אורח מצב צפייה מבחן: קדם אנליזה - הבנת גרפים (ללא גזירה) אסימפטוטות אופקיות

קדם אנליזה - הבנת גרפים (ללא גזירה) אסימפטוטות אופקיות

מבחן קדם אנליזה אסימפטוטות אופקיות - גבול באינסוף, התנהגות בקצוות, זיהוי מגרף. הבנה אינטואיטיבית.

גבול באינסוף (אינטואיטיבי)
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 10
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

➡️ אסימפטוטה אופקית:

מהי אסימפטוטה אופקית?

הסבר:
➡️ אסימפטוטה אופקית

הגדרה:

אסימפטוטה אופקית = קו אופקי \(y=b\)

הגרף מתקרב לקו הזה
כאשר \(x \to \infty\) או \(x \to -\infty\)

ה"התנהגות בקצוות"

איך זה נראה?

קו אופקי מקווקו ———

כשהולכים ימינה מאוד →
או שמאלה מאוד ←

הגרף מתקרב לקו

דוגמה:

\(f(x) = \\frac{1}{x}\)

כש-\(x\) הולך לאינסוף:
\(\\frac{1}{1000} = 0.001\)
\(\\frac{1}{10000} = 0.0001\)

מתקרב ל-\(y=0\)!

אסימפטוטה אופקית: \(y=0\) ✓

ההבדל מאסימפטוטה אנכית:

אנכית: קו אנכי | (\(x=a\))
אופקית: קו אופקי — (\(y=b\))
שאלה 2
10.00 נק'

🔍 מתי יש?

מתי יש לפונקציה אסימפטוטה אופקית?

הסבר:
🔍 מתי יש אסימפטוטה אופקית?

תנאי:

כאשר \(x \to \infty\) (או \(-\infty\))

הפונקציה מתקרבת למספר קבוע

לא גדלה/קטנה לאינסוף

דוגמאות:

יש אסימפטוטה:

\(f(x) = \\frac{1}{x}\)

כש-\(x \to \infty\):
\(\\frac{1}{x} \to 0\)

אסימפטוטה: \(y=0\) ✓

יש אסימפטוטה:

\(f(x) = \\frac{2x+1}{x+3}\)

כש-\(x \to \infty\):
\(\\frac{2x}{x} \to 2\)

אסימפטוטה: \(y=2\) ✓

אין אסימפטוטה:

\(f(x) = x^2\)

כש-\(x \to \infty\):
\(x^2 \to \infty\)

לא מתקרב למספר קבוע!
אין אסימפטוטה אופקית ✗
שאלה 3
10.00 נק'

∞ התנהגות באינסוף:

מה המשמעות של \(\\lim_{x \\to \\infty} f(x) = 3\)?

הסבר:
∞ גבול באינסוף

המשמעות:

\(\\lim_{x \\to \\infty} f(x) = 3\)

אומר:
כש-\(x\) הולך לאינסוף (\(\to \infty\))
הפונקציה מתקרבת ל-3

אסימפטוטה אופקית: \(y=3\)

איך זה נראה?

הולכים ימינה על הגרף →→→

ככל שמתרחקים ימינה
הגרף מתקרב ל-\(y=3\)

דוגמה מספרית:

\(f(x) = 3 + \\frac{1}{x}\)

\(x=10 \Rightarrow f(10) = 3.1\)
\(x=100 \Rightarrow f(100) = 3.01\)
\(x=1000 \Rightarrow f(1000) = 3.001\)

מתקרב ל-\(y=3\) ✓

שים לב:

הגרף יכול לחתוך את האסימפטוטה!
(בניגוד לאנכית)
שאלה 4
10.00 נק'

↔️ שני כיוונים:

האם האסימפטוטה ב-\(x \to \infty\) תמיד זהה לזו ב-\(x \to -\infty\)?

הסבר:
↔️ שתי אסימפטוטות

התשובה: לא!

יכולות להיות אסימפטוטות שונות:

ב-\(x \to \infty\): \(y=a\)
ב-\(x \to -\infty\): \(y=b\)

כאשר \(a \neq b\)

דוגמה:

\(f(x) = \\frac{x}{|x|}\)

כש-\(x \to +\infty\) (חיובי):
\(\\frac{x}{x} = 1\)
אסימפטוטה: \(y=1\)

כש-\(x \to -\infty\) (שלילי):
\(\\frac{x}{-x} = -1\)
אסימפטוטה: \(y=-1\)

שתי אסימפטוטות שונות! ✓

מקרה רגיל:

ברוב הפונקציות הרציונליות
שתי האסימפטוטות זהות

אבל זה לא חובה!
שאלה 5
10.00 נק'

👁️ זיהוי מגרף:

איך מזהים אסימפטוטה אופקית מגרף?

הסבר:
👁️ זיהוי אסימפטוטה מגרף

איך מזהים?

1️⃣ מסתכלים ימינה מאוד →
לאיזה גובה הגרף מתקרב?

2️⃣ מסתכלים שמאלה מאוד ←
לאיזה גובה הגרף מתקרב?

3️⃣ יש קו אופקי מקווקו? ———

זו האסימפטוטה!

סימנים:

• קו אופקי מקווקו ———
• הגרף מתקרב לקו הזה
• בקצוות הגרף (ימין/שמאל)

דוגמה:

גרף של \(\\frac{3x}{x+1}\):

בקצה ימין: מתקרב ל-\(y=3\)
בקצה שמאל: מתקרב ל-\(y=3\)

יש קו מקווקו ב-\(y=3\)

אסימפטוטה: \(y=3\) ✓

טיפ:

אסימפטוטה אופקית = "התנהגות בקצוות"
שאלה 6
10.00 נק'

🔍 מציאה:

מה האסימפטוטה האופקית של \(f(x) = \\frac{3x+2}{x-1}\)?

הסבר:
🔍 מעלות שוות

הכלל:

כאשר מעלת המונה = מעלת המכנה

\(f(x) = \\frac{a_n x^n + ...}{b_n x^n + ...}\)

אסימפטוטה: \(y = \\frac{a_n}{b_n}\)

(יחס המקדמים המובילים!)

פתרון:

\(f(x) = \\frac{3x+2}{x-1}\)

מעלת מונה: 1
מעלת מכנה: 1

שוות! ✓

מקדם מוביל במונה: 3
מקדם מוביל במכנה: 1

אסימפטוטה: \(y = \\frac{3}{1} = 3\)

בדיקה:

כש-\(x\) גדול מאוד:

\(\\frac{3x+2}{x-1} \\approx \\frac{3x}{x} = 3\)

מתקרב ל-3 ✓
שאלה 7
10.00 נק'

🔍 מציאה:

מה האסימפטוטה של \(f(x) = \\frac{5}{x^2+1}\)?

הסבר:
🔍 מונה קטן ממכנה

הכלל:

כאשר מעלת המונה < מעלת המכנה

\(f(x) = \\frac{\\text{מעלה } n}{\\text{מעלה } m}\)

כאשר \(n < m\)

אסימפטוטה: \(y = 0\)

(ציר \(x\) הוא האסימפטוטה!)

פתרון:

\(f(x) = \\frac{5}{x^2+1}\)

מעלת מונה: 0 (קבוע)
מעלת מכנה: 2

\(0 < 2\) ✓

אסימפטוטה: \(y=0\)

למה?

כש-\(x\) גדול מאוד:

\(\\frac{5}{x^2+1} \\approx \\frac{5}{x^2}\)

ככל ש-\(x\) גדל, המכנה גדל
והשבר קטן

\(\\frac{5}{x^2} \to 0\)

מתקרב לאפס! ✓
שאלה 8
10.00 נק'

📈 מונה גדול:

מה קורה כאשר מעלת המונה > מעלת המכנה?

הסבר:
📈 מונה גדול ממכנה

הכלל:

כאשר מעלת המונה > מעלת המכנה

\(f(x) = \\frac{\\text{מעלה } n}{\\text{מעלה } m}\)

כאשר \(n > m\)

אין אסימפטוטה אופקית!

הגרף "בורח" ל-\(\pm\infty\)

דוגמה:

\(f(x) = \\frac{x^2}{x+1}\)

מעלת מונה: 2
מעלת מכנה: 1

\(2 > 1\) ✓

אין אסימפטוטה אופקית!

למה?

כש-\(x \to \infty\):

\(\\frac{x^2}{x+1} \\approx \\frac{x^2}{x} = x \to \infty\)

הפונקציה גדלה לאינסוף!
לא מתקרבת למספר קבוע

שים לב:

יכולה להיות אסימפטוטה משופעת
(קו ישר לא אופקי)

אבל לא נלמד בשלב זה
שאלה 9
10.00 נק'

✂️ חיתוך:

האם גרף יכול לחתוך את האסימפטוטה האופקית שלו?

הסבר:
✂️ חיתוך אסימפטוטה

התשובה: כן!

גרף יכול לחתוך את האסימפטוטה האופקית!

זה שונה מאסימפטוטה אנכית
(שאי אפשר לחתוך)

למה?

אסימפטוטה אופקית = התנהגות בקצוות

באמצע הגרף, הפונקציה יכולה לעשות מה שהיא רוצה!

דוגמה:

\(f(x) = \\frac{\\sin(x)}{x}\)

אסימפטוטה: \(y=0\)

אבל הגרף מתנדנד וחותך את \(y=0\)
הרבה פעמים!

בקצוות: מתקרב ל-0
באמצע: חותך את 0

ההבדל:

אנכית: לא יכול לחתוך
(הפונקציה לא מוגדרת שם!)

אופקית: יכול לחתוך
(רק בקצוות מתקרב)
שאלה 10
10.00 נק'

📚 סיכום:

איך מוצאים אסימפטוטות אופקיות?

הסבר:
📚 סיכום - אסימפטוטות אופקיות

➡️ מהי?

קו אופקי \(y=b\)
שהגרף מתקרב אליו
כש-\(x \to \pm\infty\)

🔍 איך מוצאים?

לפונקציה רציונלית \(\\frac{P(x)}{Q(x)}\):

מקרהאסימפטוטה
מעלה(P) < מעלה(Q)\(y=0\)
מעלה(P) = מעלה(Q)\(y=\\frac{a_n}{b_n}\)
מעלה(P) > מעלה(Q)אין

📊 איך זה נראה?

• קו מקווקו אופקי ———
• הגרף מתקרב בקצוות
• יכול לחתוך את הקו!

↔️ שני כיוונים:

יכולות להיות שתי אסימפטוטות שונות:
• ב-\(x \to +\infty\)
• ב-\(x \to -\infty\)

דוגמאות:

\(\\frac{1}{x}\) → \(y=0\)

\(\\frac{3x+1}{x-2}\) → \(y=3\)

\(\\frac{2}{x^2+1}\) → \(y=0\)

\(\\frac{x^2}{x+1}\) → אין
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 10 הושלמו