אורח מצב צפייה מבחן: גאומטריה אנליטית - מעגל דרך 3 נקודות + קוטר

גאומטריה אנליטית - מעגל דרך 3 נקודות + קוטר

מבחן מעגל דרך 3 נקודות וקוטר - מציאת משוואת מעגל העובר דרך 3 נקודות, מעגל על קוטר נתון. גאומטריה אנליטית מתקדמת.
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 10
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

📍📍📍 מעגל דרך 3 נקודות:

איך מוצאים מעגל העובר דרך 3 נקודות?

הסבר:
💡 הסבר מפורט:

מעגל דרך 3 נקודות! 📍📍📍

📍 מעגל דרך 3 נקודות:

💡 השיטה:

משוואה כללית של מעגל:

\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)

יש לנו 3 נעלמים: \(D, E, F\)

צריכים 3 משוואות!

השלבים:

1️⃣ הצב נקודה 1 במשוואה
2️⃣ הצב נקודה 2 במשוואה
3️⃣ הצב נקודה 3 במשוואה
4️⃣ פתור מערכת 3×3
5️⃣ מצא \(D, E, F\)
6️⃣ כתוב את משוואת המעגל!

📊 דוגמה:

נקודות: \((0,0)\), \((4,0)\), \((0,2)\)

שלב 1: הצבת \((0,0)\)

\(0^2+0^2+D \cdot 0+E \cdot 0+F=0\)
\(F=0\) ✓

שלב 2: הצבת \((4,0)\)

\(16+0+4D+0+0=0\)
\(4D=-16\)
\(D=-4\) ✓

שלב 3: הצבת \((0,2)\)

\(0+4+0+2E+0=0\)
\(2E=-4\)
\(E=-2\) ✓

המשוואה:
\(x^2+y^2-4x-2y=0\)

🎨 ויזואליזציה:

xy(0,0)(4,0)(0,2)מרכז

עובדה חשובה:

דרך 3 נקודות
(שאינן על ישר אחד)
עובר מעגל אחד ויחיד!

🎯 לזכור:

3 נקודות → 3 הצבות
↓
מערכת 3×3
↓
\(D, E, F\)
↓
משוואת מעגל!
שאלה 2
10.00 נק'

🔢 חישוב:

מצא מעגל העובר דרך \((1,0)\), \((0,1)\), \((1,1)\).

הסבר:
💡 הסבר:

מציאת מעגל דרך 3 נקודות! 🔢

פתרון שלב אחר שלב:

משוואה כללית:

\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)

הצבת \((1,0)\):

\(1^2+0^2+D \cdot 1+E \cdot 0+F=0\)

\(1+D+F=0\)

משוואה 1: \(D+F=-1\)

הצבת \((0,1)\):

\(0^2+1^2+D \cdot 0+E \cdot 1+F=0\)

\(1+E+F=0\)

משוואה 2: \(E+F=-1\)

הצבת \((1,1)\):

\(1^2+1^2+D \cdot 1+E \cdot 1+F=0\)

\(2+D+E+F=0\)

משוואה 3: \(D+E+F=-2\)

פתרון המערכת:

ממשוואה 1: \(D+F=-1\)
ממשוואה 2: \(E+F=-1\)

אז \(D=E\)

הצבה במשוואה 3:
\(D+D+F=-2\)
\(2D+F=-2\)

אבל \(D+F=-1\)
לכן \(D=-1\)

ולכן \(F=0\) ו-\(E=-1\)

רגע... נבדוק: \(D+E+F=-1+(-1)+0=-2\) ✓

בדיקה נוספת:

אם \(D=-1\), \(E=-1\), \(F=0\)

משוואה 1: \(-1+0=-1\) ✓
משוואה 2: \(-1+0=-1\) ✓
משוואה 3: \(-1+(-1)+0=-2\) ✓

אבל התשובה היא \(x^2+y^2-2x-2y+1=0\)
זה אומר \(D=-2\), \(E=-2\), \(F=1\)

נבדוק את זה:

בדיקת התשובה:

\(x^2+y^2-2x-2y+1=0\)

נקודה \((1,0)\):
\(1+0-2-0+1=0\) ✓

נקודה \((0,1)\):
\(0+1-0-2+1=0\) ✓

נקודה \((1,1)\):
\(1+1-2-2+1=-1 \neq 0\) ✗

יש בעיה!

תשובה לפי החישוב:
\(x^2+y^2-x-y=0\)
שאלה 3
10.00 נק'

⭕ מעגל עם קוטר:

אם \(AB\) קוטר במעגל, מה נכון?

הסבר:
💡 הסבר:

מעגל עם קוטר נתון! ⭕

קוטר במעגל:

הגדרות:

קוטר:
קטע שעובר דרך המרכז
ומחבר שתי נקודות על המעגל

רדיוס:
קטע מהמרכז לנקודה על המעגל

הקשר:
\(r = \frac{d}{2}\)

תכונות:

אם \(AB\) קוטר:

1️⃣ המרכז \(O\) באמצע \(AB\)
\(O = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)\)

2️⃣ הרדיוס:
\(r = \frac{|AB|}{2}\)

3️⃣ זווית להיקפית על קוטר:
תמיד \(90°\)!

דוגמה:

קוטר: \(A(2,1)\) עד \(B(6,5)\)

מרכז:
\(O = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (4,3)\)

רדיוס:
\(|AB| = \sqrt{(6-2)^2+(5-1)^2}\)
\(= \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)

\(r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\)

המרכז באמצע הקוטר!

ABמרכזrrC90°
שאלה 4
10.00 נק'

📐 קוטר נתון:

מצא משוואת מעגל שקוטרו מ-\((2,3)\) ל-\((6,7)\).

הסבר:
💡 הסבר:

מעגל עם קוטר נתון! 📐

פתרון:

1️⃣ מציאת מרכז:

קצוות הקוטר: \(A(2,3)\), \(B(6,7)\)

מרכז = אמצע הקטע:

\(O = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{3+7}{2}\right)\)

\(O = (4,5)\)

2️⃣ מציאת רדיוס:

אורך הקוטר:
\(d = \sqrt{(6-2)^2+(7-3)^2}\)

\(= \sqrt{16+16}\)

\(= \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)

רדיוס:
\(r = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\)

\(r^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8\)

3️⃣ משוואת המעגל:

מרכז: \((4,5)\)
\(r^2 = 8\)

משוואה:
\((x-4)^2+(y-5)^2=8\)

תשובה:
\((x-4)^2+(y-5)^2=8\)

בדיקה:

האם \((2,3)\) על המעגל?

\((2-4)^2+(3-5)^2 = 4+4 = 8\) ✓

האם \((6,7)\) על המעגל?

\((6-4)^2+(7-5)^2 = 4+4 = 8\) ✓
שאלה 5
10.00 נק'

🔺 משפט תאלס:

אם \(AB\) קוטר ו-\(C\) על המעגל, מה גודל \(\angle ACB\)?

הסבר:
💡 הסבר:

משפט תאלס! 🔺

משפט תאלס:

המשפט:

זווית להיקפית הנשענת על קוטר
היא זווית ישרה!

\(\angle ACB = 90°\)

תמיד! לא משנה איפה \(C\) על המעגל

הוכחה:

נקודות: \(A, B\) (קצוות קוטר), \(C\) (על המעגל)
מרכז: \(O\)

\(|OA| = |OB| = |OC| = r\)

משולש \(AOC\) שווה שוקיים
משולש \(BOC\) שווה שוקיים

סכום זוויות במשולש \(ABC\):
\(\angle ACB = 90°\)

יישום:

אם רוצים למצוא נקודה \(C\)
כך ש-\(\angle ACB = 90°\):

→ \(C\) על מעגל שקוטרו \(AB\)!

תמיד \(90°\)!

ABC90°OCגם 90°!
שאלה 6
10.00 נק'

⚠️ תנאי:

מתי אי אפשר למצוא מעגל דרך 3 נקודות?

הסבר:
💡 הסבר:

מתי אי אפשר למצוא מעגל? ⚠️

תנאי הכרחי:

3 נקודות על ישר:

אם 3 הנקודות קוליניאריות
(על ישר אחד)

❌ אי אפשר למצוא מעגל!

למה?
מעגל הוא עקום,
ישר הוא ישר...

בדיקה:

נקודות: \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\), \(C(x_3,y_3)\)

שיטה 1: שיפוע

אם \(m_{AB} = m_{BC}\)
→ על ישר אחד!

שיטה 2: דטרמיננטה

\(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0\)

→ קוליניאריות!

דוגמה:

נקודות: \((1,1)\), \((2,2)\), \((3,3)\)

שיפוע \(AB\):
\(m = \frac{2-1}{2-1} = 1\)

שיפוע \(BC\):
\(m = \frac{3-2}{3-2} = 1\)

אותו שיפוע! על ישר \(y=x\)

❌ אי אפשר מעגל!

תנאי: לא על ישר אחד!

ABC3 נקודות על ישר - אי אפשר מעגל!
שאלה 7
10.00 נק'

🎯 מקרה מיוחד:

אם קוטר אנכי (מקביל לציר Y), איפה המרכז?

הסבר:
💡 הסבר:

קוטר אנכי! 🎯

קוטר אנכי:

הגדרה:

קוטר אנכי = מקביל לציר Y

שני קצוות הקוטר:
אותו \(x\), \(y\) שונה

לדוגמה: \(A(3,1)\) ו-\(B(3,7)\)

מציאת מרכז:

קצוות: \(A(3,1)\), \(B(3,7)\)

מרכז:
\(O = \left(\frac{3+3}{2}, \frac{1+7}{2}\right)\)

\(O = (3,4)\)

רואים? \(x=3\) כמו הקוטר!

המרכז על ציר Y במקום \(x=3\)

כלל:

קוטר אנכי \(x=k\)
→ מרכז על הישר \(x=k\)

קוטר אופקי \(y=k\)
→ מרכז על הישר \(y=k\)

המרכז על ציר Y!

xyA(3,y₁)B(3,y₂)O(3,y₀)x = 3
שאלה 8
10.00 נק'

📐 יישום:

נקודות \(A(0,0)\), \(B(6,0)\), \(C(3,4)\). האם \(\angle ACB = 90°\)?

הסבר:
💡 הסבר:

בדיקת משפט תאלס! 📐

בדיקה:

1️⃣ המעגל:

אם \(AB\) קוטר:

מרכז: \(\left(\frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (3,0)\)

רדיוס: \(r = \frac{6}{2} = 3\)

משוואה: \((x-3)^2+y^2=9\)

2️⃣ בדיקת \(C\):

האם \((3,4)\) על המעגל?

\((3-3)^2+4^2 = 0+16 = 16\)

צריך להיות \(9\)

\(16 \neq 9\) ✗

\(C\) לא על המעגל!

3️⃣ בדיקה ישירה:

וקטורים:
\(\vec{CA} = (0-3, 0-4) = (-3,-4)\)
\(\vec{CB} = (6-3, 0-4) = (3,-4)\)

מכפלה סקלרית:
\(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-3)(3) + (-4)(-4)\)
\(= -9 + 16 = 7 \neq 0\)

לא ניצבים! \(\angle ACB \neq 90°\)

לא \(90°\)!

מסקנה:

\(C\) מחוץ למעגל
→ הזווית לא \(90°\)

משפט תאלס תקף רק
כש-\(C\) על המעגל!
שאלה 9
10.00 נק'

⚠️ טעות:

תלמיד אמר: אם 3 נקודות נותנות \(F=0\), אין מעגל. צודק?

הסבר:
💡 הסבר:

טעות נפוצה! ⚠️

❌ טעות!

\(F=0\) לא אומר שאין מעגל!

הבעיה:

מה שהתלמיד חשב:

\(F=0\) → אין מעגל

❌ זה לא נכון!

✓ הנכון:

משוואה: \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)

אם \(F=0\):
\(x^2+y^2+Dx+Ey=0\)

משמעות:
המעגל עובר דרך הראשית \((0,0)\)!

בדיקה: \(0^2+0^2+D \cdot 0+E \cdot 0=0\) ✓

דוגמה:

מעגל: \(x^2+y^2-4x-6y=0\)

כאן \(F=0\)

נמצא מרכז ורדיוס:
השלמה לריבוע:
\((x-2)^2-4+(y-3)^2-9=0\)
\((x-2)^2+(y-3)^2=13\)

מרכז: \((2,3)\), רדיוס: \(\sqrt{13}\)

יש מעגל! ✓

ועובר דרך \((0,0)\):
\(0+0-0-0=0\) ✓

הכלל:

\(F=0\) = מעגל דרך ראשית!

לא אומר שאין מעגל
זה מקרה מיוחד לגיטימי!
שאלה 10
10.00 נק'

📚 סיכום:

מה נכון למעגל דרך 3 נקודות?

הסבר:
📚 סיכום מבחן!

מעגל דרך 3 נקודות + קוטר! 📍⭕

🎯 עיקרי הפרק:

מעגל דרך 3 נקודות:

משוואה: \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)

1️⃣ הצב 3 נקודות
2️⃣ קבל מערכת 3×3
3️⃣ פתור ל-\(D, E, F\)
4️⃣ כתוב משוואה

תנאי: הנקודות לא על ישר אחד!

מעגל עם קוטר:

קוטר \(AB\):

• מרכז = אמצע \(AB\)
• \(r = \frac{|AB|}{2}\)
• משפט תאלס: זווית על קוטר = \(90°\)

משפט תאלס:

זווית להיקפית על קוטר
תמיד \(90°\)!

\(\angle ACB = 90°\) כש-\(AB\) קוטר ו-\(C\) על המעגל

טעויות נפוצות:

❌ לחשוב ש-\(F=0\) = אין מעגל
❌ לשכוח תנאי קוליניאריות
❌ לטעות בחישוב מרכז/רדיוס
✓ בדוק שהנקודות לא על ישר!

מקרים מיוחדים:

• \(F=0\) → מעגל דרך ראשית
• קוטר אנכי → מרכז על ישר אנכי
• קוטר אופקי → מרכז על ישר אופקי

סיימנו את כל סדרת המעגלים! 🎉
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 10 הושלמו