אורח מצב צפייה מבחן: קדם אנליזה - הבנת גרפים (ללא גזירה) אסימפטוטות אנכיות

קדם אנליזה - הבנת גרפים (ללא גזירה) אסימפטוטות אנכיות

מבחן קדם אנליזה אסימפטוטות אנכיות - זיהוי אסימפטוטה אנכית מגרף, התנהגות הפונקציה ליד האסימפטוטה.

זיהוי והתנהגות ליד אסימפטוטה
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 10
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

⬆️ אסימפטוטה אנכית:

מהי אסימפטוטה אנכית?

הסבר:
⬆️ אסימפטוטה אנכית

הגדרה:

אסימפטוטה אנכית = קו אנכי \(x=a\)

הגרף מתקרב לקו הזה
אבל לעולם לא נוגע בו!

הפונקציה לא מוגדרת ב-\(x=a\)

איך זה נראה?

קו אנכי מקווקו | | |

הגרף מתקרב מאוד
אבל לא חותך!

הגרף "בורח" לאינסוף ⬆️⬇️

דוגמה:

\(f(x) = \\frac{1}{x}\)

אסימפטוטה אנכית: \(x=0\)

כי \(f(0)\) לא מוגדר!

ככל שמתקרבים ל-\(x=0\)
הגרף "בורח" למעלה או למטה
שאלה 2
10.00 נק'

🔍 מקור האסימפטוטה:

מתי יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית ב-\(x=a\)?

הסבר:
🔍 מתי יש אסימפטוטה?

תנאי:

1️⃣ הפונקציה לא מוגדרת ב-\(x=a\)

2️⃣ ככל שמתקרבים ל-\(x=a\)
הגרף "בורח" ל-\(\infty\) או \(-\infty\)

למה זה קורה?

בדרך כלל: חילוק באפס!

דוגמה 1:

\(f(x) = \\frac{1}{x-3}\)

ב-\(x=3\): \(\\frac{1}{0}\) לא מוגדר!

אסימפטוטה: \(x=3\) ✓

דוגמה 2:

\(f(x) = \\frac{x+1}{(x-2)(x+4)}\)

ב-\(x=2\): מכנה = 0
ב-\(x=-4\): מכנה = 0

שתי אסימפטוטות:
\(x=2\) ו-\(x=-4\) ✓
שאלה 3
10.00 נק'

📊 התנהגות:

מה קורה לגרף ככל שמתקרבים לאסימפטוטה אנכית?

הסבר:
📊 התנהגות ליד אסימפטוטה

מה קורה?

ככל שמתקרבים לאסימפטוטה

הגרף "בורח":
• למעלה ⬆️ (ל-\(+\infty\))
• או למטה ⬇️ (ל-\(-\infty\))

דוגמה חזותית:

\(f(x) = \\frac{1}{x}\) ליד \(x=0\):

כש-\(x\) מתקרב ל-0 מימין:
\(x=0.1 \Rightarrow f(x)=10\)
\(x=0.01 \Rightarrow f(x)=100\)
\(x=0.001 \Rightarrow f(x)=1000\)

הגרף עולה ל-\(\infty\) ⬆️

כש-\(x\) מתקרב ל-0 משמאל:
\(x=-0.1 \Rightarrow f(x)=-10\)
\(x=-0.01 \Rightarrow f(x)=-100\)

הגרף יורד ל-\(-\infty\) ⬇️

חשוב!

הגרף לעולם לא נוגע באסימפטוטה!

רק מתקרב אינסופית
שאלה 4
10.00 נק'

👁️ זיהוי מגרף:

איך מזהים אסימפטוטה אנכית מגרף?

הסבר:
👁️ זיהוי אסימפטוטה מגרף

סימנים לזיהוי:

1️⃣ יש קו אנכי מקווקו | | |

2️⃣ הגרף מתקרב לקו הזה

3️⃣ הגרף "בורח" למעלה או למטה

4️⃣ הגרף לא נוגע בקו!

איך לבדוק?

מסתכלים על הגרף:

• יש מקום שהגרף "קרוע"? ✂️
• הגרף "בורח" למעלה/למטה? ⬆️⬇️
• יש קו אנכי מצויר? | | |

זו אסימפטוטה! ✓

דוגמה:

גרף של \(\\frac{1}{x-2}\):

• יש קו מקווקו ב-\(x=2\)
• הגרף מתקרב משני הצדדים
• הגרף בורח ל-\(\pm\infty\)

אסימפטוטה: \(x=2\) ✓
שאלה 5
10.00 נק'

🔢 כמות:

כמה אסימפטוטות אנכיות יכולות להיות לפונקציה?

הסבר:
🔢 כמות אסימפטוטות

התשובה:

יכולות להיות כמה שרוצים!

• אפס
• אחת
• שתיים
• אינסוף!

דוגמאות:

אפס אסימפטוטות:

\(f(x) = x^2\)

מוגדרת לכל \(x\)
אין חילוק באפס

אין אסימפטוטות אנכיות ✓

אסימפטוטה אחת:

\(f(x) = \\frac{1}{x}\)

אסימפטוטה: \(x=0\) ✓

שתי אסימפטוטות:

\(f(x) = \\frac{1}{x^2-4}\)

\(x^2-4 = (x-2)(x+2)\)

אסימפטוטות:
\(x=2\) ו-\(x=-2\) ✓

אינסוף אסימפטוטות:

\(f(x) = \\tan(x)\)

אסימפטוטות:
\(x = \\frac{\pi}{2} + n\pi\)

לכל \(n\) שלם!
שאלה 6
10.00 נק'

↔️ שני צדדים:

האם ההתנהגות משני צדי האסימפטוטה תמיד זהה?

הסבר:
↔️ שני צדדי האסימפטוטה

התשובה: לא!

ההתנהגות יכולה להיות שונה!

• מימין: ⬆️ (\(+\infty\))
• משמאל: ⬇️ (\(-\infty\))

או להפך!

דוגמה 1:

\(f(x) = \\frac{1}{x}\) ליד \(x=0\):

מימין (\(x>0\)):
\(\\frac{1}{0.01} = 100\) → \(+\infty\) ⬆️

משמאל (\(x<0\)):
\(\\frac{1}{-0.01} = -100\) → \(-\infty\) ⬇️

שונה! ✓

דוגמה 2:

\(f(x) = \\frac{1}{x^2}\) ליד \(x=0\):

מימין: \(\\frac{1}{0.01^2}\) → \(+\infty\) ⬆️

משמאל: \(\\frac{1}{(-0.01)^2}\) → \(+\infty\) ⬆️

זהה! ✓

(כי \(x^2\) תמיד חיובי)
שאלה 7
10.00 נק'

🔍 מציאה:

איפה האסימפטוטה האנכית של \(f(x) = \\frac{2x+1}{x-5}\)?

הסבר:
🔍 מציאת אסימפטוטות

הכלל:

לפונקציה \(f(x) = \\frac{g(x)}{h(x)}\)

אסימפטוטות אנכיות:
איפה ש-\(h(x) = 0\)

(המכנה מתאפס!)

פתרון:

\(f(x) = \\frac{2x+1}{x-5}\)

מכנה: \(x-5\)

מתי \(x-5=0\)?

\(x = 5\) ✓

מסקנה:

אסימפטוטה אנכית: \(x=5\)

בדיקה:

\(f(5) = \\frac{2(5)+1}{5-5} = \\frac{11}{0}\)

לא מוגדר! ✓

אז באמת יש אסימפטוטה!
שאלה 8
10.00 נק'

🕳️ חור:

מתי יש "חור" בגרף ולא אסימפטוטה?

הסבר:
🕳️ חור בגרף

מתי יש חור?

כאשר ניתן לצמצם!

גם מונה וגם מכנה
מתאפסים באותו \(x\)

זה נקרא: אי-רציפות סלידה

דוגמה:

\(f(x) = \\frac{x^2-4}{x-2}\)

ב-\(x=2\):

מונה: \(2^2-4 = 0\) ✓
מכנה: \(2-2 = 0\) ✓

שניהם אפס!

נצמצם:
\(f(x) = \\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2\)

זה קו ישר עם חור ב-\(x=2\)!

לא אסימפטוטה! ✗

השוואה:

אסימפטוטה:
רק מכנה = 0
הגרף "בורח" ⬆️⬇️

חור:
מונה ומכנה = 0
אפשר לצמצם
נקודה חסרה בלבד ⚪
שאלה 9
10.00 נק'

⚠️ טעות נפוצה:

תלמיד אמר: "ב-\(\\frac{x+3}{x-1}\) יש אסימפטוטה ב-\(x=-3\)". מה הטעות?

הסבר:
❌ טעות נפוצה!

לא לבלבל מונה עם מכנה!

הבעיה:

מה שהתלמיד עשה:

\(f(x) = \\frac{x+3}{x-1}\)

אפס את המונה:
\(x+3=0 \Rightarrow x=-3\)

חשב שזו אסימפטוטה ❌

✓ הנכון:

אסימפטוטה אנכית:
איפה ש-מכנה = 0

\(x-1=0 \Rightarrow x=1\)

אסימפטוטה: \(x=1\) ✓

מה קורה ב-\(x=-3\)?

\(f(-3) = \\frac{-3+3}{-3-1} = \\frac{0}{-4} = 0\)

זו נקודת אפס!
חיתוך עם ציר \(x\)

לא אסימפטוטה!

זכור:

מונה = 0 → נקודת אפס
מכנה = 0 → אסימפטוטה (או חור)
שאלה 10
10.00 נק'

📚 סיכום:

איך מוצאים אסימפטוטות אנכיות?

הסבר:
📚 סיכום - אסימפטוטות אנכיות

⬆️ מהי?

קו אנכי \(x=a\)
שהגרף מתקרב אליו
אבל לא נוגע!

🔍 איך מוצאים?

לפונקציה \(f(x) = \\frac{g(x)}{h(x)}\):

1️⃣ מאפסים את המכנה: \(h(x)=0\)
2️⃣ בודקים שהמונה לא מתאפס
3️⃣ אם רק מכנה = 0 → אסימפטוטה ✓
4️⃣ אם גם מונה = 0 → חור, לא אסימפטוטה

📊 איך זה נראה?

• קו מקווקו אנכי | | |
• הגרף "בורח" ⬆️ או ⬇️
• הגרף לא נוגע בקו

🔢 כמה?

יכולות להיות:
0, 1, 2, ... או אינסוף

דוגמאות:

\(\\frac{1}{x}\) → \(x=0\)

\(\\frac{1}{x-3}\) → \(x=3\)

\(\\frac{1}{(x-1)(x+2)}\) → \(x=1, x=-2\)

⚠️ זכור:

מכנה = 0 → אסימפטוטה
מונה = 0 → נקודת אפס

לא לבלבל!
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 10 הושלמו