guest-85894b3153414e04ab43c5d2684a35c3@guest.local (ID: 12544) מבחן: גאומטריה אנליטית - חלק ד מרחק בין נקודות ואמצע קטע
מספר שאלות: 40
ניקוד כולל: 100.00 נק'
שאלה 1
2.50 נק'

חשב את המרחק בין הנקודות \(A(2, 5)\) ו־\(B(7, 5)\).

הסבר:

כאשר ה־Y של שתי הנקודות זהה, המרחק הוא |x₂ - x₁| = |7 - 2| = 5.

שאלה 2
2.50 נק'

חשב את המרחק בין הנקודות \(A(3, -1)\) ו־\(B(3, 6)\).

הסבר:

כאשר ה־X זהה, המרחק הוא |y₂ - y₁| = |6 - (-1)| = 7.

שאלה 3
2.50 נק'

מה המרחק בין \(A(1,1)\) ו־\(B(4,5)\)?

הסבר:

נשתמש בנוסחה: \(\sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\).

שאלה 4
2.50 נק'

מה המרחק בין שתי הנקודות בשרטוט?

A B
הסבר:

בשרטוט A ו־B באותו גובה (אותו Y). הפער האופקי הוא המרחק: |260 - 140| = 120 פיקסל → 6 יחידות.

שאלה 5
2.50 נק'

מצא את המרחק בין \(A(2,-3)\) ו־\(B(2,4)\).

הסבר:

המרחק הוא |4 - (-3)| = 7.

שאלה 6
2.50 נק'

חשב את המרחק בין \(A(-2,1)\) ו־\(B(3,-1)\).

הסבר:

המרחק הוא \(\sqrt{(3+2)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}\).

שאלה 7
2.50 נק'

מצא את אמצע הקטע המחבר את \(A(2,4)\) ו־\(B(6,4)\).

הסבר:

אמצע קטע: \(\left(\frac{2+6}{2}, \frac{4+4}{2}\right) = (4,4)\).

שאלה 8
2.50 נק'

מצא את אמצע הקטע: \(A(3,-2)\), \(B(3,4)\).

הסבר:

אמצע בציר Y: \(\frac{-2+4}{2}=1\).

שאלה 9
2.50 נק'

מצא את אמצע הקטע בין \(A(-4,2)\) ו־\(B(2,-2)\).

הסבר:

אמצע קטע: \(\left(\frac{-4+2}{2}, \frac{2+(-2)}{2}\right) = (-1,0)\).

שאלה 10
2.50 נק'

מהו אמצע הקטע לפי השרטוט?

A B M
הסבר:

בגרף המרחק בין A ל־B נחלק שווה → האמצע באמצע הרוחב.

שאלה 11
2.50 נק'

מצא את אמצע הקטע בין \(A(2,6)\) ו־\(B(8,2)\).

הסבר:

אמצע קטע: \(\left(\frac{2+8}{2}, \frac{6+2}{2}\right) = (5,4)\).

שאלה 12
2.50 נק'

מצא את אמצע הקטע בין \(A(-6,1)\) ו־\(B(-2,5)\).

הסבר:

אמצע: \(\left(\frac{-6+(-2)}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = \left(\frac{-8}{2}, \frac{6}{2}\right) = (-4,3)\).

שאלה 13
2.50 נק'

מה המרחק בין הנקודות \(A(0,0)\) ו־\(B(3,4)\)?

הסבר:

משולש 3–4–5 קלאסי: \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5\).

שאלה 14
2.50 נק'

בטבלה מוצגות שתי נקודות במישור:

נקודהxy
A1-2
B42

מה המרחק בין A ל־B?

הסבר:

נחשב: \(\sqrt{(4-1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\).

שאלה 15
2.50 נק'

בטבלה:

נקודהxy
A5-3
B54

מה המרחק בין A ל־B?

הסבר:

כי x זהה → המרחק הוא |4 - (-3)| = 7.

שאלה 16
2.50 נק'

נתון קטע עם הקצוות \(A(2,2)\) ו־\(B(6,6)\). איזו מן הנקודות הבאות היא אמצע הקטע?

הסבר:

אמצע: \(\left(\frac{2+6}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (4,4)\).

שאלה 17
2.50 נק'

איזו מן הנקודות רחוקה יותר מ־\(O(0,0)\)?

  • A: \((3,4)\)
  • B: \((5,0)\)
הסבר:

מרחק A: \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\). מרחק B: \(\sqrt{5^2 + 0^2} = 5\). שתי הנקודות באותו מרחק – אבל תשאירי כך אם תרצי דיון, או תתקני את אחת הנקודות כדי שפתרון יהיה חד-משמעי.

שאלה 18
2.50 נק'

אמצע הקטע בין הנקודות A ו־B הוא \((3,1)\). ידוע כי \(A(1,3)\). מה קואורדינטות B?

הסבר:

נפתור מתוך נוסחת האמצע: \(\frac{1 + x_B}{2} = 3 \Rightarrow x_B = 5\) \(\frac{3 + y_B}{2} = 1 \Rightarrow y_B = -1\).

שאלה 19
2.50 נק'

מצא את המרחק בין \(A(2,-1)\) ו־\(B(7,3)\).

הסבר:

\(\sqrt{(7-2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}\).

שאלה 20
2.50 נק'

דני הולך מנקודה A לנקודה B. אחרי חצי הדרך הוא נמצא בדיוק באמצע הקטע. אם A היא \((0,0)\) ו־B היא \((4,6)\), מהי נקודת האמצע?

הסבר:

אמצע קטע בין (0,0) ל־(4,6) הוא \(\left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+6}{2}\right) = (2,3)\).

שאלה 21
2.50 נק'

בשרטוט הבא מופיעות שתי נקודות A ו־B. מה המרחק ביניהן (ביחידות קואורדינטות)?

A B

הנח ש-A היא \((1,1)\) ו-B היא \((4,4)\).

הסבר:

המרחק: \(\sqrt{(4-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).

שאלה 22
2.50 נק'

איזה קטע ארוך יותר?

  • קטע 1: A(0,0) ל־B(3,4)
  • קטע 2: C(0,0) ל־D(4,3)
הסבר:

המרחק בשני המקרים: \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\).

שאלה 23
2.50 נק'

מצא את אמצע הקטע בין \(A\left(\frac{1}{2},2\right)\) ו־\(B\left(\frac{5}{2},6\right)\).

הסבר:

\(\left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = \left(\frac{3}{2},4\right) = (1.5,4)\).

שאלה 24
2.50 נק'

מה המרחק בין הנקודות \(A(-5,7)\) ו־\(B(3,7)\)?

הסבר:

ה־Y זהה, לכן המרחק הוא |3 - (-5)| = 8.

שאלה 25
2.50 נק'

מה המרחק בין \(A(1,-4)\) ו־\(B(1,5)\)?

הסבר:

המרחק הוא |5 - (-4)| = 9.

שאלה 26
2.50 נק'

ידוע ש־A היא \((1,2)\) ואמצע הקטע AB הוא \((4,5)\). מה הנקודה B?

הסבר:

\(\frac{1 + x_B}{2} = 4 \Rightarrow x_B = 7\) \(\frac{2 + y_B}{2} = 5 \Rightarrow y_B = 8\).

שאלה 27
2.50 נק'

במשולש ABC ידוע כי \(A(0,0)\) ו־\(B(6,8)\). מה אורך הצלע AB?

הסבר:

אורך הצלע AB הוא פשוט המרחק בין שתי הנקודות: \(\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = 10\).

שאלה 28
2.50 נק'

האם הנקודה \((1,1)\) יכולה להיות אמצע הקטע בין \(A(0,0)\) ו־\(B(2,2)\)?

הסבר:

אמצע בין (0,0) ל־(2,2) הוא בדיוק (1,1).

שאלה 29
2.50 נק'

בשרטוט, הקטע בין A ל־B הוא אלכסון במערכת צירים. אם \(A(2,1)\) ו־\(B(5,5)\), מה אורכו?

הסבר:

\(\sqrt{(5-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9+16} = 5\).

שאלה 30
2.50 נק'

הקטע שמחבר בין \(A(2,2)\) ל־\(B(8,2)\) הוא בסיס של מלבן. מהו אמצע הבסיס?

הסבר:

אמצע בין 2 ו־8 בציר X הוא 5, ה־Y נשאר 2.

שאלה 31
2.50 נק'

נתון משולש ABC כך: \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(2,3)\). איזה משפט נכון לגבי המשולש?

הסבר:

AB = 4. AC = \(\sqrt{(2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}\). BC = \(\sqrt{(4-2)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}\). לכן AC = BC, אבל AB ≠ AC.

שאלה 32
2.50 נק'

נתון מעגל שמרכזו \((0,0)\) ורדיוסו 5. איזו מן הנקודות הבאות שייכת למעגל?

הסבר:

המרחק מהמרכז חייב להיות 5: \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\). בשאר הנקודות המרחק שונה.

שאלה 33
2.50 נק'

נתון כי \(P(a,2)\) ו־\(Q(4,6)\). המרחק ביניהם הוא 5. מה הערך האפשרי של a?

הסבר:

נשתמש בנוסחה: \(\sqrt{(4-a)^2 + (6-2)^2} = 5 \Rightarrow (4-a)^2 + 16 = 25 \Rightarrow (4-a)^2 = 9\). מכאן 4 - a = ±3 → a = 1 או a = 7.

שאלה 34
2.50 נק'

אמצע הקטע בין \(A(2,4)\) ו־\(B(x,8)\) הוא \((5,6)\). מהו x?

הסבר:

\(\frac{2+x}{2} = 5 \Rightarrow 2 + x = 10 \Rightarrow x = 8\). ה־Y מסתדר אוטומטית: \(\frac{4+8}{2} = 6\).

שאלה 35
2.50 נק'

הנקודות \(A(1,2)\), \(B(3,4)\), \(C(5,6)\) נתונות. האם הן נמצאות על אותו ישר?

הסבר:

שיפוע AB: \(\frac{4-2}{3-1} = 1\). שיפוע BC: \(\frac{6-4}{5-3} = 1\). כאשר השיפוע זהה והקטעים ממשיכים באותו כיוון – הנקודות על אותו ישר.

שאלה 36
2.50 נק'

במשולש ABC: \(A(0,0)\), \(B(2,4)\), \(C(k,0)\). עבור אילו ערכים של k המשולש יהיה שווה שוקיים כך ש־AC = BC?

הסבר:

AC = |k-0| = |k| (כי y=0). BC = \(\sqrt{(k-2)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{(k-2)^2 + 16}\). נדרוש: \(|k|^2 = (k-2)^2 + 16\). נקבל: \(k^2 = k^2 -4k +4 + 16 \Rightarrow -4k +20 = 0 \Rightarrow k = 5\). (כאן אפשר לשנות את המספרים אם תרצי פתרון "נחמד" יותר – כרגע זה מדגים עבודה אלגברית.)

שאלה 37
2.50 נק'

נתון כי \(A(1,2)\). מצא נקודה B על ציר ה-X כך שהמרחק AB יהיה 5.

הסבר:

אם B על ציר X אז y_B = 0. נדרוש: \(\sqrt{(x_B-1)^2 + (0-2)^2} = 5 \Rightarrow (x_B-1)^2 + 4 = 25 \Rightarrow (x_B-1)^2 = 21\). מקבלים פתרון עם שורש 21, אם רוצים נקודות "יפות" אפשר להציב קואורדינטות אחרות ולשנות את הנוסח.

שאלה 38
2.50 נק'

במעוין, אחד הקטבים שלו מתואר כקטע בין \(A(-2,1)\) ו־\(C(4,5)\). מה קואורדינטות מרכז המעוין?

הסבר:

מרכז מעוין הוא אמצע האלכסון: \(\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (1,3)\).

שאלה 39
2.50 נק'

על ציר ה-X נמצא קטע מ־(0,0) עד (10,0). איזו מן הנקודות על הקטע תהיה הקרובה ביותר לנקודה \((5,4)\)?

הסבר:

הנקודה שמעליה "יורדים אנכית" כלפי ציר ה-X היא זו שמקצרת את הדרך: (5,0).

שאלה 40
2.50 נק'

נתונות הנקודות \(A(1,1)\) ו־\(B(7,5)\). מצא את המרחק AB ואת אמצע הקטע AB.

הסבר:

מרחק: \(\sqrt{(7-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52}\). אמצע: \(\left(\frac{1+7}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (4,3)\).

🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 40 הושלמו