שיפוע תלול = שינוי מהיר ב-y.
ישר ג עולה הכי מהר.
תשובה: ישר ג

כדי למצוא את \(f(2)\), מחפשים את הנקודה שבה \(x=2\) ופוגשים את הגרף בגובה \(y=3\).

הגרף מייצג את הפונקציה \(y = x\).
כאשר \(x=1\), נקבל \(y = 1\).
הנקודה הכתומה נמצאת בדיוק על הגרף בגובה \(y=1\).
תשובה: \(f(1) = 1\)

הגרף הוא קו אופקי בגובה \(y=3\).
לכן לכל ערך של x, הפונקציה מחזירה 3.
תשובה: \(f(2) = 3\)

הגרף עובר בראשית: \((0,0)\). לכן \(f(0)=0\).

הנקודה מעל \(x=3\) נמצאת בגובה \(y=4\).

מ-\(x=-2\) עולים לגרף ורואים שהנקודה נמצאת ב-\(y=-2\).
תשובה: \(f(-2) = -2\)

הנקודה בגרף שבה \(x=1\) נמצאת בגובה \(y=2\).
לכן: \(f(1) = 2\)

בגרף \(y=-x\) כאשר \(x=-1\) מתקבל \(y=1\).

הנקודה בגרף שבה \(x=1.5\) היא נקודת המקסימום של הפרבולה.
זהו הקודקוד של הפרבולה, והוא נמצא בדיוק בגובה \(y=4\).
הקו האופקי מהנקודה הצהובה מגיע לסימון 4 על ציר y.
לכן: \(f(1.5) = 4\)

הנקודה בגרף שבה \(x=2\) נמצאת בגובה \(y=4\).
לכן: \(f(2) = 4\)

מעבירים קו אופקי בגובה \(y=2\) עד שפוגשים את הגרף.
מהנקודה מורידים קו אנכי לציר x.
הקו נוגע בציר x ב-\(x=1\).
לכן: \(x = 1\)

\(f(x)=0\) פירושו נקודת חיתוך עם ציר x.
הגרף חותך את ציר x ב-\(x=2\).
תשובה: \(x = 2\)

מעבירים קו אופקי בגובה \(y=4\).
הקו פוגש את הגרף ב-\(x=2\).
לכן: \(x = 2\)

הפונקציה היא \(y = x + 2\).
מעבירים קו אופקי בגובה \(y=4\).
פותרים: \(4 = x + 2\) → \(x = 2\)
תשובה: \(x = 2\)

מעבירים קו אופקי ב-\(y=-1\).
הקו חותך את הגרף ב-\(x=-1\).
תשובה: \(x = -1\)

הקו \(y=3\) חותך את הגרף ב-\(x=2\).
תשובה: \(x = 2\)

הגרף חותך את ציר x בראשית הצירים.
לכן: \(x = 0\)

הקו האופקי \(y=2\) חותך את הגרף ב-\(x=1.5\).
תשובה: \(x = 1.5\)

הקו האופקי \(y=2\) חותך את הגרף ב-שלוש נקודות.
לכן יש 3 ערכים שונים של x שעבורם \(f(x)=2\).
תשובה: 3 ערכים

הקו \(y=5\) חותך את הגרף ב-\(x=3\).
תשובה: \(x = 3\)

גרף שמתקדם כלפי מעלה = פונקציה עולה.
הגרף עולה לאורך כל התחום שלו.
תשובה: עולה בכל התחום

גרף שמתקדם כלפי מטה = פונקציה יורדת.
הגרף יורד לאורך כל התחום.
תשובה: יורדת בכל התחום

הגרף יורד מ-0 עד 1.5, ואז עולה מ-1.5 עד 3.
הקטע העולה הוא \([1.5, 3]\).
תשובה: \([1.5, 3]\)

גרף אופקי = פונקציה קבועה.
הערך לא משתנה, לכן הפונקציה לא עולה ולא יורדת.
תשובה: פונקציה קבועה

פרבולה הפוכה: עולה עד הקודקוד, ואז יורדת.
הקודקוד ב-\(x=0\), לכן הפונקציה יורדת מ-0 ואילך.
תשובה: \([0, \infty)\)

נחפש את הקטעים שבהם הגרף עולה (ממשמאל לימין):
קטע ראשון: מ-0 עד 1 - הגרף עולה עד למקסימום מקומי ראשון
קטע שני: מ-1 עד 1.5 - הגרף יורד עד למינימום מקומי
קטע שלישי: מ-1.5 עד 2.5 - הגרף עולה שוב עד למקסימום מקומי שני
קטע רביעי: מ-2.5 עד 3 - הגרף יורד
לכן הפונקציה עולה בשני קטעים נפרדים: [0, 1] ו-[1.5, 2.5].
תשובה סופית: [0, 1] ∪ [1.5, 2.5]

הנקודה שבה הפונקציה עוברת מעלייה לירידה נקראת מקסימום.
הקודקוד של הפרבולה נמצא ב-\(x=2\).
תשובה: \(x = 2\)

נקודת המקסימום היא הנקודה הגבוהה ביותר בגרף.
זו הנקודה שבה הפונקציה מפסיקה לעלות ומתחילה לרדת.
בפרבולה הפוכה (פתוחה כלפי מטה), זו הנקודה בקודקוד - הנקודה העליונה.
הנקודה מסומנת באדום בדיוק על הגרף, ונמצאת ב-x=2.
הקו המקווקו האנכי מראה בבירור שזה ב-x=2.
תשובה סופית: x = 2

בקטע [1,2] הגרף מתקדם כלפי מעלה.
תשובה: כן, עולה

גרף תלול = שינוי מהיר.
הקטע השני תלול יותר, לכן הפונקציה יורדת מהר יותר.
תשובה: \([1.5, 3]\)

הגרף עולה, אז יורד, אז עולה שוב, אז יורד שוב.
קטעי העלייה הם:
1️⃣ קטע ראשון: מתחילת הגרף עד הנקודה הגבוהה הראשונה (בערך x≈1.3)
2️⃣ קטע שני: מהנקודה הנמוכה הראשונה עד הנקודה הגבוהה השנייה (בערך 1.7 < x < 2.3)
3️⃣ קטע שלישי: מהנקודה הנמוכה השנייה עד סוף הגרף (בערך x≈3)
 

רויתמטיקה – מרכז למידה | OpenBook קורסים אונליין

© רויתמטיקה | OpenBook

סה"כ 3 קטעים שבהם הפונקציה עולה.
תשובה: 3 קטעי עלייה

מקסימום = הנקודה הגבוהה ביותר על הגרף.
כאשר אנחנו מסתכלים על הפרבולה ההפוכה, אנחנו רואים שהקודקוד שלה נמצא בנקודה הגבוהה ביותר.
הקודקוד נמצא בדיוק מעל הערך x=2 על ציר ה-X.
זו נקודת המקסימום של הפונקציה.
תשובה סופית: x = 2

מינימום = הנקודה הנמוכה ביותר על הגרף.
בפרבולה הזקופה (פתוחה כלפי מעלה), הקודקוד נמצא בנקודה הנמוכה ביותר.
הקודקוד נמצא בדיוק מעל הערך x=1 על ציר ה-X.
זו נקודת המינימום של הפונקציה.
תשובה סופית: x = 1

כדי למצוא את הערך המקסימלי, אנחנו מחפשים את הנקודה הגבוהה ביותר על הגרף.
הקו המקווקו האדום מראה לנו את גובה הנקודה הכי גבוהה - והוא נמצא בדיוק על y=4.
הנקודה הגבוהה ביותר בגרף (הקודקוד של הפרבולה) נמצאת בגובה y=4.
זהו הערך המקסימלי של הפונקציה.
תשובה סופית: y = 4

נקודת מינימום היא נקודה שבה הפונקציה מגיעה לערך הנמוך ביותר באזור מסוים.
בגרף הזה, אנחנו רואים שהפונקציה יורדת ואז עולה - יוצרת "עמקים".
בכל "עמק" יש נקודת מינימום מקומית.
 

רויתמטיקה – מרכז למידה | OpenBook קורסים אונליין

© רויתמטיקה | OpenBook

אנחנו סופרים ומוצאים שתי נקודות מינימום:
1️⃣ מינימום ראשון בצד שמאל
2️⃣ מינימום שני בצד ימין
תשובה סופית: 2 נקודות מינימום

הגרף מראה ישר שעולה כל הזמן מימין לשמאל.
החץ בקצה הימני מראה שהישר ממשיך לעלות גם מחוץ לתמונה - הפונקציה ממשיכה ללא הגבלה.
כלומר, ככל ש-x גדל, גם y ממשיך לגדול ללא הגבלה (אינסוף).
פונקציה שעולה ללא הגבלה לא יכולה להגיע לנקודת מקסימום - כי אין נקודה "הכי גבוהה".
תשובה סופית: לא, הפונקציה עולה ללא הגבלה

זו פרבולה מהצורה y = x² + 1.
כדי למצוא את המינימום, אנחנו חושבים: מתי x² הכי קטן?
התשובה: כאשר x = 0, כי x² תמיד חיובי או אפס.
כאשר x = 0, אז y = 0² + 1 = 0 + 1 = 1.
זהו הערך הנמוך ביותר שהפונקציה יכולה להגיע אליו.
תשובה סופית: y = 1

הגרף מראה לנו פונקציה שמתנהגת בצורה מעניינת:
מהצד השמאלי, הפונקציה עולה עד נקודה מסוימת.
אחרי הנקודה הזו, הפונקציה מתחילה לרדת.
הנקודה שבה הפונקציה "מחליטה" להפסיק לעלות ולהתחיל לרדת נקראת נקודת השיא (מקסימום).
הנקודה הזו מסומנת במעגל אדום, והיא נמצאת בדיוק מעל x=2.
תשובה סופית: x = 2

זו פרבולה הפוכה (פתוחה כלפי מטה) מהצורה f(x) = -x² + 4.
הקודקוד של הפרבולה נמצא כאשר x = 0, ואז f(0) = -0² + 4 = 4.
זהו הערך המקסימלי של הפונקציה.
כיוון שהפרבולה פתוחה כלפי מטה, הפונקציה יורדת משני הצדדים של הקודקוד.
כלומר, הפונקציה יכולה להגיע לכל ערך קטן מ-4 או שווה ל-4.
תשובה סופית: \((-\infty, 4]\)

נקודת קיצון היא נקודה שבה הפונקציה מגיעה למקסימום מקומי או למינימום מקומי.
בגרף הזה, אנחנו רואים גל עם "פסגות" ו"עמקים".
חשוב: נקודת קיצון חייבת להיות נקודה שבה הפונקציה עוברת מעלייה לירידה (מקסימום) או מירידה לעלייה (מינימום).
 

רויתמטיקה – מרכז למידה | OpenBook קורסים אונליין

© רויתמטיקה | OpenBook

ניתוח הגרף:
↗ עולה → 🔴 MAX 1 → ↘ יורד → 🟢 MIN → ↗ עולה → 🔴 MAX 2 → ↘ יורד

🔴 מקסימומים מקומיים (נקודות אדומות) - יש 2 כאלה
🟢 מינימום מקומי (נקודה ירוקה) - יש 1 כזה

סה"כ: 2 מקסימומים + 1 מינימום = 3 נקודות קיצון.
תשובה סופית: 3 נקודות קיצון

הגרף מראה פרבולה זקופה (פתוחה כלפי מעלה) עם קודקוד בנקודה הנמוכה ביותר.
נקודת המינימום מסומנת במעגל ירוק עם הכיתוב MIN.
הנקודה הזו נמצאת בדיוק במרכז מערכת הצירים - בראשית הצירים.
ראשית הצירים היא הנקודה שבה x = 0 ו-y = 0.
לכן, נקודת המינימום נמצאת ב-x = 0.
תשובה סופית: x = 0

הגרף מראה פרבולה זקופה (פתוחה כלפי מעלה) עם קודקוד בנקודה הנמוכה ביותר.
נקודת המינימום מסומנת במעגל ירוק עם הכיתוב MIN.
הנקודה הזו נמצאת בדיוק במרכז מערכת הצירים - בראשית הצירים.
ראשית הצירים היא הנקודה שבה x = 0.
לכן, נקודת המינימום נמצאת ב-x = 0.
תשובה סופית: x = 0