אורח מצב צפייה מבחן: גאומטריה אנליטית חיתוך ישר עם מעגל

גאומטריה אנליטית חיתוך ישר עם מעגל

מבחן חיתוך ישר עם מעגל - מספר נקודות חיתוך (0/1/2), הצבה ודיסקרימיננטה, משיק כמקרה פרטי. גאומטריה אנליטית.
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 10
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

📐 חיתוך ישר עם מעגל:

איך מוצאים נקודות חיתוך של ישר \(y=mx+n\) עם מעגל?

הסבר:
💡 הסבר מפורט:

חיתוך ישר עם מעגל! 📐

📐 חיתוך ישר עם מעגל:

💡 השיטה:

הצבה!

1️⃣ ישר: \(y=mx+n\)
2️⃣ מעגל: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

השלבים:

שלב 1: הצב \(y=mx+n\) במשוואת המעגל

\((x-a)^2+(mx+n-b)^2=r^2\)

שלב 2: פתח סוגריים → משוואה ריבועית

\(Ax^2+Bx+C=0\)

שלב 3: פתור עם דיסקרימיננטה

📊 דוגמה:

מעגל: \(x^2+y^2=25\)
ישר: \(y=x+1\)

פתרון:

הצבה:
\(x^2+(x+1)^2=25\)

פתיחה:
\(x^2+x^2+2x+1=25\)

\(2x^2+2x-24=0\)

\(x^2+x-12=0\)

\((x+4)(x-3)=0\)

\(x=-4\) או \(x=3\)

נקודות:
\(x=-4\) → \(y=-3\) → \((-4,-3)\)
\(x=3\) → \(y=4\) → \((3,4)\)

🎨 ויזואליזציה:

xyy=x+1(-4,-3)(3,4)

הכלל הזהב:

הצבה → משוואה ריבועית → פתרון!

🎯 לזכור:

הצבת הישר במעגל
↓
משוואה ריבועית
↓
דיסקרימיננטה!
שאלה 2
10.00 נק'

🔢 דיסקרימיננטה:

אם הדיסקרימיננטה \(\Delta > 0\), כמה נקודות חיתוך יש?

הסבר:
💡 הסבר:

דיסקרימיננטה וחיתוך! 🔢

דיסקרימיננטה:

משוואה ריבועית:

\(Ax^2+Bx+C=0\)

דיסקרימיננטה:
\(\Delta = B^2-4AC\)

שלוש אפשרויות:

1️⃣ \(\Delta > 0\)
→ שני פתרונות
→ 2 נקודות חיתוך ✓

2️⃣ \(\Delta = 0\)
→ פתרון אחד
→ משיק (נקודה אחת)

3️⃣ \(\Delta < 0\)
→ אין פתרון ממשי
→ אין חיתוך

\(\Delta > 0\) → \(2\) חיתוכים!

חיתוך 1חיתוך 2Δ > 0: שני חיתוכים
שאלה 3
10.00 נק'

📏 משיק:

מתי ישר הוא משיק למעגל?

הסבר:
💡 הסבר:

תנאי למשיק! 📏

משיק למעגל:

הגדרה:

משיק = ישר שנוגע במעגל
בנקודה אחת בדיוק!

תנאי מתמטי:

משוואה ריבועית:
\(Ax^2+Bx+C=0\)

למשיק:
\(\Delta = B^2-4AC = 0\)

פתרון יחיד → נקודת מגע אחת!

דוגמה:

מעגל: \(x^2+y^2=25\)
ישר: \(y=5\)

הצבה:
\(x^2+25=25\)
\(x^2=0\)
\(x=0\)

נקודה אחת: \((0,5)\)
משיק! ✓

תנאי: \(\Delta = 0\)

נקודת מגעΔ = 0: משיק
שאלה 4
10.00 נק'

❌ אין חיתוך:

מתי אין חיתוך בין ישר למעגל?

הסבר:
💡 הסבר:

אין חיתוך! ❌

מתי אין חיתוך?

תנאי:

דיסקרימיננטה שלילית:
\(\Delta = B^2-4AC < 0\)

משמעות:
אין פתרון ממשי למשוואה הריבועית

הסבר גיאומטרי:

הישר עובר מחוץ למעגל
לא נוגע בו בשום נקודה!

דוגמה:

מעגל: \(x^2+y^2=4\) (רדיוס \(2\))
ישר: \(y=5\)

הצבה:
\(x^2+25=4\)
\(x^2=-21\)

❌ שורש של מספר שלילי!
אין פתרון ממשי

הישר גובה \(5\), המעגל רדיוס \(2\)
הישר רחוק מדי!

\(\Delta < 0\) → אין חיתוך!

Δ < 0: אין חיתוך
שאלה 5
10.00 נק'

🔢 חישוב:

מצא נקודות חיתוך של \(y=2x\) עם \(x^2+y^2=20\).

הסבר:
💡 הסבר:

חישוב מפורט! 🔢

פתרון שלב אחר שלב:

1️⃣ הצבה:

ישר: \(y=2x\)
מעגל: \(x^2+y^2=20\)

\(x^2+(2x)^2=20\)

2️⃣ פישוט:

\(x^2+4x^2=20\)

\(5x^2=20\)

\(x^2=4\)

3️⃣ פתרון:

\(x=\pm 2\)

עבור \(x=2\):
\(y=2 \cdot 2=4\)
נקודה: \((2,4)\)

עבור \(x=-2\):
\(y=2 \cdot (-2)=-4\)
נקודה: \((-2,-4)\)

4️⃣ בדיקה:

נקודה \((2,4)\):
\(2^2+4^2=4+16=20\) ✓

נקודה \((-2,-4)\):
\((-2)^2+(-4)^2=4+16=20\) ✓

תשובה:
\((2,4)\) ו-\((-2,-4)\)
שאלה 6
10.00 נק'

📏 ישר אנכי:

מצא חיתוך של \(x=3\) עם \((x-1)^2+(y-2)^2=20\).

הסבר:
💡 הסבר:

ישר אנכי! 📏

פתרון:

1️⃣ הצבה:

ישר אנכי: \(x=3\)
מעגל: \((x-1)^2+(y-2)^2=20\)

\((3-1)^2+(y-2)^2=20\)

2️⃣ פישוט:

\(4+(y-2)^2=20\)

\((y-2)^2=16\)

3️⃣ פתרון:

\(y-2=\pm 4\)

פתרון 1:
\(y-2=4\) → \(y=6\)
נקודה: \((3,6)\)

פתרון 2:
\(y-2=-4\) → \(y=-2\)
נקודה: \((3,-2)\)

תשובה:
\((3,6)\) ו-\((3,-2)\)

הערה:

ישר אנכי \(x=k\)
מציבים ישירות את \(x\)
ופותרים ל-\(y\)
שאלה 7
10.00 נק'

➡️ ישר אופקי:

האם \(y=7\) חותך את \(x^2+y^2=25\)?

הסבר:
💡 הסבר:

בדיקת ישר אופקי! ➡️

ניתוח:

נתונים:

מעגל: \(x^2+y^2=25\)
מרכז: \((0,0)\)
רדיוס: \(r=5\)

ישר: \(y=7\)

בדיקה גיאומטרית:

המרחק מהמרכז \((0,0)\) לישר \(y=7\)
הוא \(7\)

הרדיוס: \(5\)

\(7 > 5\)

הישר רחוק מדי!

בדיקה אלגברית:

הצבה \(y=7\):

\(x^2+49=25\)

\(x^2=-24\)

❌ שלילי! אין פתרון ממשי

אין חיתוך! ❌

y=7מרחק=7אין חיתוך!
שאלה 8
10.00 נק'

🎯 מעגל מוזז:

מצא חיתוך של \(y=x\) עם \((x-2)^2+(y-2)^2=8\).

הסבר:
💡 הסבר:

חיתוך עם מעגל מוזז! 🎯

פתרון מלא:

1️⃣ הצבה:

ישר: \(y=x\)
מעגל: \((x-2)^2+(y-2)^2=8\)

\((x-2)^2+(x-2)^2=8\)

2️⃣ פישוט:

\(2(x-2)^2=8\)

\((x-2)^2=4\)

3️⃣ פתרון:

\(x-2=\pm 2\)

פתרון 1:
\(x-2=2\) → \(x=4\)
\(y=x=4\)
נקודה: \((4,4)\)

פתרון 2:
\(x-2=-2\) → \(x=0\)
\(y=x=0\)
נקודה: \((0,0)\)

4️⃣ בדיקה:

\((4,4)\):
\((4-2)^2+(4-2)^2=4+4=8\) ✓

\((0,0)\):
\((0-2)^2+(0-2)^2=4+4=8\) ✓

תשובה:
\((0,0)\) ו-\((4,4)\)
שאלה 9
10.00 נק'

⚠️ טעות:

תלמיד מצא \(\Delta = 4\) ואמר: יש \(4\) נקודות חיתוך. צודק?

הסבר:
💡 הסבר:

טעות נפוצה! ⚠️

❌ טעות!

ערך הדיסקרימיננטה
לא שווה למספר הנקודות!

הבעיה:

מה שהתלמיד חשב:

\(\Delta = 4\)
→ \(4\) נקודות חיתוך

❌ זה לא נכון!

✓ הנכון:

\(\Delta = 4 > 0\)

הדיסקרימיננטה חיובית!

משמעות:
יש 2 פתרונות
→ 2 נקודות חיתוך

הכלל:

• \(\Delta > 0\) (כל מספר חיובי) → \(2\) נקודות
• \(\Delta = 0\) → \(1\) נקודה (משיק)
• \(\Delta < 0\) → \(0\) נקודות

זכור:

הסימן של \(\Delta\) קובע,
לא הערך!

חיובי → \(2\)
אפס → \(1\)
שלילי → \(0\)
שאלה 10
10.00 נק'

📚 סיכום:

מה הסדר הנכון למציאת חיתוך ישר עם מעגל?

הסבר:
📚 סיכום מבחן!

חיתוך ישר עם מעגל! 📐

🎯 עיקרי הפרק:

השלבים:

1️⃣ הצבה: הצב את הישר במעגל
\(y=mx+n\) ← \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

2️⃣ פישוט: פתח למשוואה ריבועית
\(Ax^2+Bx+C=0\)

3️⃣ דיסקרימיננטה: חשב \(\Delta = B^2-4AC\)

4️⃣ פתרון: פתור ומצא נקודות

דיסקרימיננטה:

• \(\Delta > 0\) → \(2\) נקודות חיתוך ✓
• \(\Delta = 0\) → משיק (נקודה אחת) ⚡
• \(\Delta < 0\) → אין חיתוך ❌

מקרים מיוחדים:

• ישר אנכי \(x=k\): הצב ישירות
• ישר אופקי \(y=k\): הצב ישירות
• ישר דרך המרכז: בדוק סימטריה

טעויות נפוצות:

❌ לחשוב ש-\(\Delta\) = מספר נקודות
❌ לא לפתוח סוגריים נכון
✓ הסימן של \(\Delta\) קובע!

מוכן למבחן הבא? 🚀
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 10 הושלמו