אורח מצב צפייה מבחן: טרנספורמציות של פונקציות מתיחה וכיווץ אנכיים (כפל בקבוע)

טרנספורמציות של פונקציות מתיחה וכיווץ אנכיים (כפל בקבוע)

מבחן טרנספורמציות מתיחה וכיווץ אנכיים - a·f(x), מתיחה (|a|>1) וכיווץ (|a|<1), שיקוף כש-a<0.

בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 10
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

⬍ מתיחה אנכית:

מה עושה \(y = a \cdot f(x)\) כאשר \(a > 1\)?

הסבר:
⬍ מתיחה אנכית

הכלל:

\(y = a \cdot f(x)\)

כאשר \(a > 1\):

מתיחה אנכית
בפעמים \(a\)

כל ערך y מוכפל ב-\(a\)!

xyf(x)2f(x)(x,y)(x,2y)×2
מה קורה?

כל נקודה \((x, y)\)
הופכת ל-\((x, a \cdot y)\)

ה-\(x\) לא משתנה!
רק \(y\) מוכפל ב-\(a\)

דוגמה:

\(f(x) = x^2\)
\(g(x) = 3x^2\)

נקודה \((2, 4)\) על \(x^2\)
הופכת ל-\((2, 12)\) על \(3x^2\)

מתיחה פי 3! ✓
שאלה 2
10.00 נק'

⬌ כיווץ אנכי:

מה עושה \(y = a \cdot f(x)\) כאשר \(0 < a < 1\)?

הסבר:
⬌ כיווץ אנכי

הכלל:

\(y = a \cdot f(x)\)

כאשר \(0 < a < 1\):

כיווץ אנכי
בפקטור \(a\)

הגרף מתקרב לציר x!

f(x)0.5f(x)(x,y)(x,0.5y)×0.5
מה קורה?

כל ערך \(y\) מתקרב לאפס

כי מכפילים במספר < 1

דוגמה:

\(f(x) = x^2\)
\(g(x) = \frac{1}{2}x^2\)

נקודה \((3, 9)\) על \(x^2\)
הופכת ל-\((3, 4.5)\) על \(\frac{1}{2}x^2\)

כיווץ פי 2! ✓

שים לב:

כיווץ = פרבולה "רחבה יותר"
מתיחה = פרבולה "צרה יותר"
שאלה 3
10.00 נק'

📊 דוגמה:

איך נראה \(y = 4x^2\) ביחס ל-\(y = x^2\)?

הסבר:
📊 מתיחת פרבולה

הניתוח:

\(y = 4x^2\)

זו \(x^2\) מוכפלת ב-4

מתיחה פי 4 אנכית! ⬍

x²4x²(1,1)(1,4)
מה קרה?

כל ערך \(y\) הוכפל ב-4

• \((1, 1) \to (1, 4)\)
• \((2, 4) \to (2, 16)\)
• \((3, 9) \to (3, 36)\)

הפרבולה נמתחת למעלה!

התוצאה:

פרבולה צרה יותר

כי עולה מהר יותר!

"מתרחקת מציר x מהר יותר"

הקודקוד:

נשאר ב-\((0,0)\)

כי \(4 \cdot 0 = 0\)
שאלה 4
10.00 נק'

📈 טווח:

איך מתיחה אנכית משפיעה על הטווח?

הסבר:
📈 השפעה על טווח

הכלל:

אם \(g(x) = a \cdot f(x)\)

טווח של \(g\) =
טווח של \(f\) מוכפל ב-\(a\)

דוגמאות:

1. פרבולה:
\(f(x) = x^2\), טווח: \([0, \infty)\)

\(g(x) = 3x^2\)
טווח: \([0, \infty)\)
(0 מוכפל ב-3 = 0) ✓

2. ערך מוחלט:
\(f(x) = |x|\), טווח: \([0, \infty)\)

\(g(x) = 2|x|\)
טווח: \([0, \infty)\) ✓

מקרה מיוחד:

\(f(x) = x^2 + 1\)
טווח: \([1, \infty)\)

\(g(x) = 2(x^2 + 1)\)
טווח: \([2, \infty)\)

המינימום 1 הפך ל-2! ✓

תחום:

לא משתנה!

אותם ערכי \(x\) מותרים
שאלה 5
10.00 נק'

🔝 נקודות קיצון:

איך מתיחה אנכית משפיעה על נקודת קיצון?

הסבר:
🔝 קיצון נמתח

הכלל:

נקודת קיצון \((x_0, y_0)\)

אחרי \(a \cdot f(x)\):

\((x_0, a \cdot y_0)\)

רק ה-\(y\) מוכפל!

דוגמה:

\(f(x) = (x-2)^2 + 1\)
מינימום ב-\((2, 1)\)

\(g(x) = 3[(x-2)^2 + 1]\)
מינימום ב-\((2, 3)\) ✓

אותו \(x\), \(y\) נמתח פי 3!

למה?

המונוטוניות לא השתנתה

אז נקודת המעבר
נשארה באותו \(x\)!

רק הגובה שלה נמתח

סוג הקיצון:

נשאר אותו דבר!

מקסימום → מקסימום
מינימום → מינימום
שאלה 6
10.00 נק'

📐 משולב:

מה הקודקוד של \(y = 2(x-3)^2 + 4\)?

הסבר:
📐 טרנספורמציות משולבות

הצורה הכללית:

\(y = a(x-h)^2 + k\)

• \(a\): מתיחה/כיווץ
• \(h\): הזזה אופקית
• \(k\): הזזה אנכית

קודקוד: \((h, k)\)

⚠️ חשוב מאוד!

ה-\(a\) לא משפיע על הקודקוד!

הקודקוד נקבע רק על ידי \(h\) ו-\(k\)

הניתוח:

\(y = 2(x-3)^2 + 4\)

• \(a=2\): מתיחה פי 2
• \(h=3\): ימינה 3
• \(k=4\): למעלה 4

קודקוד: \((3, 4)\) ✓

למה?

הקודקוד הוא איפה ש-\((x-3)^2 = 0\)

זה ב-\(x=3\)

אז \(y = 2 \cdot 0 + 4 = 4\) ✓

הבנה:

ה-\(a\) משפיע על "הצורה"
(צר/רחב)

אבל לא על "המיקום"!

המיקום = \((h, k)\)
שאלה 7
10.00 נק'

⬌ דוגמה:

איך נראה \(y = \frac{1}{3}x^2\) ביחס ל-\(y = x^2\)?

הסבר:
⬌ כיווץ פרבולה

הניתוח:

\(y = \frac{1}{3}x^2\)

זו \(x^2\) מוכפלת ב-\(\frac{1}{3}\)

כיווץ פי 3 אנכית! ⬌

מה קרה?

כל ערך \(y\) מחולק ב-3

• \((3, 9) \to (3, 3)\)
• \((6, 36) \to (6, 12)\)

הפרבולה נדחסת למטה!

התוצאה:

פרבולה רחבה יותר

כי עולה לאט יותר!

"מתקרבת לציר x לאט יותר"

x²x²/3
זכור:

\(0 < a < 1\) → רחב
\(a > 1\) → צר
שאלה 8
10.00 נק'

✂️ חיתוכים:

איך מתיחה אנכית משפיעה על חיתוך עם ציר x?

הסבר:
✂️ חיתוכים עם ציר x

הכלל החשוב:

חיתוך עם ציר x = \(y=0\)

אם \(g(x) = a \cdot f(x)\)

\(g(x) = 0\) כאשר \(a \cdot f(x) = 0\)

זה בדיוק כאשר \(f(x) = 0\)!

אותם חיתוכים! ✓

למה?

כי \(a \cdot 0 = 0\)

לא משנה מה \(a\)!

דוגמה:

\(f(x) = (x-2)(x+3)\)
חיתוכים: \(x=2, x=-3\)

\(g(x) = 5(x-2)(x+3)\)
חיתוכים: עדיין \(x=2, x=-3\) ✓

כי \(5 \cdot 0 = 0\)

חיתוך עם ציר y:

כן משתנה!

\(g(0) = a \cdot f(0)\)

מוכפל ב-\(a\)!
שאלה 9
10.00 נק'

⚠️ טעות נפוצה:

תלמיד אמר: "הקודקוד של \(y=3(x-1)^2+2\) הוא \((1,6)\)". מה הטעות?

הסבר:
❌ בלבול עם המתיחה!

המתיחה לא משפיעה על הקודקוד!

הבעיה:

מה שהתלמיד חשב:

\(y = 3(x-1)^2 + 2\)

"יש 3 ו-2
אז הקודקוד \((1, 3 \cdot 2) = (1, 6)\)"

❌ הכפיל את ה-k!

✓ הנכון:

\(y = 3(x-1)^2 + 2\)

צורה: \(a(x-h)^2 + k\)

• \(a=3\): מתיחה
• \(h=1\): ימינה
• \(k=2\): למעלה

קודקוד: \((h, k) = (1, 2)\) ✓

למה?

הקודקוד הוא איפה ש-\((x-1)^2 = 0\)

זה ב-\(x=1\)

אז: \(y = 3 \cdot 0 + 2 = 2\) ✓

ה-3 לא משפיע!

הכלל:

ב-\(a(x-h)^2 + k\):

קודקוד תמיד \((h, k)\)

לא משנה מה \(a\)!
שאלה 10
10.00 נק'

📚 סיכום:

מה הדבר החשוב ביותר לזכור על מתיחה אנכית?

הסבר:
📚 סיכום - מתיחה אנכית

⬍⬌ הנוסחה:

\(y = a \cdot f(x)\)

• \(a > 1\): מתיחה ⬍
• \(0 < a < 1\): כיווץ ⬌

📍 מה קורה?

\((x, y)\) → \((x, a \cdot y)\)

רק \(y\) מוכפל!

✓ לא משתנה:

• תחום
• חיתוכים עם ציר x
• x של נקודות קיצון
• המונוטוניות (סוג)

✓ כן משתנה:

• טווח (מוכפל ב-\(a\))
• חיתוך עם ציר y
• y של נקודות קיצון
• "צורת" הגרף (צר/רחב)

📐 לפרבולה:

\(y = a(x-h)^2 + k\)

• \(|a| > 1\): צרה
• \(0 < |a| < 1\): רחבה
• קודקוד: \((h, k)\) (לא תלוי ב-\(a\)!)

דוגמאות:

\(3x^2\) → צרה (מתיחה פי 3)
\(\frac{1}{2}x^2\) → רחבה (כיווץ פי 2)
\(2|x|\) → V חד יותר
\(0.5\sqrt{x}\) → עולה לאט

זכור:

מתיחה = כפל בערכי y
לא הזזה, לא שינוי ב-x!
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 10 הושלמו