אורח מצב צפייה מבחן: גאומטריה אנליטית משוואת משיק למעגל

גאומטריה אנליטית משוואת משיק למעגל

מבחן משוואת משיק למעגל - משיק בנקודה על המעגל, משיק מנקודה חיצונית, שיפוע הרדיוס והמשיק. גאומטריה אנליטית.
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 10
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

📏 משיק למעגל:

מה התנאי שישר יהיה משיק למעגל?

הסבר:
💡 הסבר מפורט:

משיק למעגל - הגדרה! 📏

📏 משיק למעגל:

💡 ההגדרה:

משיק = ישר שנוגע במעגל בנקודה אחת בדיוק!

שתי דרכים לבדוק:

דרך 1: מרחק
המרחק מהמרכז לישר \(= r\)

דרך 2: דיסקרימיננטה
הצבת הישר במעגל נותנת \(\Delta = 0\)

📐 נוסחת מרחק:

מרחק מנקודה לישר:

ישר: \(Ax+By+C=0\)
נקודה: \((x_0,y_0)\)

מרחק:
\(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

למשיק:
\(d = r\)

🎨 ויזואליזציה:

xyמרכזמשיקנקודת מגעrניצב!

תכונה חשובה:

המשיק ניצב לרדיוס
בנקודת המגע! ⊥

🎯 לזכור:

תנאי למשיק:
• מרחק \(= r\)
• \(\Delta = 0\)
• ניצב לרדיוס!
שאלה 2
10.00 נק'

➡️ משיק אופקי:

מצא משיק אופקי למעגל \(x^2+(y-3)^2=16\).

הסבר:
💡 הסבר:

משיק אופקי! ➡️

ניתוח:

נתונים:

מעגל: \(x^2+(y-3)^2=16\)

מרכז: \((0,3)\)
רדיוס: \(r=4\)

משיק אופקי:

משיק אופקי: \(y=k\)

המרחק מהמרכז \((0,3)\) לישר \(y=k\)
הוא \(|k-3|\)

תנאי למשיק:
\(|k-3| = 4\)

פתרון:

\(|k-3| = 4\)

אפשרות 1:
\(k-3=4\)
\(k=7\)
משיק: \(y=7\)

אפשרות 2:
\(k-3=-4\)
\(k=-1\)
משיק: \(y=-1\)

תשובה:
\(y=7\) ו-\(y=-1\)

(0,3)y=7y=-1
שאלה 3
10.00 נק'

📏 משיק אנכי:

מצא משיק אנכי למעגל \((x-2)^2+y^2=9\).

הסבר:
💡 הסבר:

משיק אנכי! 📏

פתרון:

נתונים:

מעגל: \((x-2)^2+y^2=9\)

מרכז: \((2,0)\)
רדיוס: \(r=3\)

משיק אנכי:

משיק אנכי: \(x=k\)

המרחק מהמרכז \((2,0)\) לישר \(x=k\)
הוא \(|k-2|\)

תנאי למשיק:
\(|k-2| = 3\)

פתרון:

\(|k-2| = 3\)

אפשרות 1:
\(k-2=3\)
\(k=5\)
משיק: \(x=5\)

אפשרות 2:
\(k-2=-3\)
\(k=-1\)
משיק: \(x=-1\)

תשובה:
\(x=5\) ו-\(x=-1\)
שאלה 4
10.00 נק'

📍 בנקודה נתונה:

מצא משוואת משיק למעגל \(x^2+y^2=25\) בנקודה \((3,4)\).

הסבר:
💡 הסבר:

משיק בנקודה על המעגל! 📍

נוסחה מיוחדת!

נוסחת משיק למעגל בראשית:

מעגל: \(x^2+y^2=r^2\)
נקודה על המעגל: \((x_0,y_0)\)

משוואת המשיק:
\(x_0 \cdot x+y_0 \cdot y=r^2\)

יישום:

מעגל: \(x^2+y^2=25\)
אז \(r^2=25\)

נקודה: \((3,4)\)
אז \(x_0=3\), \(y_0=4\)

הצבה בנוסחה:

\(x_0 \cdot x+y_0 \cdot y=r^2\)

\(3 \cdot x+4 \cdot y=25\)

\(3x+4y=25\)

בדיקה:

האם \((3,4)\) על הישר \(3x+4y=25\)?

\(3 \cdot 3+4 \cdot 4=9+16=25\) ✓

האם ניצב לרדיוס?
רדיוס: כיוון \((3,4)\)
משיק: מקדם שיפוע \(-\frac{3}{4}\)
רדיוס: מקדם \(\frac{4}{3}\)
\(-\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}=-1\) ✓ ניצבים!

תשובה: \(3x+4y=25\)

(3,4)3x+4y=25רדיוס
שאלה 5
10.00 נק'

📐 מקדם שיפוע:

מצא משיק למעגל \(x^2+y^2=5\) עם מקדם שיפוע \(m=2\).

הסבר:
💡 הסבר:

משיק עם מקדם שיפוע נתון! 📐

שיטה עם דיסקרימיננטה:

1️⃣ צורת הישר:

מקדם שיפוע: \(m=2\)

משוואת ישר כללית:
\(y=2x+n\)

צריך למצוא את \(n\)!

2️⃣ הצבה במעגל:

מעגל: \(x^2+y^2=5\)
ישר: \(y=2x+n\)

\(x^2+(2x+n)^2=5\)

\(x^2+4x^2+4nx+n^2=5\)

\(5x^2+4nx+(n^2-5)=0\)

3️⃣ תנאי למשיק:

דיסקרימיננטה \(\Delta = 0\)

\(A=5\), \(B=4n\), \(C=n^2-5\)

\(\Delta = (4n)^2-4 \cdot 5 \cdot (n^2-5)=0\)

\(16n^2-20n^2+100=0\)

\(-4n^2+100=0\)

\(n^2=25\)

\(n=\pm 5\)

4️⃣ משוואות המשיק:

אפשרות 1: \(n=5\)
\(y=2x+5\)

אפשרות 2: \(n=-5\)
\(y=2x-5\)

תשובה:
\(y=2x+5\) ו-\(y=2x-5\)

למה שני משיקים?

לכל מקדם שיפוע נתון
יש שני משיקים מקבילים
אחד מכל צד של המעגל!
שאלה 6
10.00 נק'

🎯 מעגל מוזז:

מצא משיק אופקי למעגל \((x-1)^2+(y-2)^2=4\).

הסבר:
💡 הסבר:

משיק למעגל מוזז! 🎯

פתרון:

נתונים:

מעגל: \((x-1)^2+(y-2)^2=4\)

מרכז: \((1,2)\)
רדיוס: \(r=2\)

משיק אופקי:

משיק אופקי: \(y=k\)

מרחק מהמרכז \((1,2)\) לישר:
\(|k-2|\)

תנאי למשיק:
\(|k-2| = 2\)

פתרון:

\(|k-2| = 2\)

אפשרות 1:
\(k-2=2\)
\(k=4\)
משיק: \(y=4\)

אפשרות 2:
\(k-2=-2\)
\(k=0\)
משיק: \(y=0\)

תשובה:
\(y=4\) ו-\(y=0\)
שאלה 7
10.00 נק'

🔢 כמה משיקים:

כמה משיקים אופקיים יש למעגל?

הסבר:
💡 הסבר:

כמה משיקים אופקיים? 🔢

ניתוח:

משיקים אופקיים:

משיק אופקי = ישר \(y=k\)

מכיוון שהמעגל עגול,
יש נקודה עליונה ונקודה תחתונה

משיק עובר דרך כל אחת מהן!

דוגמה:

מעגל: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

הנקודה העליונה: \((a,b+r)\)
משיק עליון: \(y=b+r\)

הנקודה התחתונה: \((a,b-r)\)
משיק תחתון: \(y=b-r\)

דוגמה מספרית:

מעגל: \(x^2+y^2=9\)
מרכז: \((0,0)\), רדיוס: \(3\)

משיק עליון: \(y=3\)
משיק תחתון: \(y=-3\)

\(2\) משיקים אופקיים!

עליוןתחתון

באופן כללי:

• \(2\) משיקים אופקיים
• \(2\) משיקים אנכיים
• אינסוף משיקים בסה"כ!
שאלה 8
10.00 נק'

📍 נקודה חיצונית:

כמה משיקים למעגל \(x^2+y^2=4\) עוברים דרך הנקודה \((4,0)\)?

הסבר:
💡 הסבר:

משיקים דרך נקודה חיצונית! 📍

עיקרון גיאומטרי:

כלל חשוב:

מנקודה מחוץ למעגל
אפשר לשרטט בדיוק 2 משיקים!

מנקודה על המעגל
אפשר לשרטט משיק אחד!

מנקודה בתוך המעגל
אי אפשר לשרטט משיק!

בדיקה:

מעגל: \(x^2+y^2=4\) (רדיוס \(2\))
נקודה: \((4,0)\)

האם על המעגל?
\(4^2+0^2=16 \neq 4\)
לא על המעגל!

האם בתוך?
\(16 > 4\)
לא! היא מחוץ למעגל ✓

מסקנה:

הנקודה \((4,0)\) מחוץ למעגל

לכן יש 2 משיקים העוברים דרכה!

\(2\) משיקים!

(4,0)2 משיקים
שאלה 9
10.00 נק'

⚠️ טעות:

תלמיד מצא משיק \(y=3x+10\) למעגל \(x^2+y^2=1\). האם זה אפשרי?

הסבר:
💡 הסבר:

בדיקת משיק - טעות נפוצה! ⚠️

בדיקה:

נתונים:

מעגל: \(x^2+y^2=1\)
מרכז: \((0,0)\), רדיוס: \(r=1\)

ישר: \(y=3x+10\)
או: \(3x-y+10=0\)

חישוב מרחק:

נוסחה:
\(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

\(A=3\), \(B=-1\), \(C=10\)
\((x_0,y_0)=(0,0)\)

\(d = \frac{|3 \cdot 0+(-1) \cdot 0+10|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}\)

\(d = \frac{10}{\sqrt{10}}\)

\(d = \sqrt{10} \approx 3.16\)

השוואה:

המרחק: \(d=\sqrt{10} \approx 3.16\)
הרדיוס: \(r=1\)

\(3.16 > 1\)

❌ המרחק גדול מדי!
הישר לא נוגע במעגל!

❌ לא משיק!

הישר רחוק מהמעגל!

הכלל:

תמיד בדוק!

למשיק: מרחק \(= r\)

אם המרחק \(> r\) → לא משיק!
אם המרחק \(< r\) → חותך!
שאלה 10
10.00 נק'

📚 סיכום:

מה נכון למשיק למעגל?

הסבר:
📚 סיכום מבחן!

משוואת משיק למעגל! 📏

🎯 עיקרי הפרק:

תנאי למשיק:

• מרחק מהמרכז \(= r\)
• דיסקרימיננטה \(\Delta = 0\)
• ניצב לרדיוס בנקודת המגע

נוסחאות:

משיק במעגל בראשית:
מעגל: \(x^2+y^2=r^2\)
נקודה: \((x_0,y_0)\)
משיק: \(x_0 \cdot x+y_0 \cdot y=r^2\)

נוסחת מרחק:
\(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

מקרים מיוחדים:

• משיק אופקי: \(y=b \pm r\)
• משיק אנכי: \(x=a \pm r\)
• עם מקדם שיפוע: \(\Delta = 0\)

מספר משיקים:

• מנקודה חיצונית: \(2\) משיקים
• מנקודה על המעגל: \(1\) משיק
• מנקודה בתוך: \(0\) משיקים

טעויות נפוצות:

❌ לא לבדוק מרחק
❌ לשכוח שיש 2 משיקים
✓ משיק ניצב לרדיוס!

מוכן למבחן הבא? 🚀
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 10 הושלמו