 השפעה:

אם נגדיל את גודל המדגם פי 4, מה יקרה לשגיאת התקן SE?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

השפעת n על SE! 📊

📐 ניתוח:

נוסחה:
SE = σ / √n

המצב המקורי:

SE₁ = σ / √n

המצב החדש:

גודל מדגם חדש = 4n

SE₂ = σ / √(4n)

SE₂ = σ / (√4 × √n)

SE₂ = σ / (2√n)

SE₂ = (1/2) × (σ/√n)

SE₂ = (1/2) × SE₁

⭐ מסקנה:

הגדלת המדגם פי 4 → SE קטן פי 2

כלל כללי:

הגדלת n פי k² →
SE קטן פי k

דוגמאות:

• n גדל פי 4 (=2²) → SE קטן פי 2
• n גדל פי 9 (=3²) → SE קטן פי 3
• n גדל פי 16 (=4²) → SE קטן פי 4
• n גדל פי 100 (=10²) → SE קטן פי 10

💡 תובנה:

כדי להפחית את SE בחצי צריך להכפיל את המדגם פי 4!

→ שיפור הדיוק "יקר" במונחי גודל מדגם
שאלה 25
2.50 נק'

🔄 השוואה:

מה ההבדל בין σ (סטיית תקן של האוכלוסייה) ל-SE (שגיאת תקן)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

σ vs SE! 🔄

📊 טבלת השוואה:

מאפייןσ
(סטיית תקן)		SE
(שגיאת תקן)
מה מודד?פיזור הנתונים באוכלוסייהפיזור ממוצעי מדגמים
נוסחהσ = √[Σ(X-μ)²/N]SE = σ/√n
תלוי ב-n?לא
(קבוע לאוכלוסייה)		כן
(קטן כש-n גדל)
גודל יחסיגדול יותרקטן יותר
(SE = σ/√n)

דוגמה מספרית:

נתון: σ = 20, n = 25

σ = 20
→ הנתונים באוכלוסייה מפוזרים בסטיית תקן של 20

SE = 20/√25 = 20/5 = 4
→ ממוצעי המדגמים מפוזרים בסטיית תקן של 4

⭐ תובנה:

ממוצעים הם פחות משתנים מנתונים בודדים!

זו הסיבה שממוצעים הם אומדים טובים לפרמטרים של האוכלוסייה
שאלה 26
2.50 נק'

📈 מושג:

מהי התפלגות דגימה (Sampling Distribution)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

התפלגות דגימה! 📈

📚 הגדרה:

התפלגות דגימה (Sampling Distribution):
התפלגות ההסתברות של סטטיסטי (כמו x̄) שמחושב מכל המדגמים האפשריים בגודל n.

איך זה עובד?

דמיינו:

1️⃣ לוקחים מדגם 1 (גודל n) → מחשבים x̄₁

2️⃣ לוקחים מדגם 2 (גודל n) → מחשבים x̄₂

3️⃣ לוקחים מדגם 3 (גודל n) → מחשבים x̄₃

⋮

1000️⃣ לוקחים מדגם 1000 (גודל n) → מחשבים x̄₁₀₀₀

📊 מציירים היסטוגרמה של כל ה-x̄ → זו התפלגות הדגימה!

דוגמה קונקרטית:

🎲 זורקים 2 קוביות ומחשבים ממוצע:

מדגם 1: (3,5) → x̄₁ = 4
מדגם 2: (1,6) → x̄₂ = 3.5
מדגם 3: (4,4) → x̄₃ = 4
מדגם 4: (2,6) → x̄₄ = 4
⋮

אחרי הרבה זריקות, נראה ש:
• רוב הממוצעים קרובים ל-3.5
• פחות ממוצעים קיצוניים (1 או 6)
• צורת פעמון!

⭐ מאפיינים של התפלגות דגימה של x̄:

• מרכז: E(x̄) = μ
• פיזור: SD(x̄) = σ/√n = SE
• צורה: נורמלית (כש-n גדול)
שאלה 27
2.50 נק'

✅ תכונה:

האם x̄ הוא אומד לא מוטה (unbiased) של μ?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

אומד לא מוטה! ✅

📚 הגדרה:

אומד לא מוטה (Unbiased Estimator):
אומד שתוחלת שלו שווה לפרמטר שהוא מעריך.

x̄ אומד לא מוטה של μ:

E(x̄) = μ

מה זה אומר?

אם ניקח אינסוף מדגמים ונחשב את x̄ לכל אחד:

• הממוצע של כל ה-x̄ יהיה בדיוק μ
• אין הטיה שיטתית כלפי מעלה או מטה
• "בממוצע" x̄ פוגע ב-μ

דוגמה:

נניח μ = 170 ס״מ (גובה אמיתי באוכלוסייה)

לוקחים 1000 מדגמים:
• מדגם 1: x̄₁ = 169
• מדגם 2: x̄₂ = 172
• מדגם 3: x̄₃ = 168
• ⋮
• מדגם 1000: x̄₁₀₀₀ = 171

ממוצע של כל ה-x̄:
(x̄₁ + x̄₂ + ... + x̄₁₀₀₀) / 1000 ≈ 170

→ שווה ל-μ!

⭐ לעומת זאת:

אם היינו משתמשים ב-s² = Σ(xᵢ-x̄)²/n (חלוקה ב-n)
→ זה אומד מוטה של σ²!

לכן משתמשים ב-s² = Σ(xᵢ-x̄)²/(n-1) שהוא לא מוטה
שאלה 28
2.50 נק'

📊 ציון תקן:

מהי הנוסחה ל-Z-score של ממוצע מדגם?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

Z-score של ממוצע! 📊

📚 הנוסחה:

Z-score של ממוצע מדגם:

Z = (x̄ - μ) / SE

Z = (x̄ - μ) / (σ/√n)

פירוש הנוסחה:

• x̄ = ממוצע המדגם שקיבלנו
• μ = ממוצע האוכלוסייה (הציפייה)
• SE = σ/√n = שגיאת התקן

מה Z מודד?

Z מודד: "כמה סטיות תקן x̄ רחוק מ-μ?"

• Z = 0 → x̄ בדיוק במרכז (x̄ = μ)
• Z = 1 → x̄ סטייה אחת מעל μ
• Z = -2 → x̄ שתי סטיות מתחת ל-μ

דוגמה:

נתון:
• μ = 100
• σ = 15
• n = 25
• x̄ = 106

חישוב:

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

Z = (106 - 100) / 3
Z = 6 / 3
Z = 2

פירוש:

הממוצע x̄=106 נמצא 2 סטיות תקן מעל ממוצע האוכלוסייה

זה די רחוק מהציפייה!
שאלה 29
2.50 נק'

📈 התפלגות תקנית:

אם Z ~ N(0,1), מה המשמעות?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

התפלגות נורמלית תקנית! 📈

📚 הסימון:

Z ~ N(0, 1)

נקרא:
"Z מתפלג נורמלית עם ממוצע 0 וסטיית תקן 1"

פירוט:

• ~ = "מתפלג כ..."
• N = התפלגות נורמלית (Normal)
• (0, 1) = (ממוצע, סטיית תקן)

כלומר:
• E(Z) = 0 (ממוצע)
• SD(Z) = 1 (סטיית תקן)
• Var(Z) = 1 (שונות)

מאפיינים:

📊 צורת הפעמון הסימטרית:
• מרכז ב-0
• סימטרית (מראה) סביב 0
• רוב הערכים בין -2 ל-2

📐 כללי 68-95-99.7:

• ~68% מהערכים בין -1 ל-1
• ~95% מהערכים בין -2 ל-2
• ~99.7% מהערכים בין -3 ל-3

⭐ למה זה שימושי?

כל התפלגות נורמלית X ~ N(μ, σ) ניתן להפוך ל-Z ~ N(0,1) באמצעות:

Z = (X - μ) / σ

זה נקרא תקנון (standardization)

יתרון: יש לנו טבלה אחת לכל ההתפלגויות הנורמליות!
שאלה 30
2.50 נק'

📋 טבלת Z:

אם Z ~ N(0,1), מה P(Z < 1.96) בערך?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

קריאת טבלת Z! 📋

📊 ערכים חשובים בטבלת Z:

ZP(Z < z)שימוש
1.6450.95רמת ביטחון 90%
1.960.975רמת ביטחון 95%
2.5760.995רמת ביטחון 99%

הסבר לתשובה:

P(Z < 1.96) = 0.975

פירוש: 97.5% מהערכים נמצאים משמאל ל-1.96

⭐ ערך חשוב מאוד!

1.96 הוא הערך הקריטי לרמת ביטחון 95%

למה?

P(-1.96 < Z < 1.96) = 0.975 - 0.025 = 0.95

כלומר: 95% מהערכים בין -1.96 ל-1.96

שימושים נפוצים:

🎯 רווחי סמך 95%:
x̄ ± 1.96 × SE

🎯 בדיקות השערות:
אם |Z| > 1.96 → דוחים H₀ (ברמת מובהקות 5%)

💡 זכור:

הערכים ±1.96 הם הכי נפוצים בסטטיסטיקה!
שאלה 31
2.50 נק'

🧮 תרגיל:

נתון: μ=50, σ=10, n=25

מה ההסתברות ש-x̄ יהיה גדול מ-52?
(רמז: חשבו Z ותשתמשו בעובדה ש-P(Z>1)≈0.16)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב הסתברות! 🧮

📐 פתרון מלא:

נתונים:
• μ = 50
• σ = 10
• n = 25
• רוצים: P(x̄ > 52)

שלב 1: חישוב SE

SE = σ / √n = 10 / √25 = 10 / 5 = 2

שלב 2: חישוב Z

Z = (x̄ - μ) / SE

Z = (52 - 50) / 2

Z = 2 / 2 = 1

שלב 3: מציאת ההסתברות

רוצים: P(x̄ > 52) = P(Z > 1)

נתון בשאלה: P(Z > 1) ≈ 0.16

⭐ פירוש:

יש 16% סיכוי שממוצע המדגם יהיה גדול מ-52

💡 הגיון:

• הממוצע האמיתי: μ = 50
• x̄ = 52 זה סטייה אחת מעל הממוצע
• זה קורה ב-~16% מהמקרים

זכור:
P(Z > 1) ≈ 0.16
P(Z > 2) ≈ 0.025
P(Z > 3) ≈ 0.0013
שאלה 32
2.50 נק'

📊 רווח סמך:

רווח סמך 95% למוצע האוכלוסייה הוא:
x̄ ± 1.96×SE

מה המשמעות?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

משמעות רווח סמך! 📊

📚 הגדרה:

רווח סמך (Confidence Interval):
טווח של ערכים שבו אנו "בטוחים" ברמת ביטחון מסוימת שהפרמטר נמצא.

רווח סמך 95% לממוצע:

x̄ ± 1.96 × SE

[x̄ - 1.96×SE, x̄ + 1.96×SE]

⚠️ פרשנות נכונה:

"אם ניקח 100 מדגמים שונים ונבנה לכל אחד רווח סמך 95%,

→ בממוצע, 95 מתוך 100 רווחים יכללו את μ האמיתי

→ 5 מתוך 100 רווחים לא יכללו את μ"

❌ פרשנות שגויה:

"יש 95% סיכוי ש-μ נמצא ברווח הספציפי שלנו"

למה שגוי? כי μ קבוע (לא משתנה מקרי)
→ μ או בתוך הרווח או לא (אין הסתברות)

דוגמה:

נתון: x̄ = 170, SE = 2

רווח 95%:
170 ± 1.96×2 = 170 ± 3.92
= [166.08, 173.92]

פירוש נכון:
"השיטה שלנו (של בניית רווחים) מצליחה ב-95% מהמקרים"

⭐ רמות ביטחון נפוצות:

• 90%: x̄ ± 1.645×SE
• 95%: x̄ ± 1.96×SE
• 99%: x̄ ± 2.576×SE
שאלה 33
2.50 נק'

🧮 תרגיל:

נתון: x̄=100, s=20, n=100

מה רווח הסמך 95% ל-μ?
(רמז: SE≈2)

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב רווח סמך! 🧮

📐 פתרון מלא:

נוסחת רווח סמך 95%:
x̄ ± 1.96 × SE

נתונים:
• x̄ = 100
• s = 20
• n = 100

שלב 1: חישוב SE

SE = s / √n

SE = 20 / √100

SE = 20 / 10

SE = 2

שלב 2: חישוב טווח השגיאה

Margin of Error = 1.96 × SE

= 1.96 × 2

= 3.92

שלב 3: בניית הרווח

גבול תחתון: x̄ - 3.92 = 100 - 3.92 = 96.08

גבול עליון: x̄ + 3.92 = 100 + 3.92 = 103.92

רווח סמך 95%:

[96.08, 103.92]

⭐ פירוש:

אנו בטוחים ב-95% שממוצע האוכלוסייה μ נמצא בין 96.08 ל-103.92

(או יותר נכון: השיטה שלנו מצליחה ב-95% מהמקרים)
שאלה 34
2.50 נק'

📏 רוחב רווח:

אם נעבור מרווח סמך 95% לרווח סמך 99%, מה יקרה לרוחב הרווח?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

רוחב הרווח! 📏

📊 ניתוח:

רווחי סמך לפי רמת ביטחון:

רמת ביטחוןערך קריטינוסחת רווח
90%1.645x̄ ± 1.645×SE
95%1.96x̄ ± 1.96×SE
99%2.576x̄ ± 2.576×SE

המסקנה:

רמת ביטחון גבוהה יותר → ערך קריטי גדול יותר

→ רווח רחב יותר

דוגמה מספרית:

נתון: x̄ = 100, SE = 2

רווח 95%:
100 ± 1.96×2 = 100 ± 3.92
= [96.08, 103.92]
רוחב: 7.84

רווח 99%:
100 ± 2.576×2 = 100 ± 5.15
= [94.85, 105.15]
רוחב: 10.3

⭐ הטרייד-אוף:

ביטחון גבוה ↔ דיוק נמוך

• רוצים ביטחון גבוה? → רווח רחב
• רוצים דיוק גבוה? → רווח צר (ביטחון נמוך יותר)

💡 פתרון:
להגדיל את n → SE קטן → רווח צר גם עם ביטחון גבוה!
שאלה 35
2.50 נק'

🎯 תכנון מדגם:

רוצים רווח סמך ברוחב 4 (±2) עם ביטחון 95%. נתון: σ=10

איזה n נדרש בקירוב?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

חישוב גודל מדגם! 🎯

📐 פתרון:

נוסחה לגודל מדגם:

n = (Z × σ / E)²

כאשר E = Margin of Error (טווח שגיאה רצוי)

נתונים:
• רוצים: רווח x̄ ± 2 (E = 2)
• σ = 10
• רמת ביטחון 95% → Z = 1.96

שלב 1: הצבה בנוסחה

n = (1.96 × 10 / 2)²

n = (19.6 / 2)²

n = (9.8)²

n = 96.04

שלב 2: עיגול כלפי מעלה

תמיד עוגלים כלפי מעלה לשלם

→ n = 97

(בפועל נקח n = 100 לנוחות)

⭐ בדיקה:

עם n=100:
SE = 10/√100 = 1
טווח שגיאה = 1.96×1 = 1.96 ≈ 2 ✓

💡 תובנות:

1️⃣ רוצים רווח צר פי 2?
→ צריך מדגם גדול פי 4

2️⃣ רוצים רווח צר פי 3?
→ צריך מדגם גדול פי 9

זו תוצאה של הקשר: n ∝ 1/E²
שאלה 36
2.50 נק'

🔬 בדיקת השערות:

מהי השערת האפס H₀?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

השערת האפס! 🔬

📚 הגדרה:

השערת האפס (H₀ - Null Hypothesis):
ההשערה שמניחה שאין הבדל, אין שינוי, או שהמצב הקיים נכון.

מבנה בדיקת השערות:

H₀: השערת האפס (מה שמנסים לדחות)

H₁ (או Hₐ): השערה אלטרנטיבית (מה שרוצים להוכיח)

דוגמאות:

🏥 דוגמה 1: תרופה חדשה
• H₀: התרופה לא עובדת (μ = 0)
• H₁: התרופה עובדת (μ ≠ 0)

🎓 דוגמה 2: שיטת הוראה
• H₀: השיטה החדשה לא טובה יותר (μ₁ = μ₂)
• H₁: השיטה החדשה טובה יותר (μ₁ > μ₂)

🏭 דוגמה 3: בקרת איכות
• H₀: הממוצע כמו שצריך (μ = 100)
• H₁: הממוצע לא כמו שצריך (μ ≠ 100)

⭐ עקרון:

מתחילים בהנחה ש-H₀ נכונה

אם הנתונים סותרים מאוד את H₀
→ דוחים את H₀ ומקבלים את H₁

💡 אנלוגיה משפטית:

H₀ = הנאשם חף מפשע

דוחים H₀ רק אם יש ראיות חזקות לאשמה
שאלה 37
2.50 נק'

📊 רמת מובהקות:

מה המשמעות של α=0.05?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

רמת מובהקות! 📊

📚 הגדרה:

רמת מובהקות (α - Significance Level):
הסיכוי המקסימלי שאנו מוכנים לקבל לטעות מסוג I.

טעות מסוג I:

לדחות H₀ כש-H₀ נכונה

P(טעות מסוג I) = α

ערכים נפוצים:

• α = 0.05 (5%) - הנפוץ ביותר
• α = 0.01 (1%) - קפדני יותר
• α = 0.10 (10%) - פחות קפדני

⭐ המשמעות של α=0.05:

"אני מוכן לקחת סיכון של 5% לדחות H₀ בטעות"

כלומר:
• בממוצע, מתוך 100 פעמים ש-H₀ נכונה
• נדחה אותה בטעות 5 פעמים

💡 הקשר לרווח סמך:

בדיקת השערות:
רמת מובהקות α		רווח סמך:
רמת ביטחון (1-α)

דוגמאות:
• α = 0.05 ↔ ביטחון 95%
• α = 0.01 ↔ ביטחון 99%
• α = 0.10 ↔ ביטחון 90%

⭐ איך משתמשים ב-α?

דוחים H₀ אם: p-value < α
שאלה 38
2.50 נק'

⚠️ טעויות:

מהי טעות מסוג II (β)?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

טעויות בבדיקת השערות! ⚠️

📊 טבלת טעויות:

החלטה ↓ \ מצב →H₀ נכונה
(במציאות)		H₀ שגויה
(במציאות)
לא דוחים H₀✓ נכון
(1-α)		✗ טעות מסוג II
(β)
דוחים H₀✗ טעות מסוג I
(α)		✓ נכון
(1-β) = עוצמה

⭐ שני סוגי הטעויות:

טעות מסוג I (α):
דוחים H₀ כש-H₀ נכונה

דוגמה: מחליטים שהתרופה עובדת כשבעצם היא לא עובדת

טעות מסוג II (β):
לא דוחים H₀ כש-H₀ שגויה

דוגמה: מחליטים שהתרופה לא עובדת כשבעצם היא כן עובדת

💡 הטרייד-אוף:

• נקטין את α → β גדל
• נגדיל את α → β קטן

פתרון: להגדיל את n!

⭐ עוצמה (Power):

עוצמה = 1 - β

= ההסתברות לדחות H₀ נכון כש-H₀ שגויה

= הסיכוי "לגלות אמת"
שאלה 39
2.50 נק'

📊 p-value:

מהו p-value?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

p-value! 📊

📚 הגדרה:

p-value:
ההסתברות לקבל את הנתונים שקיבלנו (או קיצוניים יותר), בהנחה ש-H₀ נכונה.

כלל ההחלטה:

אם p-value < α

→ דוחים H₀

אם p-value ≥ α

→ לא דוחים H₀

⭐ פרשנות:

p-value קטן (< 0.05):

"התוצאה שקיבלנו נדירה מאוד תחת H₀

→ כנראה H₀ לא נכונה

→ דוחים H₀"

p-value גדול (> 0.05):

"התוצאה שקיבלנו סבירה תחת H₀

→ אין ראיה חזקה נגד H₀

→ לא דוחים H₀"

דוגמה:

🎯 בדיקה: μ = 100 vs μ ≠ 100
קיבלנו: x̄ = 106, חישבנו: Z = 3

p-value = P(|Z| > 3) ≈ 0.003

המשמעות:
"אם μ באמת 100, יש רק 0.3% סיכוי לקבל ממוצע כזה או גבוה יותר"

זה מאוד נדיר!

→ 0.003 < 0.05 → דוחים H₀

⚠️ פרשנות שגויה:

❌ "יש 0.3% סיכוי ש-H₀ נכונה"

זה שגוי! H₀ או נכונה או לא (אין הסתברות)
שאלה 40
2.50 נק'

🎓 סיכום:

מהי המטרה המרכזית של סטטיסטיקה אינפרנציאלית?

הסבר:

💡 הסבר מפורט:

סיכום מבחן 146! 🎓

📚 סיכום המושגים העיקריים:

1️⃣ מושגי יסוד:

• אוכלוסייה: כל הפרטים שרוצים לחקור (N)
• מדגם: תת-קבוצה שנבחרה (n)
• פרמטר: מדד של אוכלוסייה (μ, σ, p)
• סטטיסטי: מדד של מדגם (x̄, s, p̂)

2️⃣ נוסחאות מרכזיות:

• ממוצע מדגם: x̄ = Σxᵢ / n
• שונות מדגם: s² = Σ(xᵢ-x̄)² / (n-1)
• סטיית תקן מדגם: s = √s²
• שגיאת תקן: SE = σ / √n

3️⃣ התפלגות הדגימה:

• ממוצעי מדגמים מתפלגים נורמלית
• E(x̄) = μ (לא מוטה)
• SD(x̄) = SE = σ/√n
• Z = (x̄ - μ) / SE

4️⃣ הסקה סטטיסטית:

• רווח סמך 95%: x̄ ± 1.96×SE
• השערת אפס: H₀ (מה שמנסים לדחות)
• רמת מובהקות: α (בד"כ 0.05)
• p-value: ככל שקטן יותר, ראיה חזקה יותר

⭐ העיקרון המרכזי:

משתמשים בסטטיסטים (מהמדגם)
כדי להעריך פרמטרים (של האוכלוסייה)

מדגם → הסקה → אוכלוסייה
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 40 הושלמו