אורח מצב צפייה מבחן: קדם אנליזה - הבנת גרפים (ללא גזירה) נקודות קיצון

קדם אנליזה - הבנת גרפים (ללא גזירה) נקודות קיצון

מבחן קדם אנליזה נקודות קיצון - מקסימום ומינימום מקומי וגלובלי, זיהוי מגרף, הבנה ללא נגזרות.

מקסימום/מינימום מקומי וגלובלי
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 10
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

🔝 מקסימום מקומי:

מהי נקודת מקסימום מקומי?

הסבר:
🔝 מקסימום מקומי

הגדרה:

נקודת מקסימום מקומי:

נקודה \((x_0, f(x_0))\) כך ש-\(f(x_0)\) הוא הערך הגבוה ביותר "בסביבה"

לא בהכרח הכי גבוה בכל הגרף!

איך זה נראה?

כמו "פסגה" 🏔️ בגרף

הפונקציה עולה עד הנקודה ↗
מגיעה לשיא 🔝
ואז יורדת ↘

דוגמה:

בגרף פרבולה הפוכה \(f(x) = -x^2\)

ב-\(x=0\): מקסימום מקומי

\(f(0) = 0\)

זו הנקודה הכי גבוהה!

למה "מקומי"?

כי זה הגבוה ביותר באזור
לא בהכרח בכל הגרף
שאלה 2
10.00 נק'

🔻 מינימום מקומי:

מהי נקודת מינימום מקומי?

הסבר:
🔻 מינימום מקומי

הגדרה:

נקודת מינימום מקומי:

נקודה \((x_0, f(x_0))\) כך ש-\(f(x_0)\) הוא הערך הנמוך ביותר "בסביבה"

לא בהכרח הכי נמוך בכל הגרף!

איך זה נראה?

כמו "עמק" 🏞️ בגרף

הפונקציה יורדת עד הנקודה ↘
מגיעה לשפל 🔻
ואז עולה ↗

דוגמה:

בגרף פרבולה \(f(x) = x^2\)

ב-\(x=0\): מינימום מקומי

\(f(0) = 0\)

זו הנקודה הכי נמוכה!

למה "מקומי"?

כי זה הנמוך ביותר באזור
לא בהכרח בכל הגרף
שאלה 3
10.00 נק'

🌍 מקסימום גלובלי:

מה ההבדל בין מקסימום מקומי למקסימום גלובלי?

הסבר:
🌍 מקסימום גלובלי

מקסימום גלובלי:

הנקודה הכי גבוהה בכל הגרף!

אין נקודה גבוהה יותר בשום מקום

נקרא גם: מקסימום אבסולוטי

מקסימום מקומי:

הנקודה הכי גבוהה באזור

יכולות להיות נקודות גבוהות יותר במקומות אחרים

דוגמה:

הר אוורסט 🏔️:
• מקסימום גלובלי בעולם
• ההר הכי גבוה!

הר מירון 🗻:
• מקסימום מקומי בישראל
• הכי גבוה באזור
• אבל לא הכי גבוה בעולם

שים לב:

מקסימום גלובלי הוא גם מקסימום מקומי!

אבל מקסימום מקומי לא בהכרח גלובלי
שאלה 4
10.00 נק'

📊 זיהוי מגרף:

איך מזהים נקודת מקסימום מקומי מגרף?

הסבר:
📊 זיהוי מקסימום

הכלל:

נקודת מקסימום מקומי:

לפני הנקודה: עולה ↗
בנקודה: שיא 🔝
אחרי הנקודה: יורדת ↘

איך בודקים?

1️⃣ מסתכלים משמאל לנקודה
→ הגרף עולה? ↗

2️⃣ מסתכלים מימין לנקודה
→ הגרף יורד? ↘

3️⃣ שניהם נכונים?
→ זו נקודת מקסימום! 🔝

דוגמה:

גרף:
עולה בקטע \((-\infty, 3)\)
יורדת בקטע \((3, \infty)\)

ב-\(x=3\): מקסימום מקומי ✓
שאלה 5
10.00 נק'

📊 זיהוי מגרף:

איך מזהים נקודת מינימום מקומי מגרף?

הסבר:
📊 זיהוי מינימום

הכלל:

נקודת מינימום מקומי:

לפני הנקודה: יורדת ↘
בנקודה: שפל 🔻
אחרי הנקודה: עולה ↗

איך בודקים?

1️⃣ מסתכלים משמאל לנקודה
→ הגרף יורד? ↘

2️⃣ מסתכלים מימין לנקודה
→ הגרף עולה? ↗

3️⃣ שניהם נכונים?
→ זו נקודת מינימום! 🔻

דוגמה:

גרף:
יורדת בקטע \((-\infty, -2)\)
עולה בקטע \((-2, \infty)\)

ב-\(x=-2\): מינימום מקומי ✓
שאלה 6
10.00 נק'

🔢 כמות נקודות:

כמה נקודות מקסימום מקומי יכולות להיות לפונקציה?

הסבר:
🔢 כמות נקודות קיצון

התשובה:

יכולות להיות כמה שרוצים!

• אפס נקודות קיצון
• נקודה אחת
• שתי נקודות
• עשר נקודות
• אינסוף נקודות!

דוגמאות:

אפס נקודות:

\(f(x) = x\) (קו ישר)

רק עולה, אין קיצון

נקודה אחת:

\(f(x) = x^2\) (פרבולה)

מינימום אחד ב-\(x=0\)

שתי נקודות:

\(f(x) = x^3 - 3x\)

מקסימום אחד ומינימום אחד

אינסוף נקודות:

\(f(x) = \sin(x)\)

מקסימום ומינימום כל \(2\pi\)
שאלה 7
10.00 נק'

📍 נקודה vs ערך:

מה ההבדל בין "נקודת מקסימום" ל"ערך מקסימלי"?

הסבר:
📍 נקודה vs ערך

נקודת מקסימום:

זוג מסודר: \((x_0, f(x_0))\)

כולל את ה-\(x\) וגם את ה-\(y\)

דוגמה: \((3, 5)\)

ערך מקסימלי:

רק המספר: \(f(x_0)\)

רק ה-\(y\) (הגובה)

דוגמה: \(5\)

דוגמה מלאה:

\(f(x) = -x^2 + 6x - 5\)

יש מקסימום ב-\(x=3\)
\(f(3) = -9 + 18 - 5 = 4\)

נקודת מקסימום: \((3, 4)\)
ערך מקסימלי: \(4\)

בשפה יומיומית:

נקודת מקסימום = "איפה ומה"
ערך מקסימלי = "כמה"
שאלה 8
10.00 נק'

🎯 נקודת קצה:

האם קצה תחום יכול להיות נקודת קיצון?

הסבר:
🎯 נקודת קצה

התשובה: כן!

קצה תחום יכול להיות קיצון גלובלי

למרות שהמונוטוניות לא משתנה שם

דוגמה:

\(f(x) = x\) בתחום \([0, 5]\)

הפונקציה רק עולה ↗

אבל:
• ב-\(x=0\): מינימום גלובלי (\(f(0)=0\))
• ב-\(x=5\): מקסימום גלובלי (\(f(5)=5\))

למה?

כי אלו הערכים הקיצוניים בתחום!

הכי נמוך: \(0\)
הכי גבוה: \(5\)

שים לב:

אלו לא נקודות קיצון מקומיות
(כי המונוטוניות לא משתנה)

אבל הן קיצון גלובלי בתחום!
שאלה 9
10.00 נק'

⚠️ טעות נפוצה:

תלמיד אמר: "יש מקסימום ב-\(x=2\) כי \(f(2)=10\) והוא חיובי". מה הטעות?

הסבר:
❌ טעות נפוצה!

לא לבלבל קיצון עם סימן!

הבעיה:

מה שהתלמיד חשב:

"\(f(2)=10\) חיובי
חיובי = גבוה
אז זה מקסימום"

❌ זה לא נכון!

✓ הנכון:

מקסימום = הכי גבוה באזור

לא משנה אם חיובי או שלילי!

צריך לבדוק מונוטוניות:
• עולה לפני?
• יורדת אחרי?

דוגמה נגדית:

\(f(x) = -x^2 - 5\)

יש מקסימום ב-\(x=0\)
\(f(0) = -5\)

הערך שלילי! ✓
אבל עדיין מקסימום! ✓

כי זו הנקודה הכי גבוהה בגרף

זכור:

קיצון = מיקום יחסי
סימן = מיקום ביחס לציר \(x\)
שאלה 10
10.00 נק'

📚 סיכום:

איך מוצאים נקודות קיצון מגרף?

הסבר:
📚 סיכום - נקודות קיצון

🔝 מקסימום מקומי:

• הכי גבוה באזור
• עלייה → ירידה
• "פסגה" בגרף 🏔️

🔻 מינימום מקומי:

• הכי נמוך באזור
• ירידה → עלייה
• "עמק" בגרף 🏞️

🌍 קיצון גלובלי:

• הכי גבוה/נמוך בכל הגרף
• יכול להיות גם בקצה תחום

איך מוצאים?

1️⃣ בודקים מונוטוניות
2️⃣ מחפשים שינויים:
• ↗→↘ = מקסימום
• ↘→↗ = מינימום
3️⃣ בודקים גם קצוות תחום

⚠️ זכור:

קיצון ≠ סימן!

• מקסימום יכול להיות שלילי
• מינימום יכול להיות חיובי

חשוב: מיקום יחסי באזור!
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 10 הושלמו