אורח מצב צפייה מבחן: משפחות פונקציות - משפחת השורש

משפחות פונקציות - משפחת השורש

מבחן משפחת השורש - טרנספורמציות של y=√x, הזזות, מתיחות, שיקופים, השפעה על תחום וטווח.

טרנספורמציות
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 10
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

📐 הצורה הכללית:

מהי הצורה הכללית של משפחת השורש?

הסבר:
📐 הצורה הכללית

הנוסחה:

\(y = a\sqrt{x-h} + k\)

כאשר \(a \neq 0\)

זו הצורה הכללית!

המשמעות של כל פרמטר:

\(a\): מתיחה/כיווץ וכיוון
• \(a > 0\): עולה →
• \(a < 0\): יורדת ←
• \(|a| > 1\): תלולה
• \(0 < |a| < 1\): שטוחה

\(h\): הזזה אופקית
• \(h > 0\): ימינה →
• \(h < 0\): שמאלה ←

\(k\): הזזה אנכית
• \(k > 0\): למעלה ↑
• \(k < 0\): למטה ↓

נקודת ההתחלה:

מהצורה \(a\sqrt{x-h} + k\)

קוראים ישירות:

נקודת התחלה = \((h, k)\) ✓

זו הנקודה החשובה ביותר!

(h,k)hky=a√(x-h)+k
שאלה 2
10.00 נק'

🎯 נקודת התחלה:

מהי נקודת ההתחלה של \(y = 3\sqrt{x-5} + 2\)?

הסבר:
🎯 קריאת נקודת ההתחלה

הניתוח:

\(y = 3\sqrt{x-5} + 2\)

זו הצורה: \(a\sqrt{x-h} + k\)

עם:
• \(a = 3\)
• \(h = 5\)
• \(k = 2\)

נקודת ההתחלה:

מהצורה \(\sqrt{x-h} + k\)

קוראים: \((h, k) = (5, 2)\) ✓

⚠️ שים לב:

ה-\(a=3\) לא משפיע על נקודת ההתחלה!

הוא רק משפיע על התלילות
(כמה מהר הפונקציה עולה)

בדיקה:

מתי \(\sqrt{x-5}\) מוגדר?

כאשר \(x-5 \geq 0\)
כלומר \(x \geq 5\) ✓

הנקודה הראשונה: \(x=5\)

אז: \(y = 3\sqrt{0} + 2 = 2\) ✓

נקודת התחלה: \((5, 2)\) ✓

תכונות נוספות:

• כיוון: עולה (\(a=3 > 0\))
• תחום: \([5, \infty)\)
• טווח: \([2, \infty)\)
• תלולה (\(|a|=3 > 1\))
שאלה 3
10.00 נק'

📊 תחום:

מה התחום של \(y = 2\sqrt{x+3} - 1\)?

הסבר:
📊 מציאת תחום

הניתוח:

\(y = 2\sqrt{x+3} - 1\)

נכתוב מחדש:
\(y = 2\sqrt{x-(-3)} + (-1)\)

• \(h = -3\)
• \(k = -1\)

הכלל:

שורש מוגדר רק עבור ערכים ≥ 0

צריך: \(x+3 \geq 0\)

\(x \geq -3\)

תחום: \([-3, \infty)\) ✓

הכלל הכללי:

עבור \(y = a\sqrt{x-h} + k\)

תחום: \([h, \infty)\)

הפונקציה מתחילה ב-\(x=h\)!

(-3,-1)x=-3לא מוגדר ←מוגדר →
דוגמאות נוספות:

\(\sqrt{x-7}\): תחום \([7, \infty)\)

\(\sqrt{x}\): תחום \([0, \infty)\)

\(\sqrt{x+10}\): תחום \([-10, \infty)\)
שאלה 4
10.00 נק'

📈 טווח:

מה הטווח של \(y = \sqrt{x-1} + 4\)?

הסבר:
📈 מציאת טווח

הניתוח:

\(y = \sqrt{x-1} + 4\)

• \(a = 1 > 0\) (עולה)
• \(h = 1\)
• \(k = 4\)

הכלל:

\(\sqrt{x-1} \geq 0\) תמיד

אז: \(y = \sqrt{x-1} + 4 \geq 4\)

הערך המינימלי: \(k = 4\)
(כאשר \(x = 1\))

הפונקציה עולה, אז \(y \to \infty\)

טווח: \([4, \infty)\) ✓

הכלל הכללי:

עבור \(y = a\sqrt{x-h} + k\)

אם \(a > 0\):
טווח = \([k, \infty)\)
(מינימום ב-k)

אם \(a < 0\):
טווח = \((-\infty, k]\)
(מקסימום ב-k)

(1,4)y=4 מינימום← אין ערכים
דוגמאות:

\(\sqrt{x} + 2\): טווח \([2, \infty)\)

\(-\sqrt{x-3} + 5\): טווח \((-\infty, 5]\)
שאלה 5
10.00 נק'

↘️ שורש יורד:

איך נראה \(y = -\sqrt{x+2} + 3\)?

הסבר:
↘️ שורש הפוך

הניתוח:

\(y = -\sqrt{x+2} + 3\)

• \(a = -1 < 0\) → יורדת! ↘️
• \(h = -2\)
• \(k = 3\)

1️⃣ נקודת התחלה:

\((h, k) = (-2, 3)\) ✓

2️⃣ תחום:

\(x+2 \geq 0\)
\(x \geq -2\)

תחום: \([-2, \infty)\) ✓

3️⃣ טווח:

\(\sqrt{x+2} \geq 0\)
אז: \(-\sqrt{x+2} \leq 0\)

לכן: \(y = -\sqrt{x+2} + 3 \leq 3\)

טווח: \((-\infty, 3]\) ✓

4️⃣ מונוטוניות:

\(a < 0\) → יורדת בכל התחום! ↘️

(-2,3)y=3 מקסימום
⚠️ שים לב:

המינוס הופך את הכיוון!

שורש רגיל: עולה ↗️
שורש שלילי: יורדת ↘️

כמו פרבולה הפוכה!
שאלה 6
10.00 נק'

⬍ מתיחה:

איך משפיע \(a\) על הגרף של \(y = a\sqrt{x}\)?

הסבר:
⬍ השפעת a

הכלל:

\(y = a\sqrt{x}\)

גודל \(|a|\) קובע תלילות:

• \(|a| > 1\): תלול, עולה מהר
• \(0 < |a| < 1\): שטוח, עולה לאט

דוגמאות:

1. \(y = 3\sqrt{x}\):
\(|a| = 3 > 1\) → תלול

ב-\(x=4\): \(y = 3 \cdot 2 = 6\)

2. \(y = \frac{1}{2}\sqrt{x}\):
\(|a| = \frac{1}{2} < 1\) → שטוח

ב-\(x=4\): \(y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\)

√x3√x תלול√x/2 שטוח
הסבר:

כפל ב-\(a\) → כל \(y\) מוכפל!

אותו \(x\), \(y\) שונה:

• \(a=3\): נקודה גבוהה יותר
• \(a=\frac{1}{2}\): נקודה נמוכה יותר

סימן a:

• \(a > 0\): עולה ↗️
• \(a < 0\): יורדת ↘️
שאלה 7
10.00 נק'

✍️ כתיבת נוסחה:

מה הנוסחה של שורש רגיל (\(a=1\)) המתחיל ב-\((3, -2)\)?

הסבר:
✍️ מנקודת התחלה לנוסחה

הנתונים:

• נקודת התחלה: \((3, -2)\)
• \(a = 1\) (שורש רגיל)

השיטה:

הצורה הכללית:
\(y = a\sqrt{x-h} + k\)

נציב:
• \(a = 1\)
• \(h = 3\)
• \(k = -2\)

\(y = 1 \cdot \sqrt{x-3} + (-2)\)

\(y = \sqrt{x-3} - 2\) ✓

בדיקה:

נבדוק את נקודת ההתחלה:

מתי \(\sqrt{x-3}\) מוגדר לראשונה?

כאשר \(x = 3\)

אז: \(y = \sqrt{0} - 2 = -2\) ✓

נקודת התחלה: \((3, -2)\) ✓

דוגמאות נוספות:

התחלה \((-5, 4)\):
\(y = \sqrt{x+5} + 4\)

התחלה \((0, 1)\):
\(y = \sqrt{x} + 1\)

התחלה \((2, 0)\):
\(y = \sqrt{x-2}\)
שאלה 8
10.00 נק'

🔍 מציאת a:

שורש מתחיל ב-\((1, 2)\) ועובר דרך \((5, 6)\). מה \(a\)?

הסבר:
🔍 מציאת a

הנתונים:

• נקודת התחלה: \((1, 2)\)
• נקודה על הגרף: \((5, 6)\)
• צריך למצוא: \(a\)

פתרון:

שלב 1: נוסחה מנקודת ההתחלה

\(y = a\sqrt{x-1} + 2\)

שלב 2: הצבת הנקודה \((5, 6)\)

\(6 = a\sqrt{5-1} + 2\)

\(6 = a\sqrt{4} + 2\)

\(6 = 2a + 2\)

שלב 3: פתרון

\(2a = 4\)

\(a = 2\) ✓

הנוסחה המלאה:

\(y = 2\sqrt{x-1} + 2\)

בדיקה:
• התחלה: \((1, 2)\) ✓
• \(x=5\): \(y = 2\sqrt{4} + 2 = 4 + 2 = 6\) ✓

הכלל הכללי:

1. כתוב \(y = a\sqrt{x-h} + k\)
2. הצב את הנקודה הנוספת
3. פתור עבור \(a\)
שאלה 9
10.00 נק'

⚖️ השוואה:

איזו פונקציה עולה יותר מהר: \(y = 5\sqrt{x}\) או \(y = \frac{1}{3}\sqrt{x}\)?

הסבר:
⚖️ השוואת תלילות

הכלל:

גודל \(|a|\) קובע את קצב העלייה:

• גדול יותר \(|a|\) → עולה מהר יותר
• קטן יותר \(|a|\) → עולה לאט יותר

השוואה:

\(y = 5\sqrt{x}\): \(|a| = 5\)

\(y = \frac{1}{3}\sqrt{x}\): \(|a| = \frac{1}{3}\)

\(5 > \frac{1}{3}\)

לכן \(y = 5\sqrt{x}\) עולה מהר יותר ✓

√x/3 לאט5√x מהר
דוגמה מספרית:

ב-\(x=9\):

• \(5\sqrt{9} = 5 \cdot 3 = 15\) (גבוה)
• \(\frac{1}{3}\sqrt{9} = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1\) (נמוך)

הבדל עצום!
שאלה 10
10.00 נק'

📚 סיכום:

מה הדבר החשוב ביותר במשפחת השורש?

הסבר:
📚 סיכום - משפחת השורש

📐 הצורה הכללית:

\(y = a\sqrt{x-h} + k\)

שלושה פרמטרים חשובים:

1️⃣ נקודת התחלה \((h, k)\):

• קריאה ישירה מהנוסחה!
• הנקודה החשובה ביותר
• הנקודה הראשונה על הגרף

2️⃣ כיוון (\(a\)):

• \(a > 0\): עולה ↗️
• \(a < 0\): יורדת ↘️

3️⃣ תלילות (\(|a|\)):

• \(|a| > 1\): תלול
• \(0 < |a| < 1\): שטוח

תחום וטווח:

תחום: \([h, \infty)\)
(מתחיל מ-h)

טווח:
• אם \(a > 0\): \([k, \infty)\)
• אם \(a < 0\): \((-\infty, k]\)

מציאת נוסחה:

1. מנקודת התחלה: \(a\sqrt{x-h} + k\)
2. מנקודה נוספת: מצא את \(a\)
3. בדוק את התוצאה!

תכונות חשובות:

• תמיד עולה או יורדת (לא משנה כיוון)
• אין ערך מקסימלי/מינימלי (חוץ מנקודת ההתחלה)
• אין סימטריה
• מונוטונית בכל התחום

⚠️ טעויות נפוצות:

• לא לשכוח את התנאי \(x-h \geq 0\)
• \(a\) לא משפיע על נקודת ההתחלה!
• זכור: \(\sqrt{x+2} = \sqrt{x-(-2)}\)
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 10 הושלמו