אורח מצב צפייה מבחן: משפחות פונקציות - משפחת הפרבולה

משפחות פונקציות - משפחת הפרבולה

מבחן משפחת הפרבולה - הזזות אנכיות ואופקיות, מתיחות וכיווצים, היפוכים, טרנספורמציות של y=x². חדו"א ויזואלי.

הזזות, מתיחות, היפוכים
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 10
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

📐 הצורה הכללית:

מהי הצורה הכללית של משפחת הפרבולה?

הסבר:
📐 הצורה הקנונית

הנוסחה:

\(y = a(x-h)^2 + k\)

כאשר \(a \neq 0\)

זו הצורה הקנונית!

המשמעות של כל פרמטר:

\(a\): מתיחה/כיווץ וכיוון
• \(a > 0\): פתוחה למעלה ⌣
• \(a < 0\): פתוחה למטה ⌢
• \(|a| > 1\): צרה
• \(0 < |a| < 1\): רחבה

\(h\): הזזה אופקית
• \(h > 0\): ימינה →
• \(h < 0\): שמאלה ←

\(k\): הזזה אנכית
• \(k > 0\): למעלה ↑
• \(k < 0\): למטה ↓

הקודקוד:

מהצורה \(a(x-h)^2 + k\)

קוראים ישירות:

קודקוד = \((h, k)\) ✓

זו הנקודה החשובה ביותר!

(h,k)hk
שאלה 2
10.00 נק'

🎯 זיהוי קודקוד:

מה הקודקוד של \(y = 2(x-3)^2 + 5\)?

הסבר:
🎯 קריאת הקודקוד

הניתוח:

\(y = 2(x-3)^2 + 5\)

זו הצורה: \(a(x-h)^2 + k\)

עם:
• \(a = 2\)
• \(h = 3\)
• \(k = 5\)

הקודקוד:

מהצורה \((x-h)^2 + k\)

קוראים: \((h, k) = (3, 5)\) ✓

⚠️ שים לב:

ה-\(a=2\) לא משפיע על הקודקוד!

הוא רק משפיע על הצורה
(צר/רחב, למעלה/למטה)

בדיקה:

מתי \((x-3)^2\) מינימלי?

כאשר \(x-3 = 0\)
כלומר \(x = 3\) ✓

אז: \(y = 2 \cdot 0 + 5 = 5\) ✓

קודקוד: \((3, 5)\) ✓

תכונות נוספות:

• כיוון: למעלה (\(a=2 > 0\))
• סוג: מינימום
• ציר סימטריה: \(x=3\)
• פרבולה צרה (\(|a|=2 > 1\))
שאלה 3
10.00 נק'

↕️ כיוון פתיחה:

איך נראית \(y = -\frac{1}{2}(x+1)^2 - 3\)?

הסבר:
↕️ ניתוח מלא

הפונקציה:

\(y = -\frac{1}{2}(x+1)^2 - 3\)

נכתוב מחדש:
\(y = -\frac{1}{2}(x-(-1))^2 + (-3)\)

הפרמטרים:

• \(a = -\frac{1}{2}\)
• \(h = -1\)
• \(k = -3\)

1️⃣ כיוון:

\(a = -\frac{1}{2} < 0\)

→ פתוחה למטה ⌢ ✓

2️⃣ רוחב:

\(|a| = \frac{1}{2} < 1\)

→ פרבולה רחבה ✓

3️⃣ קודקוד:

\((h, k) = (-1, -3)\) ✓

4️⃣ סוג קיצון:

פתוחה למטה → מקסימום ✓

מקסימום(-1,-3)
מסקנות:

• טווח: \((-\infty, -3]\)
• יורדת ב-\((-1, \infty)\)
• עולה ב-\((-\infty, -1)\)
• ציר סימטריה: \(x=-1\)
שאלה 4
10.00 נק'

✍️ כתיבת נוסחה:

מה הנוסחה של פרבולה רגילה (\(a=1\)) עם קודקוד ב-\((4, -2)\)?

הסבר:
✍️ מקודקוד לנוסחה

הנתונים:

• קודקוד: \((4, -2)\)
• \(a = 1\) (פרבולה רגילה)

השיטה:

הצורה הכללית:
\(y = a(x-h)^2 + k\)

נציב:
• \(a = 1\)
• \(h = 4\)
• \(k = -2\)

\(y = 1 \cdot (x-4)^2 + (-2)\)

\(y = (x-4)^2 - 2\) ✓

בדיקה:

נבדוק את הקודקוד:

מתי \((x-4)^2\) מינימלי?

כאשר \(x = 4\)

אז: \(y = 0 - 2 = -2\) ✓

קודקוד: \((4, -2)\) ✓

דוגמאות נוספות:

קודקוד \((-3, 5)\):
\(y = (x+3)^2 + 5\)

קודקוד \((0, -7)\):
\(y = x^2 - 7\)

קודקוד \((2, 0)\):
\(y = (x-2)^2\)
שאלה 5
10.00 נק'

📊 טווח:

מה הטווח של \(y = -3(x+2)^2 + 7\)?

הסבר:
📊 מציאת טווח

הניתוח:

\(y = -3(x+2)^2 + 7\)

• \(a = -3 < 0\): פתוחה למטה
• \(h = -2\)
• \(k = 7\)

קודקוד: \((-2, 7)\)

הכלל:

פרבולה פתוחה למטה:
יש מקסימום בקודקוד

הערך המקסימלי: \(k = 7\)

הפונקציה יכולה לרדת עד \(-\infty\)

טווח: \((-\infty, 7]\) ✓

למה?

\((x+2)^2 \geq 0\) תמיד

אז: \(-3(x+2)^2 \leq 0\)

לכן: \(y = -3(x+2)^2 + 7 \leq 7\) ✓

השוויון מתקיים כאשר \(x=-2\)

הכלל הכללי:

אם \(a > 0\):
טווח = \([k, \infty)\)
(מינימום ב-k)

אם \(a < 0\):
טווח = \((-\infty, k]\)
(מקסימום ב-k)
שאלה 6
10.00 נק'

↔️ סימטריה:

מה ציר הסימטריה של \(y = 5(x-6)^2 + 1\)?

הסבר:
↔️ ציר סימטריה

הכלל:

בפרבולה \(y = a(x-h)^2 + k\)

ציר הסימטריה: \(x = h\)

זה קו אנכי העובר דרך הקודקוד!

הניתוח:

\(y = 5(x-6)^2 + 1\)

• \(h = 6\)
• קודקוד: \((6, 1)\)

ציר סימטריה: \(x = 6\) ✓

x=6(6,1)סימטרי
משמעות:

שתי נקודות במרחק שווה
מציר הסימטריה
נמצאות באותו גובה!

דוגמה:
אם \((4, 21)\) על הגרף
אז גם \((8, 21)\) על הגרף ✓
(שתיהן במרחק 2 מ-\(x=6\))
שאלה 7
10.00 נק'

⭐ מקרה מיוחד:

מה מיוחד בפרבולה \(y = (x-5)^2\)?

הסבר:
⭐ מקרה מיוחד

הניתוח:

\(y = (x-5)^2\)

זו הצורה: \((x-h)^2 + k\)

עם:
• \(a = 1\)
• \(h = 5\)
• \(k = 0\) 🌟

מה מיוחד?

קודקוד: \((5, 0)\)

הקודקוד על ציר x! ✓

המשמעות:
• הפרבולה "נוגעת" בציר x
• יש נקודת חיתוך אחת בלבד
• הטווח: \([0, \infty)\) (כולל אפס)

(5,0)נוגע בציר x
מקרים מיוחדים נוספים:

1. \(y = x^2\):
קודקוד בראשית \((0,0)\)

2. \(y = -(x-3)^2\):
קודקוד על ציר x, פתוחה למטה

3. \(y = (x-2)^2 + 4\):
אין חיתוכים עם ציר x (מעל הציר)
שאלה 8
10.00 נק'

🔍 מציאת a:

פרבולה עם קודקוד ב-\((2, 3)\) עוברת דרך \((4, 7)\). מה \(a\)?

הסבר:
🔍 מציאת a

הנתונים:

• קודקוד: \((2, 3)\)
• נקודה על הגרף: \((4, 7)\)
• צריך למצוא: \(a\)

פתרון:

שלב 1: נוסחה מהקודקוד

\(y = a(x-2)^2 + 3\)

שלב 2: הצבת הנקודה \((4, 7)\)

\(7 = a(4-2)^2 + 3\)

\(7 = a \cdot 4 + 3\)

\(7 = 4a + 3\)

שלב 3: פתרון

\(4a = 4\)

\(a = 1\) ✓

הנוסחה המלאה:

\(y = (x-2)^2 + 3\)

בדיקה:
• קודקוד: \((2, 3)\) ✓
• \(x=4\): \(y = (4-2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7\) ✓

הכלל הכללי:

1. כתוב \(y = a(x-h)^2 + k\)
2. הצב את הנקודה הנוספת
3. פתור עבור \(a\)
שאלה 9
10.00 נק'

⚖️ השוואה:

איזו פרבולה יותר "צרה": \(y = 3x^2\) או \(y = \frac{1}{4}x^2\)?

הסבר:
⚖️ השוואת רוחב

הכלל:

גודל \(|a|\) קובע את הרוחב:

• גדול יותר \(|a|\) → צרה יותר
• קטן יותר \(|a|\) → רחבה יותר

השוואה:

\(y = 3x^2\): \(|a| = 3\)

\(y = \frac{1}{4}x^2\): \(|a| = \frac{1}{4}\)

\(3 > \frac{1}{4}\)

לכן \(y = 3x^2\) צרה יותר ✓

x²/4 רחבה3x² צרה
הסבר אינטואיטיבי:

כפל ב-3 → גרף "מתרחק" מציר x מהר

כפל ב-\(\frac{1}{4}\) → גרף "מתקרב" לציר x

דוגמה:
ב-\(x=2\):
• \(3x^2 = 12\) (גבוה)
• \(\frac{1}{4}x^2 = 1\) (נמוך)
שאלה 10
10.00 נק'

📚 סיכום:

מה הדבר החשוב ביותר במשפחת הפרבולה?

הסבר:
📚 סיכום - משפחת הפרבולה

📐 הצורה הקנונית:

\(y = a(x-h)^2 + k\)

שלושה פרמטרים חשובים:

1️⃣ קודקוד \((h, k)\):

• קריאה ישירה מהנוסחה!
• הנקודה החשובה ביותר
• קובע את המיקום

2️⃣ כיוון (\(a\)):

• \(a > 0\): למעלה ⌣ (מינימום)
• \(a < 0\): למטה ⌢ (מקסימום)

3️⃣ רוחב (\(|a|\)):

• \(|a| > 1\): צרה
• \(0 < |a| < 1\): רחבה

מציאת נוסחה:

1. מקודקוד: \(a(x-h)^2 + k\)
2. מנקודה נוספת: מצא את \(a\)
3. בדוק את התוצאה!

תכונות חשובות:

• ציר סימטריה: \(x = h\)
• תחום: \(\mathbb{R}\)
• טווח: \([k, \infty)\) או \((-\infty, k]\)
• מונוטוניות משתנה ב-\(x=h\)

⚠️ טעויות נפוצות:

• לא לבלבל בין \((x-h)\) ל-\((x+h)\)
• \(a\) לא משפיע על הקודקוד!
• זכור: \((x+2)^2 = (x-(-2))^2\)
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 10 הושלמו