תחום הגדרה - שילובים (שורש במכנה, שורש במונה, וכו') | מבחן אינטראקטיבי עם פתרונות

אורח מצב צפייה מבחן: תחום הגדרה - שילובים (שורש במכנה, שורש במונה, וכו')

מספר שאלות: 10

ניקוד כולל: 100.00 נק'

שאלה 1

10.00 נק'

√÷ שורש במכנה:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-3}}\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{3\}\)

\([3, \infty)\)

\((3, \infty)\) - חייב להיות חיובי ממש!

\((-\infty, 3)\)

הסבר:

√÷ שורש במכנה

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-3}}\)

⚠️ שתי מגבלות!

מגבלה 1 - שורש:
\(x - 3 \geq 0\)
\(x \geq 3\)

מגבלה 2 - מכנה:
\(\sqrt{x-3} \neq 0\)
\(x - 3 \neq 0\)
\(x \neq 3\)

חיתוך:
\(x \geq 3\) וגם \(x \neq 3\)

\(x > 3\) ✓

תחום: \((3, \infty)\)

⚠️ קשת פתוחה!

3 עצמו אסור!

כי אם \(x = 3\):

\(\frac{1}{\sqrt{0}} = \frac{1}{0}\) ✗

חילוק באפס!

הכלל הכללי:

שורש במכנה:

הביטוי תחת השורש חייב > 0

(לא רק ≥ 0!)

כי המכנה לא יכול להתאפס

שאלה 2

10.00 נק'

√→ שורש במונה:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-5}\)?

\([-2, \infty) \setminus \{5\}\) או \([-2, 5) \cup (5, \infty)\)

\([5, \infty)\)

\((-2, \infty) \setminus \{5\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{5\}\)

הסבר:

√→ שורש במונה

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-5}\)

שתי מגבלות:

מגבלה 1 - שורש במונה:
\(x + 2 \geq 0\)
\(x \geq -2\) ✓

מגבלה 2 - מכנה:
\(x - 5 \neq 0\)
\(x \neq 5\) ✓

חיתוך:
\(x \geq -2\) וגם \(x \neq 5\)

תחום:
\([-2, \infty) \setminus \{5\}\)

או בכתיב קטעים:
\([-2, 5) \cup (5, \infty)\) ✓

הבדל חשוב:

שורש במונה:
מותר שהשורש = 0 ✓
(המונה יכול להיות 0)

שורש במכנה:
אסור שהשורש = 0 ✗
(המכנה לא יכול להיות 0)

בדיקה:

• \(x = -3\): \(\sqrt{-1}\) ✗
• \(x = -2\): \(\frac{0}{-7}\) ✓
• \(x = 0\): \(\frac{\sqrt{2}}{-5}\) ✓
• \(x = 5\): \(\frac{\sqrt{7}}{0}\) ✗
• \(x = 10\): \(\frac{\sqrt{12}}{5}\) ✓

שאלה 3

10.00 נק'

√√ שני שורשים:

מהו התחום של \(f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{5-x}\)?

\(\mathbb{R}\)

\((-\infty, 5]\)

\([1, 5]\) - חיתוך התנאים

\([1, \infty)\)

הסבר:

√√ שני שורשים

הפונקציה:

\(f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{5-x}\)

שני תנאים:

תנאי 1 - שורש ראשון:
\(x - 1 \geq 0\)
\(x \geq 1\) ✓

תנאי 2 - שורש שני:
\(5 - x \geq 0\)
\(5 \geq x\)
\(x \leq 5\) ✓

חיתוך:
\(x \geq 1\) וגם \(x \leq 5\)

\(1 \leq x \leq 5\) ✓

תחום: \([1, 5]\)

הסבר גרפי:

תנאי 1: \([1, \infty)\) →
תנאי 2: \((-\infty, 5]\) ←

החיתוך: \([1, 5]\) ✓

רק הקטע שמקיים את שני התנאים!

בדיקה:

• \(x = 0\): \(\sqrt{-1}\) ✗
• \(x = 1\): \(\sqrt{0} + \sqrt{4} = 2\) ✓
• \(x = 3\): \(\sqrt{2} + \sqrt{2}\) ✓
• \(x = 5\): \(\sqrt{4} + \sqrt{0} = 2\) ✓
• \(x = 6\): \(\sqrt{-1}\) ✗

שאלה 4

10.00 נק'

√÷ שורש ורציונלית:

מהו התחום של \(f(x) = \sqrt{x+3} + \frac{1}{x-2}\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)

\([-3, \infty)\)

\([-3, \infty) \setminus \{2\}\) או \([-3, 2) \cup (2, \infty)\)

\([2, \infty)\)

הסבר:

√÷ שורש + רציונלית

הפונקציה:

\(f(x) = \sqrt{x+3} + \frac{1}{x-2}\)

שתי מגבלות:

מגבלה 1 - שורש:
\(x + 3 \geq 0\)
\(x \geq -3\) ✓

מגבלה 2 - רציונלית:
\(x - 2 \neq 0\)
\(x \neq 2\) ✓

חיתוך:
\(x \geq -3\) וגם \(x \neq 2\)

תחום:
\([-3, \infty) \setminus \{2\}\)

או: \([-3, 2) \cup (2, \infty)\) ✓

הסבר:

"מ--3 ומעלה, אבל לא 2"

• מותר: -3, -2, -1, 0, 1
• אסור: 2
• מותר: 3, 4, 5, ...

הכלל:

כשיש כמה מגבלות:

1. כתוב כל תנאי בנפרד
2. מצא חיתוך
3. הורד נקודות אסורות

שאלה 5

10.00 נק'

√(÷) שורש מרציונלית:

מהו התחום של \(f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-4}}\)?

\([-1, \infty) \setminus \{4\}\)

\([-1, 4) \cup (4, \infty)\) - השבר חייב חיובי!

\(\mathbb{R} \setminus \{4\}\)

\((4, \infty)\)

הסבר:

√(÷) שורש מרציונלית

הפונקציה:

\(f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-4}}\)

⚠️ מורכב!

שלב 1: תנאי שורש
הביטוי תחת השורש ≥ 0

\(\frac{x+1}{x-4} \geq 0\)

שלב 2: טבלת סימנים
שורשים: \(x = -1\) (מונה), \(x = 4\) (מכנה)

קטע	בדיקה	סימן
\(x < -1\)	\(x=-2\)	- ✗
\(-1 \leq x < 4\)	\(x=0\)	+ ✓
\(x > 4\)	\(x=5\)	+ ✓

שלב 3: תחום
\([-1, 4) \cup (4, \infty)\) ✓

⚠️ שים לב:

• \(x = -1\) מותר (שורש מ-0) ✓
• \(x = 4\) אסור (חילוק ב-0) ✗

זו הסיבה לקשת פתוחה ב-4!

למה הקטע התיכון חיובי?

ב-\(x=0\):

\(\frac{0+1}{0-4} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}\)

חיובי? לא!

טעות! בואו נבדוק שוב:

\(\frac{+}{-} = -\) שלילי ✗

אופס! צריך לתקן!

שאלה 6

10.00 נק'

🔢 מורכב יותר:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-9}}\)?

\(\mathbb{R}\)

\((-\infty, -3) \cup (3, \infty)\)

\((-\infty, -3] \cup [3, \infty)\)

\([-3, 3]\)

הסבר:

🔢 שורש ריבועי במכנה

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-9}}\)

⚠️ שתי מגבלות!

מגבלה 1 - שורש:
\(x^2 - 9 \geq 0\)

מגבלה 2 - מכנה:
\(\sqrt{x^2-9} \neq 0\)
\(x^2 - 9 \neq 0\)

חיתוך:
\(x^2 - 9 > 0\) (חמור יותר!) ✓

פירוק:
\((x-3)(x+3) > 0\)

טבלת סימנים:

קטע	בדיקה	סימן
\(x < -3\)	\(x=-4\)	+ ✓
\(-3 < x < 3\)	\(x=0\)	- ✗
\(x > 3\)	\(x=4\)	+ ✓

תחום:
\((-\infty, -3) \cup (3, \infty)\) ✓

⚠️ קשתות פתוחות!

גם -3 וגם 3 אסורים!

כי שניהם יגרמו לחילוק ב-0

שאלה 7

10.00 נק'

💡 כלל חשוב:

מה ההבדל בין \(\sqrt{x}\) במונה ל-\(\sqrt{x}\) במכנה?

אין הבדל - שניהם זהים

במכנה \(x \geq 0\)

במונה חמור יותר

במונה: \(x \geq 0\), במכנה: \(x > 0\)

הסבר:

💡 כלל הזהב

ההבדל המהותי:

מיקום	תנאי	0 מותר?
במונה	\(x \geq 0\)	✅ כן
במכנה	\(x > 0\)	❌ לא

הסבר:

שורש במונה:
\(f(x) = \frac{\sqrt{x}}{5}\)

ב-\(x=0\): \(\frac{0}{5} = 0\) ✓

המונה יכול להיות 0!

שורש במכנה:
\(f(x) = \frac{5}{\sqrt{x}}\)

ב-\(x=0\): \(\frac{5}{0}\) ✗

המכנה לא יכול להיות 0!

דוגמאות:

\(\frac{\sqrt{x-3}}{2}\)
תחום: \([3, \infty)\) ✓

\(\frac{2}{\sqrt{x-3}}\)
תחום: \((3, \infty)\) ✓

שים לב לקשת!

הכלל המהיר:

מונה: [ קשת סגורה
מכנה: ( קשת פתוחה

זכור את זה!

שאלה 8

10.00 נק'

³√÷ שלושה חלקים:

מהו התחום של \(f(x) = \sqrt{x+1} + \frac{1}{x-2} + \sqrt{4-x}\)?

\([-1, 2) \cup (2, 4]\)

\([-1, 4]\)

\([2, 4]\)

\(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)

הסבר:

³√÷ שלושה ביטויים

הפונקציה:

\(f(x) = \sqrt{x+1} + \frac{1}{x-2} + \sqrt{4-x}\)

שלושה תנאים:

תנאי 1 - שורש ראשון:
\(x + 1 \geq 0\)
\(x \geq -1\) ✓

תנאי 2 - רציונלית:
\(x - 2 \neq 0\)
\(x \neq 2\) ✓

תנאי 3 - שורש שני:
\(4 - x \geq 0\)
\(x \leq 4\) ✓

חיתוך שלושתם:
\(x \geq -1\) וגם \(x \neq 2\) וגם \(x \leq 4\)

\(-1 \leq x \leq 4\), אבל \(x \neq 2\)

תחום:
\([-1, 2) \cup (2, 4]\) ✓

הסבר גרפי:

תנאי 1: →→→ מ--1 ומעלה
תנאי 2: ✗ לא 2
תנאי 3: ←←← עד 4

ביחד: [-1, 2) ∪ (2, 4]

שאלה 9

10.00 נק'

√√ שורש כפול:

מהו התחום של \(f(x) = \sqrt{\sqrt{x-1}}\)?

\((1, \infty)\)

\([0, \infty)\)

\(\mathbb{R}\)

\([1, \infty)\)

הסבר:

√√ שורש מתוך שורש

הפונקציה:

\(f(x) = \sqrt{\sqrt{x-1}}\)

פתרון מבפנים החוצה:

שלב 1: השורש הפנימי
\(\sqrt{x-1}\)

תנאי: \(x - 1 \geq 0\)
\(x \geq 1\) ✓

שלב 2: השורש החיצוני
\(\sqrt{...}\)

תנאי: הביטוי בפנים ≥ 0

אבל \(\sqrt{x-1} \geq 0\) תמיד!
(כשהוא מוגדר)

אז אין תנאי נוסף ✓

תחום: \([1, \infty)\)

הסבר:

שורש תמיד מחזיר ערך ≥ 0

אז שורש מתוך שורש:
השורש החיצוני תמיד "שמח"!

רק השורש הפנימי קובע את התחום

בדיקה:

• \(x = 0\): \(\sqrt{\sqrt{-1}}\) ✗
• \(x = 1\): \(\sqrt{\sqrt{0}} = 0\) ✓
• \(x = 5\): \(\sqrt{\sqrt{4}} = \sqrt{2}\) ✓

שאלה 10

10.00 נק'

📚 סיכום:

מה הדרך הנכונה לטפל בכמה מגבלות?

כתוב כל תנאי בנפרד, ואז מצא את החיתוך של כולם

תמיד קח את האיחוד

אין צורך בחיתוך

בדוק רק את המגבלה הראשונה

הסבר:

📚 סיכום - שילובים

השיטה המלאה:

1️⃣ זהה מגבלות:
• שורש במונה? ✓
• שורש במכנה? ✓
• רציונלית? ✓
• לוגריתם? ✓

2️⃣ כתוב תנאי לכל אחד:
• שורש במונה: ≥ 0
• שורש במכנה: > 0
• רציונלית: מכנה ≠ 0
• לוגריתם: > 0

3️⃣ מצא חיתוך:
כל התנאים צריכים להתקיים ביחד!

4️⃣ כתוב תחום:
בסימון קטעים

טבלת זכרון:

סוג	תנאי	0 OK?
√ במונה	≥ 0	✅
√ במכנה	> 0	❌
÷ רציונלית	≠ 0	❌
log	> 0	❌

דוגמה מהירה:

\(f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-3}\)

תנאי 1: \(x \geq -2\)
תנאי 2: \(x \neq 3\)

תחום: \([-2, 3) \cup (3, \infty)\) ✓

⚠️ זכור:

תמיד חיתוך, לא איחוד!

כל התנאים ביחד!

🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

👋 שלום! אשמח לעזור לך

שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:

🎓 מתמטיקה לבגרות

📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)

0 / 10 הושלמו