אורח מצב צפייה מבחן: טווח - פונקציות מורכבות

"רכשתי קורס בסטטיסטיקה אחרי המלצות רבות ועכשיו אני מבין את הביקורות הטובות.... הקורס מאוד ידידותי עם חזרה על החומר והסברים מאוד איכותיים."

טווח - פונקציות מורכבות

מבחן טווח פונקציות מורכבות - ריבועית עם קודקוד, רציונלית, שורש ומעריכית מוזזים, שיטות מציאת טווח.

ריבועית עם קודקוד (מקסימום) ריבועית עם קודקוד (מינימום) ריבועית בצורה כללית (השלמה לריבוע) רציונלית פשוטה 1/x רציונלית מוזזת שורש מוזז מעריכית מוזזת סכום פונקציות שיטה כללית למציאת טווח סיכום מלא

בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד

מספר שאלות: 10

ניקוד כולל: 100 נק'

שאלה 1

10.00 נק'

² ריבועית עם קודקוד:

מהו הטווח של \(f(x) = -(x-2)^2 + 5\)?

\((-\infty, 2]\)

\([5, \infty)\)

\((-\infty, 5]\) - מקסימום ב-5

\(\mathbb{R}\)

הסבר:

² ריבועית עם קודקוד

הפונקציה:

\(f(x) = -(x-2)^2 + 5\)

צורת קודקוד:

\(f(x) = a(x-h)^2 + k\)

כאשר:
• \(a = -1\) (שלילי!) ↓
• \(h = 2\) (קודקוד x)
• \(k = 5\) (קודקוד y)

ניתוח:

• פרבולה פתוחה כלפי מטה (a < 0)
• קודקוד ב-\((2, 5)\)
• זהו נקודת מקסימום! ✓

טווח: \((-\infty, 5]\)

הסבר:

• הערך המקסימלי: 5 (בקודקוד)
• ככל ש-x מתרחק מ-2, f(x) יורד
• \(x \to \pm\infty\) ⇒ \(f(x) \to -\infty\)

אפשר לקבל כל ערך ≤ 5 ✓

הכלל:

\(f(x) = a(x-h)^2 + k\)

• אם \(a > 0\) (↑): טווח = \([k, \infty)\)
• אם \(a < 0\) (↓): טווח = \((-\infty, k]\)

k = ערך בקודקוד!

שאלה 2

10.00 נק'

²↑ ריבועית עולה:

מהו הטווח של \(f(x) = 2(x+1)^2 - 3\)?

\(\mathbb{R}\)

\((-\infty, -3]\)

\([2, \infty)\)

\([-3, \infty)\) - מינימום ב--3

הסבר:

²↑ ריבועית עולה

הפונקציה:

\(f(x) = 2(x+1)^2 - 3\)

זיהוי:

\(f(x) = a(x-h)^2 + k\)

כאשר:
• \(a = 2\) (חיובי!) ↑
• \(h = -1\) (קודקוד x)
• \(k = -3\) (קודקוד y)

ניתוח:

• פרבולה פתוחה כלפי מעלה (a > 0)
• קודקוד ב-\((-1, -3)\)
• זהו נקודת מינימום! ✓

טווח: \([-3, \infty)\)

הסבר:

• הערך המינימלי: -3 (בקודקוד)
• ככל ש-x מתרחק מ--1, f(x) עולה
• \(x \to \pm\infty\) ⇒ \(f(x) \to \infty\)

אפשר לקבל כל ערך ≥ -3 ✓

מקדם a:

• \(a = 2\) (גדול מ-1)
• הפרבולה "צרה" יותר
• עולה מהר יותר

אבל זה לא משפיע על הטווח!
רק k חשוב!

שאלה 3

10.00 נק'

²📐 צורה כללית:

מהו הטווח של \(f(x) = x^2 - 4x + 7\)?

\(\mathbb{R}\)

\([3, \infty)\) - צריך למצוא קודקוד!

\([0, \infty)\)

\([7, \infty)\)

הסבר:

²📐 צורה כללית

הפונקציה:

\(f(x) = x^2 - 4x + 7\)

⚠️ לא בצורת קודקוד!

צריך להעביר לצורת קודקוד:

שיטה 1: השלמה לריבוע מלא

\(f(x) = x^2 - 4x + 7\)

\(= (x^2 - 4x + 4) - 4 + 7\)

\(= (x-2)^2 + 3\) ✓

עכשיו רואים:
• \(a = 1 > 0\) (↑)
• קודקוד: \((2, 3)\)
• מינימום: 3

טווח: \([3, \infty)\)

שיטה 2: נוסחת קודקוד

לפונקציה \(f(x) = ax^2 + bx + c\):

\(x_v = -\frac{b}{2a}\)

כאן: \(x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\)

\(y_v = f(2) = 4 - 8 + 7 = 3\) ✓

אותה תוצאה!

בדיקה:

• \(f(2) = 4 - 8 + 7 = 3\) ✓ מינימום
• \(f(0) = 7\) ✓ > 3
• \(f(10) = 100 - 40 + 7 = 67\) ✓ > 3

שאלה 4

10.00 נק'

÷ רציונלית:

מהו הטווח של \(f(x) = \frac{1}{x}\) (תחום: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\))?

\(\mathbb{R}\)

\([1, \infty)\)

\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) או \((-\infty, 0) \cup (0, \infty)\)

\((0, \infty)\)

הסבר:

÷ רציונלית פשוטה

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{1}{x}\)

תחום: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

ניתוח:

האם יכול להיות \(y = 0\)?

\(\frac{1}{x} = 0\)

אין פתרון! \(\frac{1}{x}\) אף פעם לא = 0 ✗

כל ערך אחר?

לכל \(y \neq 0\):

\(\frac{1}{x} = y\) ⇒ \(x = \frac{1}{y}\) ✓

אפשר להגיע לכל y חוץ מ-0!

טווח: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

מעניין!

תחום = טווח!

• תחום: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)
• טווח: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

זו פונקציה הופכית לעצמה!

דוגמאות:

• \(y = 5\)? \(x = \frac{1}{5}\) ✓
• \(y = -2\)? \(x = -\frac{1}{2}\) ✓
• \(y = 0\)? אין פתרון ✗
• \(y = 0.001\)? \(x = 1000\) ✓

שאלה 5

10.00 נק'

÷↕️ רציונלית מוזזת:

מהו הטווח של \(f(x) = \frac{1}{x} + 2\)?

\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

\(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) - מוזז ב-2 כלפי מעלה!

\(\mathbb{R}\)

\([2, \infty)\)

הסבר:

÷↕️ רציונלית מוזזת

הפונקציה:

\(f(x) = \frac{1}{x} + 2\)

ניתוח:

זו \(\frac{1}{x}\) מוזזת 2 למעלה ↑

האם יכול להיות \(y = 2\)?

\(\frac{1}{x} + 2 = 2\)

\(\frac{1}{x} = 0\)

אין פתרון! ✗

כל ערך אחר?

לכל \(y \neq 2\):

\(\frac{1}{x} + 2 = y\)

\(\frac{1}{x} = y - 2\)

\(x = \frac{1}{y-2}\) ✓

טווח: \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\)

הכלל:

\(f(x) = \frac{1}{x} + c\)

טווח: \(\mathbb{R} \setminus \{c\}\)

הערך האסור = ההזזה!

דוגמאות:

• \(y = 3\)? \(x = 1\) ✓
• \(y = 2\)? אין פתרון ✗
• \(y = 1\)? \(x = -1\) ✓
• \(y = 100\)? \(x = \frac{1}{98}\) ✓

שאלה 6

10.00 נק'

√↕️ שורש מוזז:

מהו הטווח של \(f(x) = \sqrt{x} - 2\) (תחום: \([0, \infty)\))?

\((-\infty, -2]\)

\([2, \infty)\)

\([0, \infty)\)

\([-2, \infty)\) - מוזז 2 למטה!

הסבר:

√↕️ שורש מוזז

הפונקציה:

\(f(x) = \sqrt{x} - 2\)

תחום: \([0, \infty)\)

ניתוח:

זו \(\sqrt{x}\) מוזזת 2 למטה ↓

המינימום:

ב-\(x = 0\) (קצה התחום):

\(f(0) = \sqrt{0} - 2 = -2\) ✓

המקסימום:

\(x \to \infty\) ⇒ \(\sqrt{x} \to \infty\)

אז \(f(x) \to \infty\) ✓

טווח: \([-2, \infty)\)

הסבר:

• \(\sqrt{x} \in [0, \infty)\)
• אז \(\sqrt{x} - 2 \in [-2, \infty)\)

הזזה אנכית של 2 למטה!

הכלל:

\(f(x) = \sqrt{x} + c\)

טווח: \([c, \infty)\)

c = ההזזה האנכית!

שאלה 7

10.00 נק'

📈↕️ מעריכית מוזזת:

מהו הטווח של \(f(x) = 2^x - 3\)?

\([-3, \infty)\)

\(\mathbb{R}\)

\((-3, \infty)\) - מוזז 3 למטה!

\((0, \infty)\)

הסבר:

📈↕️ מעריכית מוזזת

הפונקציה:

\(f(x) = 2^x - 3\)

ניתוח:

זו \(2^x\) מוזזת 3 למטה ↓

טווח של \(2^x\):
\((0, \infty)\)

הזזה של 3 למטה:
\((0, \infty) - 3 = (-3, \infty)\) ✓

מה קורה?

• \(x \to -\infty\): \(2^x \to 0^+\)
אז \(2^x - 3 \to -3^+\)

• \(x \to \infty\): \(2^x \to \infty\)
אז \(2^x - 3 \to \infty\)

טווח: \((-3, \infty)\)

⚠️ קשת פתוחה!

-3 לא בטווח!

הפונקציה מתקרבת ל--3

אבל אף פעם לא מגיעה!

(אסימפטוטה אופקית)

הכלל:

\(f(x) = a^x + c\)

טווח: \((c, \infty)\)

אסימפטוטה אופקית: \(y = c\)

שאלה 8

10.00 נק'

➕ סכום:

מהו הטווח של \(f(x) = x^2 + |x|\)?

\([0, \infty)\) - סכום של שתי לא-שליליות!

\(\mathbb{R}\)

\([1, \infty)\)

\((0, \infty)\)

הסבר:

➕ סכום פונקציות

הפונקציה:

\(f(x) = x^2 + |x|\)

ניתוח:

שתי פונקציות:

• \(x^2 \geq 0\) תמיד
• \(|x| \geq 0\) תמיד

אז \(x^2 + |x| \geq 0\) תמיד! ✓

המינימום:

מתי שניהם = 0?

רק ב-\(x = 0\):

\(f(0) = 0 + 0 = 0\) ✓

המקסימום:

\(x \to \pm\infty\) ⇒ \(f(x) \to \infty\)

טווח: \([0, \infty)\)

הכלל:

אם \(g(x) \geq 0\) ו-\(h(x) \geq 0\)

אז \(g(x) + h(x) \geq 0\)

הסכום גם לא-שלילי!

בדיקה:

• \(f(-2) = 4 + 2 = 6\) ✓
• \(f(0) = 0 + 0 = 0\) ✓
• \(f(3) = 9 + 3 = 12\) ✓

כולם ≥ 0 ✓

שאלה 9

10.00 נק'

💡 איך למצוא טווח?

מה השיטה הכללית?

תמיד זה כמו התחום

בדוק רק ב-0

פתור \(y = f(x)\) עבור x, מצא מתי יש פתרון

אין שיטה כללית

הסבר:

💡 איך למצוא טווח?

השיטה הכללית:

שלב 1: כתוב \(y = f(x)\)

שלב 2: פתור עבור x:
\(x = ...\) (כפונקציה של y)

שלב 3: מצא מתי יש פתרון
(תחום של ההפוכה!)

שלב 4: זה הטווח! ✓

דוגמה:

\(f(x) = x^2 + 1\)

שלב 1: \(y = x^2 + 1\)

שלב 2: \(x^2 = y - 1\)
\(x = \pm\sqrt{y-1}\)

שלב 3: מתי מוגדר?
\(y - 1 \geq 0\)
\(y \geq 1\) ✓

שלב 4: טווח = \([1, \infty)\)

שיטות נוספות:

1. גרף:
צייר וראה אילו y מופיעים

2. נגזרת:
מצא מינימום/מקסימום

3. ניתוח:
בדוק התנהגות בקצוות

טיפים:

• פונקציות רציפות: בדוק מינימום ומקסימום
• פונקציות עם קודקוד: הקודקוד קובע
• פונקציות חיוביות: הטווח ≥ 0
• פונקציות זוגיות: הטווח סימטרי

שאלה 10

10.00 נק'

📚 סיכום:

מה קובע את הטווח של ריבועית?

הקודקוד וכיוון הפרבולה (↑ או ↓)

רק המקדם של \(x^2\)

רק התחום

תמיד \(\mathbb{R}\)

הסבר:

📚 סיכום - טווח מורכב

כללים מרכזיים:

סוג	איך למצוא טווח
ריבועית	מצא קודקוד, בדוק כיוון
רציונלית	מצא אסימפטוטות אופקיות
שורש	בדוק מינימום בקצה תחום
מעריכית	מצא אסימפטוטה (בד"כ y=0)

ריבועית:

\(f(x) = a(x-h)^2 + k\)

• אם \(a > 0\): טווח = \([k, \infty)\) ↑
• אם \(a < 0\): טווח = \((-\infty, k]\) ↓

k = y של הקודקוד!

הזזות:

• הזזה אנכית (+c): מוסיפה c לטווח
• הזזה אופקית: לא משנה טווח!

דוגמאות:
• \(x^2 + 5\): טווח = \([5, \infty)\)
• \((x-3)^2\): טווח = \([0, \infty)\)

⚠️ זכור:

תחום ≠ טווח בדרך כלל!

• \(e^x\): תחום=\(\mathbb{R}\), טווח=\((0,\infty)\)
• \(\ln(x)\): תחום=\((0,\infty)\), טווח=\(\mathbb{R}\)

🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

👋 שלום! אשמח לעזור לך

שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:

🎓 מתמטיקה לבגרות

📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)

0 / 10 הושלמו