אורח מצב צפייה מבחן: גאומטריה אנליטית - חלק ד מרחק בין נקודות ואמצע קטע

גאומטריה אנליטית - חלק ד מרחק בין נקודות ואמצע קטע

מבחן מרחק בין נקודות ואמצע קטע - נוסחאות, חישובים על צירים, זיהוי מגרף וטבלה, מציאת נקודה חסרה. הסברים מפורטים.

מרחק בין שתי נקודות (בסיס) מרחק בין שתי נקודות בציר X בלבד מרחק בין שתי נקודות בציר Y בלבד מרחק בין שתי נקודות עם נוסחה זיהוי מרחק מהגרף זיהוי מרחק מתוך טבלה מרחק בין נקודות חיוביות מרחק בין נקודות שליליות מרחק בין נקודות מעורבות מרחק מספרי קל (למשל (1,1) ו־(4,5)) אמצע קטע (בסיס) אמצע קטע בציר X אמצע קטע בציר Y אמצע קטע בשתי נקודות פשוטות תרגיל עם מספרים שליליים זיהוי אמצע קטע בגרף חישוב לפי טבלה זיהוי מתוך ארבע נקודות מי מהן האמצע מהו אמצע קטע "מילולי" מציאת נקודה חסרה (נותנים אמצע ונקודה → למצוא נקודה)

בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 40
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
2.50 נק'

חשב את המרחק בין הנקודות \(A(2, 5)\) ו־\(B(7, 5)\).

הסבר:

כאשר ה־Y של שתי הנקודות זהה, המרחק הוא |x₂ - x₁| = |7 - 2| = 5.

שאלה 2
2.50 נק'

חשב את המרחק בין הנקודות \(A(3, -1)\) ו־\(B(3, 6)\).

הסבר:

כאשר ה־X זהה, המרחק הוא |y₂ - y₁| = |6 - (-1)| = 7.

שאלה 3
2.50 נק'

מה המרחק בין \(A(1,1)\) ו־\(B(4,5)\)?

הסבר:

נשתמש בנוסחה: \(\sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\).

שאלה 4
2.50 נק'

מה המרחק בין שתי הנקודות בשרטוט?

A B
הסבר:

בשרטוט A ו־B באותו גובה (אותו Y). הפער האופקי הוא המרחק: |260 - 140| = 120 פיקסל → 6 יחידות.

שאלה 5
2.50 נק'

מצא את המרחק בין \(A(2,-3)\) ו־\(B(2,4)\).

הסבר:

המרחק הוא |4 - (-3)| = 7.

שאלה 6
2.50 נק'

חשב את המרחק בין \(A(-2,1)\) ו־\(B(3,-1)\).

הסבר:

המרחק הוא \(\sqrt{(3+2)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}\).

שאלה 7
2.50 נק'

מצא את אמצע הקטע המחבר את \(A(2,4)\) ו־\(B(6,4)\).

הסבר:

אמצע קטע: \(\left(\frac{2+6}{2}, \frac{4+4}{2}\right) = (4,4)\).

שאלה 8
2.50 נק'

מצא את אמצע הקטע: \(A(3,-2)\), \(B(3,4)\).

הסבר:

אמצע בציר Y: \(\frac{-2+4}{2}=1\).

שאלה 9
2.50 נק'

מצא את אמצע הקטע בין \(A(-4,2)\) ו־\(B(2,-2)\).

הסבר:

אמצע קטע: \(\left(\frac{-4+2}{2}, \frac{2+(-2)}{2}\right) = (-1,0)\).

שאלה 10
2.50 נק'

מהו אמצע הקטע לפי השרטוט?

A B M
הסבר:

בגרף המרחק בין A ל־B נחלק שווה → האמצע באמצע הרוחב.

שאלה 11
2.50 נק'

מצא את אמצע הקטע בין \(A(2,6)\) ו־\(B(8,2)\).

הסבר:

אמצע קטע: \(\left(\frac{2+8}{2}, \frac{6+2}{2}\right) = (5,4)\).

שאלה 12
2.50 נק'

מצא את אמצע הקטע בין \(A(-6,1)\) ו־\(B(-2,5)\).

הסבר:

אמצע: \(\left(\frac{-6+(-2)}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = \left(\frac{-8}{2}, \frac{6}{2}\right) = (-4,3)\).

שאלה 13
2.50 נק'

מה המרחק בין הנקודות \(A(0,0)\) ו־\(B(3,4)\)?

הסבר:

משולש 3–4–5 קלאסי: \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5\).

שאלה 14
2.50 נק'

בטבלה מוצגות שתי נקודות במישור:

נקודהxy
A1-2
B42

מה המרחק בין A ל־B?

הסבר:

נחשב: \(\sqrt{(4-1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\).

שאלה 15
2.50 נק'

בטבלה:

נקודהxy
A5-3
B54

מה המרחק בין A ל־B?

הסבר:

כי x זהה → המרחק הוא |4 - (-3)| = 7.

שאלה 16
2.50 נק'

נתון קטע עם הקצוות \(A(2,2)\) ו־\(B(6,6)\). איזו מן הנקודות הבאות היא אמצע הקטע?

הסבר:

אמצע: \(\left(\frac{2+6}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (4,4)\).

שאלה 17
2.50 נק'

איזו מן הנקודות רחוקה יותר מ־\(O(0,0)\)?

  • A: \((3,4)\)
  • B: \((5,0)\)
הסבר:

מרחק A: \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\). מרחק B: \(\sqrt{5^2 + 0^2} = 5\). שתי הנקודות באותו מרחק – אבל תשאירי כך אם תרצי דיון, או תתקני את אחת הנקודות כדי שפתרון יהיה חד-משמעי.

שאלה 18
2.50 נק'

אמצע הקטע בין הנקודות A ו־B הוא \((3,1)\). ידוע כי \(A(1,3)\). מה קואורדינטות B?

הסבר:

נפתור מתוך נוסחת האמצע: \(\frac{1 + x_B}{2} = 3 \Rightarrow x_B = 5\) \(\frac{3 + y_B}{2} = 1 \Rightarrow y_B = -1\).

שאלה 19
2.50 נק'

מצא את המרחק בין \(A(2,-1)\) ו־\(B(7,3)\).

הסבר:

\(\sqrt{(7-2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}\).

שאלה 20
2.50 נק'

דני הולך מנקודה A לנקודה B. אחרי חצי הדרך הוא נמצא בדיוק באמצע הקטע. אם A היא \((0,0)\) ו־B היא \((4,6)\), מהי נקודת האמצע?

הסבר:

אמצע קטע בין (0,0) ל־(4,6) הוא \(\left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+6}{2}\right) = (2,3)\).

שאלה 21
2.50 נק'

בשרטוט הבא מופיעות שתי נקודות A ו־B. מה המרחק ביניהן (ביחידות קואורדינטות)?

A B

הנח ש-A היא \((1,1)\) ו-B היא \((4,4)\).

הסבר:

המרחק: \(\sqrt{(4-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).

שאלה 22
2.50 נק'

איזה קטע ארוך יותר?

  • קטע 1: A(0,0) ל־B(3,4)
  • קטע 2: C(0,0) ל־D(4,3)
הסבר:

המרחק בשני המקרים: \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\).

שאלה 23
2.50 נק'

מצא את אמצע הקטע בין \(A\left(\frac{1}{2},2\right)\) ו־\(B\left(\frac{5}{2},6\right)\).

הסבר:

\(\left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = \left(\frac{3}{2},4\right) = (1.5,4)\).

שאלה 24
2.50 נק'

מה המרחק בין הנקודות \(A(-5,7)\) ו־\(B(3,7)\)?

הסבר:

ה־Y זהה, לכן המרחק הוא |3 - (-5)| = 8.

שאלה 25
2.50 נק'

מה המרחק בין \(A(1,-4)\) ו־\(B(1,5)\)?

הסבר:

המרחק הוא |5 - (-4)| = 9.

שאלה 26
2.50 נק'

ידוע ש־A היא \((1,2)\) ואמצע הקטע AB הוא \((4,5)\). מה הנקודה B?

הסבר:

\(\frac{1 + x_B}{2} = 4 \Rightarrow x_B = 7\) \(\frac{2 + y_B}{2} = 5 \Rightarrow y_B = 8\).

שאלה 27
2.50 נק'

במשולש ABC ידוע כי \(A(0,0)\) ו־\(B(6,8)\). מה אורך הצלע AB?

הסבר:

אורך הצלע AB הוא פשוט המרחק בין שתי הנקודות: \(\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = 10\).

שאלה 28
2.50 נק'

האם הנקודה \((1,1)\) יכולה להיות אמצע הקטע בין \(A(0,0)\) ו־\(B(2,2)\)?

הסבר:

אמצע בין (0,0) ל־(2,2) הוא בדיוק (1,1).

שאלה 29
2.50 נק'

בשרטוט, הקטע בין A ל־B הוא אלכסון במערכת צירים. אם \(A(2,1)\) ו־\(B(5,5)\), מה אורכו?

הסבר:

\(\sqrt{(5-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9+16} = 5\).

שאלה 30
2.50 נק'

הקטע שמחבר בין \(A(2,2)\) ל־\(B(8,2)\) הוא בסיס של מלבן. מהו אמצע הבסיס?

הסבר:

אמצע בין 2 ו־8 בציר X הוא 5, ה־Y נשאר 2.

שאלה 31
2.50 נק'

נתון משולש ABC כך: \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(2,3)\). איזה משפט נכון לגבי המשולש?

הסבר:

AB = 4. AC = \(\sqrt{(2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}\). BC = \(\sqrt{(4-2)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}\). לכן AC = BC, אבל AB ≠ AC.

שאלה 32
2.50 נק'

נתון מעגל שמרכזו \((0,0)\) ורדיוסו 5. איזו מן הנקודות הבאות שייכת למעגל?

הסבר:

המרחק מהמרכז חייב להיות 5: \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\). בשאר הנקודות המרחק שונה.

שאלה 33
2.50 נק'

נתון כי \(P(a,2)\) ו־\(Q(4,6)\). המרחק ביניהם הוא 5. מה הערך האפשרי של a?

הסבר:

נשתמש בנוסחה: \(\sqrt{(4-a)^2 + (6-2)^2} = 5 \Rightarrow (4-a)^2 + 16 = 25 \Rightarrow (4-a)^2 = 9\). מכאן 4 - a = ±3 → a = 1 או a = 7.

שאלה 34
2.50 נק'

אמצע הקטע בין \(A(2,4)\) ו־\(B(x,8)\) הוא \((5,6)\). מהו x?

הסבר:

\(\frac{2+x}{2} = 5 \Rightarrow 2 + x = 10 \Rightarrow x = 8\). ה־Y מסתדר אוטומטית: \(\frac{4+8}{2} = 6\).

שאלה 35
2.50 נק'

הנקודות \(A(1,2)\), \(B(3,4)\), \(C(5,6)\) נתונות. האם הן נמצאות על אותו ישר?

הסבר:

שיפוע AB: \(\frac{4-2}{3-1} = 1\). שיפוע BC: \(\frac{6-4}{5-3} = 1\). כאשר השיפוע זהה והקטעים ממשיכים באותו כיוון – הנקודות על אותו ישר.

שאלה 36
2.50 נק'

במשולש ABC: \(A(0,0)\), \(B(2,4)\), \(C(k,0)\). עבור אילו ערכים של k המשולש יהיה שווה שוקיים כך ש־AC = BC?

הסבר:

AC = |k-0| = |k| (כי y=0). BC = \(\sqrt{(k-2)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{(k-2)^2 + 16}\). נדרוש: \(|k|^2 = (k-2)^2 + 16\). נקבל: \(k^2 = k^2 -4k +4 + 16 \Rightarrow -4k +20 = 0 \Rightarrow k = 5\). (כאן אפשר לשנות את המספרים אם תרצי פתרון "נחמד" יותר – כרגע זה מדגים עבודה אלגברית.)

שאלה 37
2.50 נק'

נתון כי \(A(1,2)\). מצא נקודה B על ציר ה-X כך שהמרחק AB יהיה 5.

הסבר:

אם B על ציר X אז y_B = 0. נדרוש: \(\sqrt{(x_B-1)^2 + (0-2)^2} = 5 \Rightarrow (x_B-1)^2 + 4 = 25 \Rightarrow (x_B-1)^2 = 21\). מקבלים פתרון עם שורש 21, אם רוצים נקודות "יפות" אפשר להציב קואורדינטות אחרות ולשנות את הנוסח.

שאלה 38
2.50 נק'

במעוין, אחד הקטבים שלו מתואר כקטע בין \(A(-2,1)\) ו־\(C(4,5)\). מה קואורדינטות מרכז המעוין?

הסבר:

מרכז מעוין הוא אמצע האלכסון: \(\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (1,3)\).

שאלה 39
2.50 נק'

על ציר ה-X נמצא קטע מ־(0,0) עד (10,0). איזו מן הנקודות על הקטע תהיה הקרובה ביותר לנקודה \((5,4)\)?

הסבר:

הנקודה שמעליה "יורדים אנכית" כלפי ציר ה-X היא זו שמקצרת את הדרך: (5,0).

שאלה 40
2.50 נק'

נתונות הנקודות \(A(1,1)\) ו־\(B(7,5)\). מצא את המרחק AB ואת אמצע הקטע AB.

הסבר:

מרחק: \(\sqrt{(7-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52}\). אמצע: \(\left(\frac{1+7}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (4,3)\).

🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 40 הושלמו