אורח מצב צפייה מבחן: תחום הגדרה - מעריכיות
מספר שאלות: 10
ניקוד כולל: 100.00 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

📈 מעריכית בסיסית:

מהו התחום של \(f(x) = 2^x\)?

הסבר:
📈 מעריכית בסיסית

הפונקציה:

\(f(x) = 2^x\)

✅ ללא מגבלות!

פונקציה מעריכית תמיד מוגדרת לכל \(x \in \mathbb{R}\)!

תחום: \(\mathbb{R}\) ✓

למה?

אפשר להעלות בחזקה כל מספר!

• \(2^{-3} = \frac{1}{8}\) ✓
• \(2^0 = 1\) ✓
• \(2^{0.5} = \sqrt{2}\) ✓
• \(2^5 = 32\) ✓

הכל מוגדר!

2^xמוגדר בכל מקום ✓
הכלל הכללי:

כל פונקציה מעריכית:

• \(a^x\) (כאשר \(a > 0, a \neq 1\))
• \(e^x\)
• \(10^x\)

תחום: \(\mathbb{R}\) תמיד! ✓

שימו לב:

הטווח של \(2^x\) הוא \((0, \infty)\)

אבל התחום הוא \(\mathbb{R}\)!

אל תבלבלו בין תחום לטווח
שאלה 2
10.00 נק'

📊 מעריכית טבעית:

מהו התחום של \(f(x) = e^x\)?

הסבר:
📊 מעריכית טבעית

הפונקציה:

\(f(x) = e^x\)

✅ ללא מגבלות!

\(e\) הוא מספר קבוע (\(e \approx 2.718\))

אותו כלל בדיוק כמו \(2^x\)!

תחום: \(\mathbb{R}\) ✓

דוגמאות:

• \(e^{-2} \approx 0.135\) ✓
• \(e^0 = 1\) ✓
• \(e^1 = e \approx 2.718\) ✓
• \(e^5 \approx 148.4\) ✓

הכל מוגדר!

e^x
הזכרה:

\(e^x\) ו-\(\ln(x)\) הן פונקציות הופכיות!

• \(e^x\): תחום = \(\mathbb{R}\), טווח = \((0, \infty)\)
• \(\ln(x)\): תחום = \((0, \infty)\), טווח = \(\mathbb{R}\)

תחום של אחת = טווח של השנייה!
שאלה 3
10.00 נק'

📐 עם ביטוי:

מהו התחום של \(f(x) = 3^{x-5}\)?

הסבר:
📐 מעריכית עם ביטוי

הפונקציה:

\(f(x) = 3^{x-5}\)

✅ עדיין ללא מגבלות!

לא משנה מה יש בחזקה -
המעריכית תמיד מוגדרת!

תחום: \(\mathbb{R}\) ✓

למה?

• \(x = 0\): \(3^{-5} = \frac{1}{243}\) ✓
• \(x = 5\): \(3^0 = 1\) ✓
• \(x = 10\): \(3^5 = 243\) ✓

אפשר להציב כל x!

הכלל:

לכל ביטוי בחזקה:

• \(2^{x+3}\) → \(\mathbb{R}\)
• \(e^{2x-1}\) → \(\mathbb{R}\)
• \(5^{x^2+7}\) → \(\mathbb{R}\)

תמיד \(\mathbb{R}\)!

שים לב:

זה שונה מלוגריתם!

לוג: \(\log(x-5)\) → \((5, \infty)\)
מעריכית: \(3^{x-5}\) → \(\mathbb{R}\)

המעריכית הרבה יותר "נוחה"!
שאלה 4
10.00 נק'

÷📈 מעריכית במכנה:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{1}{2^x - 1}\)?

הסבר:
÷📈 מעריכית במכנה

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{1}{2^x - 1}\)

⚠️ יש מגבלה!

תנאי:
המכנה ≠ 0

\(2^x - 1 \neq 0\)

\(2^x \neq 1\)

מתי \(2^x = 1\)?

רק כאשר \(x = 0\)!

(כי \(2^0 = 1\))

תחום:
\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) ✓

הסבר:

• \(x = -1\): \(\frac{1}{0.5-1} = -2\) ✓
• \(x = 0\): \(\frac{1}{1-1} = \frac{1}{0}\) ✗
• \(x = 1\): \(\frac{1}{2-1} = 1\) ✓
• \(x = 2\): \(\frac{1}{4-1} = \frac{1}{3}\) ✓

0מותרמותר
כלל כללי:

\(\frac{1}{a^x - c}\)

פתור: \(a^x = c\)

האפסים של המכנה = נקודות אסורות
שאלה 5
10.00 נק'

√📈 שורש ממעריכית:

מהו התחום של \(f(x) = \sqrt{e^x - 1}\)?

הסבר:
√📈 שורש ממעריכית

הפונקציה:

\(f(x) = \sqrt{e^x - 1}\)

תנאי:

\(e^x - 1 \geq 0\)

\(e^x \geq 1\)

מתי \(e^x \geq 1\)?

\(e^x = 1\) כאשר \(x = 0\)

ו-\(e^x\) פונקציה עולה!

אז \(e^x \geq 1\) כאשר \(x \geq 0\) ✓

תחום: \([0, \infty)\)

הסבר:

• \(x = -1\): \(\sqrt{e^{-1}-1} = \sqrt{0.368-1}\) ✗ שלילי!
• \(x = 0\): \(\sqrt{1-1} = 0\) ✓
• \(x = 1\): \(\sqrt{e-1} \approx 1.3\) ✓
• \(x = 2\): \(\sqrt{e^2-1} \approx 2.5\) ✓

0אסורמותר
למה דווקא 0?

\(e^0 = 1\)

זו הנקודה שבה \(e^x - 1 = 0\)

משם ומעלה המעריכית > 1 ✓
שאלה 6
10.00 נק'

📊📈 לוג ממעריכית:

מהו התחום של \(f(x) = \ln(2^x + 3)\)?

הסבר:
📊📈 לוג ממעריכית

הפונקציה:

\(f(x) = \ln(2^x + 3)\)

ניתוח:

תנאי:
\(2^x + 3 > 0\)

\(2^x > -3\)

האם זה אפשרי?

\(2^x > 0\) תמיד!

(מעריכית תמיד חיובית)

אז \(2^x + 3 > 3 > 0\) תמיד! ✓

תחום: \(\mathbb{R}\)

למה?

הביטוי בתוך הלוג:

\(2^x + 3\)

• המינימום של \(2^x\) הוא 0
(כש-\(x \to -\infty\))

• אז \(2^x + 3 \geq 3\)

• תמיד חיובי! ✓

הכלל הכללי:

\(\ln(a^x + c)\)

כאשר \(c > 0\):

תחום = \(\mathbb{R}\) ✓

(המעריכית + קבוע חיובי = תמיד חיובי)

דוגמאות נוספות:

• \(\log(e^x + 5)\) → \(\mathbb{R}\) ✓
• \(\ln(3^x + 1)\) → \(\mathbb{R}\) ✓
• \(\ln(2^x - 1)\) → יש בעיה! ⚠️
שאלה 7
10.00 נק'

🔧 מורכבת:

מהו התחום של \(f(x) = e^{\sqrt{x}}\)?

הסבר:
🔧 מעריכית מורכבת

הפונקציה:

\(f(x) = e^{\sqrt{x}}\)

⚠️ שים לב לסדר!

ניתוח מבפנים החוצה:

1. השורש:
\(\sqrt{x}\) מוגדר כאשר \(x \geq 0\)

2. המעריכית:
\(e^{...}\) תמיד מוגדרת

המגבלה: רק מהשורש!

תחום: \([0, \infty)\) ✓

הסבר:

• \(x = -1\): \(\sqrt{-1}\) לא מוגדר ✗
• \(x = 0\): \(e^0 = 1\) ✓
• \(x = 1\): \(e^1 = e\) ✓
• \(x = 4\): \(e^2 \approx 7.4\) ✓

0
הכלל:

פונקציה מורכבת:

\(f(g(x))\)

תחום = תחום של \(g(x)\)
(הפונקציה הפנימית)

אם \(f\) מעריכית - היא לא מוסיפה מגבלות!
שאלה 8
10.00 נק'

÷📈 שילוב:

מהו התחום של \(f(x) = \frac{e^x}{x-1}\)?

הסבר:
÷📈 שילוב רציונלית ומעריכית

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{e^x}{x-1}\)

ניתוח:

המונה: \(e^x\)
מוגדר לכל \(x\) ✓

המכנה: \(x-1\)
אסור שיתאפס!

\(x - 1 \neq 0\)
\(x \neq 1\) ✓

תחום:
\(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) ✓

הסבר:

המעריכית לא מגבילה!

רק המכנה קובע:

• \(x = 0\): \(\frac{1}{-1} = -1\) ✓
• \(x = 1\): \(\frac{e}{0}\) ✗
• \(x = 2\): \(\frac{e^2}{1} = e^2\) ✓

1
הכלל:

כשיש מעריכית:

התעלם ממנה לצורך תחום!

התמקד במגבלות אחרות:
• מכנה ≠ 0
• שורש ≥ 0
• לוג > 0
שאלה 9
10.00 נק'

💡 השוואה:

מה ההבדל בין תחום של \(e^x\) ל-\(\ln(x)\)?

הסבר:
💡 מעריכית VS לוגריתם

טבלת השוואה:

פונקציהתחוםטווח
\(e^x\)\(\mathbb{R}\)\((0, \infty)\)
\(\ln(x)\)\((0, \infty)\)\(\mathbb{R}\)

שימו לב:

הן פונקציות הופכיות!

• תחום של אחת = טווח של השנייה
• טווח של אחת = תחום של השנייה

למה התחומים שונים?

מעריכית:
אפשר להעלות בכל חזקה!
אין מגבלות ✓

לוגריתם:
רק מחיוביים!
לא מ-0 או שליליים ✗

הכלל המהיר:

מעריכית:
תחום = \(\mathbb{R}\) (רחב!)
טווח = \((0, \infty)\) (מצומצם)

לוגריתם:
תחום = \((0, \infty)\) (מצומצם)
טווח = \(\mathbb{R}\) (רחב!)

הפוכים!
שאלה 10
10.00 נק'

📚 סיכום:

מהו התחום של כל פונקציה מעריכית \(a^x\)?

הסבר:
📚 סיכום - מעריכית

הכלל הזהב:

כל פונקציה מעריכית

\(a^x\) (כאשר \(a > 0, a \neq 1\))

תחום = \(\mathbb{R}\) תמיד!

דוגמאות:

פונקציהתחום
\(2^x\)\(\mathbb{R}\)
\(e^x\)\(\mathbb{R}\)
\(3^{x-5}\)\(\mathbb{R}\)
\(e^{x^2+1}\)\(\mathbb{R}\)

מתי יש מגבלות?

רק כשיש משהו נוסף:

• שורש: \(\sqrt{e^x-1}\) → \([0, \infty)\)
• מכנה: \(\frac{1}{2^x-1}\) → \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)
• לוג: \(\ln(e^x-5)\) → יש מגבלה

המעריכית עצמה לא מגבילה!

זכור את ההבדל:

מעריכית: תחום = \(\mathbb{R}\) ✅
(נוח מאוד!)

לוגריתם: תחום = \((0, \infty)\) ⚠️
(יש מגבלות!)

פונקציות הופכיות!

⚠️ נקודות חשובות:

• \(a^x\) תמיד חיובי (טווח)
• \(a^x\) מוגדר לכל x (תחום)
• \(a^0 = 1\) תמיד
• בסיס a חייב > 0 ושונה מ-1
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 10 הושלמו