אורח מצב צפייה מבחן: תחום הגדרה - מעריכיות

"רכשתי קורס בסטטיסטיקה אחרי המלצות רבות ועכשיו אני מבין את הביקורות הטובות.... הקורס מאוד ידידותי עם חזרה על החומר והסברים מאוד איכותיים."

תחום הגדרה - מעריכיות

מבחן תחום הגדרה מעריכיות - aˣ מוגדרת לכל x, e^x, מעריכית במכנה, שילוב עם שורש ולוג.

מבחן זה מכסה: מעריכית בסיסית e^x - מעריכית טבעית מעריכית עם ביטוי בחזקה מעריכית במכנה שורש ממעריכית לוג ממעריכית מעריכית מורכבת שילוב עם רציונלית ההבדל בין מעריכית ללוגריתם סיכום מלא

בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד

מספר שאלות: 10

ניקוד כולל: 100 נק'

שאלה 1

10.00 נק'

📈 מעריכית בסיסית:

מהו התחום של \(f(x) = 2^x\)?

\(\mathbb{R}\) - תמיד מוגדר!

\((0, \infty)\)

\([0, \infty)\)

\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

הסבר:

📈 מעריכית בסיסית

הפונקציה:

\(f(x) = 2^x\)

✅ ללא מגבלות!

פונקציה מעריכית תמיד מוגדרת לכל \(x \in \mathbb{R}\)!

תחום: \(\mathbb{R}\) ✓

למה?

אפשר להעלות בחזקה כל מספר!

• \(2^{-3} = \frac{1}{8}\) ✓
• \(2^0 = 1\) ✓
• \(2^{0.5} = \sqrt{2}\) ✓
• \(2^5 = 32\) ✓

הכל מוגדר!

הכלל הכללי:

כל פונקציה מעריכית:

• \(a^x\) (כאשר \(a > 0, a \neq 1\))
• \(e^x\)
• \(10^x\)

תחום: \(\mathbb{R}\) תמיד! ✓

שימו לב:

הטווח של \(2^x\) הוא \((0, \infty)\)

אבל התחום הוא \(\mathbb{R}\)!

אל תבלבלו בין תחום לטווח

שאלה 2

10.00 נק'

📊 מעריכית טבעית:

מהו התחום של \(f(x) = e^x\)?

\((0, \infty)\)

\(\mathbb{R}^+\)

\(\mathbb{R}\) - תמיד מוגדר!

\([1, \infty)\)

הסבר:

📊 מעריכית טבעית

הפונקציה:

\(f(x) = e^x\)

✅ ללא מגבלות!

\(e\) הוא מספר קבוע (\(e \approx 2.718\))

אותו כלל בדיוק כמו \(2^x\)!

תחום: \(\mathbb{R}\) ✓

דוגמאות:

• \(e^{-2} \approx 0.135\) ✓
• \(e^0 = 1\) ✓
• \(e^1 = e \approx 2.718\) ✓
• \(e^5 \approx 148.4\) ✓

הכל מוגדר!

הזכרה:

\(e^x\) ו-\(\ln(x)\) הן פונקציות הופכיות!

• \(e^x\): תחום = \(\mathbb{R}\), טווח = \((0, \infty)\)
• \(\ln(x)\): תחום = \((0, \infty)\), טווח = \(\mathbb{R}\)

תחום של אחת = טווח של השנייה!

שאלה 3

10.00 נק'

📐 עם ביטוי:

מהו התחום של \(f(x) = 3^{x-5}\)?

\([5, \infty)\)

\(\mathbb{R}\) - הביטוי בחזקה לא משנה!

\(\mathbb{R} \setminus \{5\}\)

\((5, \infty)\)

הסבר:

📐 מעריכית עם ביטוי

הפונקציה:

\(f(x) = 3^{x-5}\)

✅ עדיין ללא מגבלות!

לא משנה מה יש בחזקה -
המעריכית תמיד מוגדרת!

תחום: \(\mathbb{R}\) ✓

למה?

• \(x = 0\): \(3^{-5} = \frac{1}{243}\) ✓
• \(x = 5\): \(3^0 = 1\) ✓
• \(x = 10\): \(3^5 = 243\) ✓

אפשר להציב כל x!

הכלל:

לכל ביטוי בחזקה:

• \(2^{x+3}\) → \(\mathbb{R}\)
• \(e^{2x-1}\) → \(\mathbb{R}\)
• \(5^{x^2+7}\) → \(\mathbb{R}\)

תמיד \(\mathbb{R}\)!

שים לב:

זה שונה מלוגריתם!

לוג: \(\log(x-5)\) → \((5, \infty)\)
מעריכית: \(3^{x-5}\) → \(\mathbb{R}\)

המעריכית הרבה יותר "נוחה"!

שאלה 4

10.00 נק'

÷📈 מעריכית במכנה:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{1}{2^x - 1}\)?

\((0, \infty)\)

\(\mathbb{R}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) - איפה המכנה = 0

\(\mathbb{R} \setminus \{1\}\)

הסבר:

÷📈 מעריכית במכנה

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{1}{2^x - 1}\)

⚠️ יש מגבלה!

תנאי:
המכנה ≠ 0

\(2^x - 1 \neq 0\)

\(2^x \neq 1\)

מתי \(2^x = 1\)?

רק כאשר \(x = 0\)!

(כי \(2^0 = 1\))

תחום:
\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) ✓

הסבר:

• \(x = -1\): \(\frac{1}{0.5-1} = -2\) ✓
• \(x = 0\): \(\frac{1}{1-1} = \frac{1}{0}\) ✗
• \(x = 1\): \(\frac{1}{2-1} = 1\) ✓
• \(x = 2\): \(\frac{1}{4-1} = \frac{1}{3}\) ✓

כלל כללי:

\(\frac{1}{a^x - c}\)

פתור: \(a^x = c\)

האפסים של המכנה = נקודות אסורות

שאלה 5

10.00 נק'

√📈 שורש ממעריכית:

מהו התחום של \(f(x) = \sqrt{e^x - 1}\)?

\([0, \infty)\) - איפה המעריכית ≥ 1

\(\mathbb{R}\)

\((0, \infty)\)

\([1, \infty)\)

הסבר:

√📈 שורש ממעריכית

הפונקציה:

\(f(x) = \sqrt{e^x - 1}\)

תנאי:

\(e^x - 1 \geq 0\)

\(e^x \geq 1\)

מתי \(e^x \geq 1\)?

\(e^x = 1\) כאשר \(x = 0\)

ו-\(e^x\) פונקציה עולה!

אז \(e^x \geq 1\) כאשר \(x \geq 0\) ✓

תחום: \([0, \infty)\)

הסבר:

• \(x = -1\): \(\sqrt{e^{-1}-1} = \sqrt{0.368-1}\) ✗ שלילי!
• \(x = 0\): \(\sqrt{1-1} = 0\) ✓
• \(x = 1\): \(\sqrt{e-1} \approx 1.3\) ✓
• \(x = 2\): \(\sqrt{e^2-1} \approx 2.5\) ✓

למה דווקא 0?

\(e^0 = 1\)

זו הנקודה שבה \(e^x - 1 = 0\)

משם ומעלה המעריכית > 1 ✓

שאלה 6

10.00 נק'

📊📈 לוג ממעריכית:

מהו התחום של \(f(x) = \ln(2^x + 3)\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{-3\}\)

\(\mathbb{R}\) - המעריכית תמיד חיובית!

\((0, \infty)\)

\((-3, \infty)\)

הסבר:

📊📈 לוג ממעריכית

הפונקציה:

\(f(x) = \ln(2^x + 3)\)

ניתוח:

תנאי:
\(2^x + 3 > 0\)

\(2^x > -3\)

האם זה אפשרי?

\(2^x > 0\) תמיד!

(מעריכית תמיד חיובית)

אז \(2^x + 3 > 3 > 0\) תמיד! ✓

תחום: \(\mathbb{R}\)

למה?

הביטוי בתוך הלוג:

\(2^x + 3\)

• המינימום של \(2^x\) הוא 0
(כש-\(x \to -\infty\))

• אז \(2^x + 3 \geq 3\)

• תמיד חיובי! ✓

הכלל הכללי:

\(\ln(a^x + c)\)

כאשר \(c > 0\):

תחום = \(\mathbb{R}\) ✓

(המעריכית + קבוע חיובי = תמיד חיובי)

דוגמאות נוספות:

• \(\log(e^x + 5)\) → \(\mathbb{R}\) ✓
• \(\ln(3^x + 1)\) → \(\mathbb{R}\) ✓
• \(\ln(2^x - 1)\) → יש בעיה! ⚠️

שאלה 7

10.00 נק'

🔧 מורכבת:

מהו התחום של \(f(x) = e^{\sqrt{x}}\)?

\([0, \infty)\) - השורש קובע!

\((0, \infty)\)

\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

\(\mathbb{R}\)

הסבר:

🔧 מעריכית מורכבת

הפונקציה:

\(f(x) = e^{\sqrt{x}}\)

⚠️ שים לב לסדר!

ניתוח מבפנים החוצה:

1. השורש:
\(\sqrt{x}\) מוגדר כאשר \(x \geq 0\)

2. המעריכית:
\(e^{...}\) תמיד מוגדרת

המגבלה: רק מהשורש!

תחום: \([0, \infty)\) ✓

הסבר:

• \(x = -1\): \(\sqrt{-1}\) לא מוגדר ✗
• \(x = 0\): \(e^0 = 1\) ✓
• \(x = 1\): \(e^1 = e\) ✓
• \(x = 4\): \(e^2 \approx 7.4\) ✓

הכלל:

פונקציה מורכבת:

\(f(g(x))\)

תחום = תחום של \(g(x)\)
(הפונקציה הפנימית)

אם \(f\) מעריכית - היא לא מוסיפה מגבלות!

שאלה 8

10.00 נק'

÷📈 שילוב:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{e^x}{x-1}\)?

\([1, \infty)\)

\(\mathbb{R}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) - רק המכנה מגביל

\((1, \infty)\)

הסבר:

÷📈 שילוב רציונלית ומעריכית

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{e^x}{x-1}\)

ניתוח:

המונה: \(e^x\)
מוגדר לכל \(x\) ✓

המכנה: \(x-1\)
אסור שיתאפס!

\(x - 1 \neq 0\)
\(x \neq 1\) ✓

תחום:
\(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) ✓

הסבר:

המעריכית לא מגבילה!

רק המכנה קובע:

• \(x = 0\): \(\frac{1}{-1} = -1\) ✓
• \(x = 1\): \(\frac{e}{0}\) ✗
• \(x = 2\): \(\frac{e^2}{1} = e^2\) ✓

הכלל:

כשיש מעריכית:

התעלם ממנה לצורך תחום!

התמקד במגבלות אחרות:
• מכנה ≠ 0
• שורש ≥ 0
• לוג > 0

שאלה 9

10.00 נק'

💡 השוואה:

מה ההבדל בין תחום של \(e^x\) ל-\(\ln(x)\)?

שניהם \((0, \infty)\)

אין הבדל

\(e^x\): \(\mathbb{R}\), \(\ln(x)\): \((0, \infty)\) - הופכיות!

שניהם \(\mathbb{R}\)

הסבר:

💡 מעריכית VS לוגריתם

טבלת השוואה:

פונקציה	תחום	טווח
\(e^x\)	\(\mathbb{R}\)	\((0, \infty)\)
\(\ln(x)\)	\((0, \infty)\)	\(\mathbb{R}\)

שימו לב:

הן פונקציות הופכיות!

• תחום של אחת = טווח של השנייה
• טווח של אחת = תחום של השנייה

למה התחומים שונים?

מעריכית:
אפשר להעלות בכל חזקה!
אין מגבלות ✓

לוגריתם:
רק מחיוביים!
לא מ-0 או שליליים ✗

הכלל המהיר:

מעריכית:
תחום = \(\mathbb{R}\) (רחב!)
טווח = \((0, \infty)\) (מצומצם)

לוגריתם:
תחום = \((0, \infty)\) (מצומצם)
טווח = \(\mathbb{R}\) (רחב!)

הפוכים!

שאלה 10

10.00 נק'

📚 סיכום:

מהו התחום של כל פונקציה מעריכית \(a^x\)?

\([0, \infty)\)

תמיד \(\mathbb{R}\) - ללא מגבלות!

תלוי ב-a

\((0, \infty)\)

הסבר:

📚 סיכום - מעריכית

הכלל הזהב:

כל פונקציה מעריכית

\(a^x\) (כאשר \(a > 0, a \neq 1\))

תחום = \(\mathbb{R}\) תמיד!

דוגמאות:

פונקציה	תחום
\(2^x\)	\(\mathbb{R}\)
\(e^x\)	\(\mathbb{R}\)
\(3^{x-5}\)	\(\mathbb{R}\)
\(e^{x^2+1}\)	\(\mathbb{R}\)

מתי יש מגבלות?

רק כשיש משהו נוסף:

• שורש: \(\sqrt{e^x-1}\) → \([0, \infty)\)
• מכנה: \(\frac{1}{2^x-1}\) → \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)
• לוג: \(\ln(e^x-5)\) → יש מגבלה

המעריכית עצמה לא מגבילה!

זכור את ההבדל:

מעריכית: תחום = \(\mathbb{R}\) ✅
(נוח מאוד!)

לוגריתם: תחום = \((0, \infty)\) ⚠️
(יש מגבלות!)

פונקציות הופכיות!

⚠️ נקודות חשובות:

• \(a^x\) תמיד חיובי (טווח)
• \(a^x\) מוגדר לכל x (תחום)
• \(a^0 = 1\) תמיד
• בסיס a חייב > 0 ושונה מ-1

🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

👋 שלום! אשמח לעזור לך

שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:

🎓 מתמטיקה לבגרות

📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)

0 / 10 הושלמו