אורח מצב צפייה מבחן: משפחות פונקציות - היפרבולה y=1/x
מספר שאלות: 10
ניקוד כולל: 100.00 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

➗ היפרבולה:

מהי הצורה הבסיסית של היפרבולה?

הסבר:
➗ היפרבולה

הצורה הבסיסית:

\(f(x) = \frac{1}{x}\)

או:
\(f(x) = x^{-1}\)

xyy=1/x
שם:

נקראת "היפרבולה"
או "פונקציה הרציונלית הפשוטה"

תכונה מיוחדת:

יש שני "ענפים" נפרדים!

אחד ברביע הראשון ↗
אחד ברביע השלישי ↙
שאלה 2
10.00 נק'

📊 תחום:

מהו תחום ההגדרה של \(f(x) = \frac{1}{x}\)?

הסבר:
📊 תחום היפרבולה

הבעיה:

לא ניתן לחלק באפס!

\(\frac{1}{0}\) לא מוגדר!

לכן: תחום: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

פירוש:

\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) = כל המספרים הממשיים חוץ מ-0

או בכתיב אחר:
\((-\infty, 0) \cup (0, \infty)\)

דוגמאות:

✓ \(f(1) = \frac{1}{1} = 1\) מוגדר
✓ \(f(-2) = \frac{1}{-2} = -0.5\) מוגדר
✓ \(f(0.001) = \frac{1}{0.001} = 1000\) מוגדר

✗ \(f(0) = \frac{1}{0}\) לא מוגדר!

זה יוצר:

אסימפטוטה אנכית ב-\(x=0\)!

(ציר y הוא אסימפטוטה)
שאלה 3
10.00 נק'

📈 טווח:

מהו הטווח של \(f(x) = \frac{1}{x}\)?

הסבר:
📈 טווח היפרבולה

התשובה:

\(\frac{1}{x}\) לעולם לא שווה ל-0!

טווח: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

(כל המספרים חוץ מ-0)

למה?

אם \(\frac{1}{x} = 0\)

אז \(1 = 0 \cdot x = 0\)

סתירה! ✗

לכן אי אפשר ש-\(\frac{1}{x} = 0\)

כל ערך אחר אפשרי:

רוצים \(y=5\)? → \(x=\frac{1}{5}\) ✓
רוצים \(y=-3\)? → \(x=-\frac{1}{3}\) ✓
רוצים \(y=100\)? → \(x=\frac{1}{100}\) ✓

אבל \(y=0\)? אי אפשר! ✗

זה יוצר:

אסימפטוטה אופקית ב-\(y=0\)!

(ציר x הוא אסימפטוטה)
שאלה 4
10.00 נק'

⬆️➡️ אסימפטוטות:

אילו אסימפטוטות יש ל-\(f(x) = \frac{1}{x}\)?

הסבר:
⬆️➡️ אסימפטוטות היפרבולה

שתי אסימפטוטות:

1️⃣ אנכית: \(x=0\) (ציר y)

2️⃣ אופקית: \(y=0\) (ציר x)

y=0x=0
למה?

אנכית ב-\(x=0\):
כי \(f(0)\) לא מוגדר
הגרף "בורח" לאינסוף ליד 0

אופקית ב-\(y=0\):
כש-\(x \to \pm\infty\):
\(\frac{1}{x} \to 0\)

הצירים הם האסימפטוטות!

זו תכונה ייחודית של \(\frac{1}{x}\)
שאלה 5
10.00 נק'

📉 מונוטוניות:

מה המונוטוניות של \(f(x) = \frac{1}{x}\)?

הסבר:
📉 מונוטוניות היפרבולה

הכלל:

\(f(x) = \frac{1}{x}\)

יורדת בכל אחד מהקטעים:

• \((-\infty, 0)\) ↘
• \((0, \infty)\) ↘

יורדתיורדת
למה?

ככל ש-\(x\) גדל (בכל קטע):

המכנה גדל → השבר קטן

דוגמה - בצד החיובי:

\(f(1) = 1\)
\(f(2) = 0.5\)
\(f(10) = 0.1\)

יורדת! ↘

⚠️ חשוב:

לא יורדת "בכל התחום"!

יורדת בכל קטע בנפרד
שאלה 6
10.00 נק'

➕➖ סימן:

איפה \(f(x) = \frac{1}{x}\) חיובית ואיפה שלילית?

הסבר:
➕➖ סימן היפרבולה

הכלל הפשוט:

\(\frac{1}{x}\) שומר סימן!

• \(x > 0\) → \(\frac{1}{x} > 0\) ✓
• \(x < 0\) → \(\frac{1}{x} < 0\) ✓

חיובית:

ב-\((0, \infty)\)

כל \(x\) חיובי → \(\frac{1}{x}\) חיובי

דוגמאות:

\(f(2) = \frac{1}{2} = 0.5 > 0\) ✓
\(f(5) = \frac{1}{5} = 0.2 > 0\) ✓

שלילית:

ב-\((-\infty, 0)\)

כל \(x\) שלילי → \(\frac{1}{x}\) שלילי

דוגמאות:

\(f(-2) = \frac{1}{-2} = -0.5 < 0\) ✓
\(f(-5) = \frac{1}{-5} = -0.2 < 0\) ✓

אף פעם לא אפס!

כי \(\frac{1}{x} \neq 0\) לכל \(x\)
שאלה 7
10.00 נק'

📍 נקודות מיוחדות:

אילו נקודות חשובות עובר הגרף של \(f(x) = \frac{1}{x}\)?

הסבר:
📍 נקודות ייחוס

שתי נקודות עיקריות:

1️⃣ (1, 1)
\(\frac{1}{1} = 1\)

2️⃣ (-1, -1)
\(\frac{1}{-1} = -1\)

(1,1)(-1,-1)
למה חשובות?

אלו הנקודות שבהן \(x = y\)

נקודות הייחוס לציור הגרף

נקודות נוספות שימושיות:

\((2, 0.5)\): \(\frac{1}{2}\)
\((0.5, 2)\): \(\frac{1}{0.5} = 2\)

\((-2, -0.5)\): \(\frac{1}{-2}\)
\((-0.5, -2)\): \(\frac{1}{-0.5} = -2\)

שים לב:

אין חיתוך עם הצירים!

(כי שני הצירים הם אסימפטוטות)
שאלה 8
10.00 נק'

🔄 סימטריה:

איזו סימטריה יש ל-\(f(x) = \frac{1}{x}\)?

הסבר:
🔄 סימטריה - פונקציה אי-זוגית

התכונה:

\(f(-x) = -f(x)\)

פונקציה אי-זוגית

סימטריה ביחס לראשית!

הוכחה:

\(f(x) = \frac{1}{x}\)

\(f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)\) ✓

מה זה אומר?

אם סוברים את הגרף 180°
סביב הראשית (0,0)

נקבל את אותו גרף!


דוגמה:

\(f(2) = 0.5\)
\(f(-2) = -0.5\)

ערכים מנוגדים! ✓
שאלה 9
10.00 נק'

⚠️ טעות נפוצה:

תלמיד אמר: "ההיפרבולה יורדת בכל התחום". מה הטעות?

הסבר:
❌ טעות מבלבלת!

שני קטעים נפרדים!

הבעיה:

מה שהתלמיד חשב:

"בכל מקום שבודקים,
הפונקציה יורדת

אז היא יורדת בכל התחום"

❌ לא מדויק!

✓ הנכון:

יש שני קטעים נפרדים:

1️⃣ \((-\infty, 0)\): יורדת ↘
2️⃣ \((0, \infty)\): יורדת ↘

אבל יש "קפיצה" ב-\(x=0\)!

למה זה משנה?

כי אם משווים ערכים משני הצדדים:

\(f(-1) = -1\)
\(f(1) = 1\)

\(-1 < 1\) אבל \(-1 < 1\) (עלייה!)

בגלל הקפיצה ב-0

הניסוח הנכון:

"יורדת בכל קטע רציף מתחומה"

או:

"יורדת ב-\((-\infty, 0)\) וב-\((0, \infty)\)"
שאלה 10
10.00 נק'

📚 סיכום:

מה התכונה הייחודית של היפרבולה?

הסבר:
📚 סיכום - היפרבולה

➗ הצורה:

\(f(x) = \frac{1}{x}\)

📊 תחום וטווח:

תחום: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)
טווח: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

שניהם ללא 0!

⬆️➡️ אסימפטוטות:

אנכית: \(x=0\) (ציר y)
אופקית: \(y=0\) (ציר x)

הצירים הם האסימפטוטות!

📉 מונוטוניות:

יורדת ב-\((-\infty, 0)\) ↘
יורדת ב-\((0, \infty)\) ↘

בכל קטע בנפרד!

➕➖ סימן:

חיובית: \((0, \infty)\)
שלילית: \((-\infty, 0)\)

שומרת סימן!

🔄 סימטריה:

פונקציה אי-זוגית
\(f(-x) = -f(x)\)

סימטריה ביחס לראשית

✨ ייחודי:

שני ענפים נפרדים
הצירים כאסימפטוטות
סימטריה ביחס לראשית
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 10 הושלמו