אורח מצב צפייה מבחן: טריגונומטריה - תכונות מחזוריות של sin ו-cos

טריגונומטריה - תכונות מחזוריות של sin ו-cos

מבחן טריגונומטריה מחזוריות - sin(x+2π)=sin(x), מחזור 2π, זוויות שקולות, מחזור sin(ax), ספירת מחזורים.

  • הגדרת פונקציה מחזורית: f(x+T) = f(x)
  • המחזור הבסיסי של sin ו-cos הוא 2π
  • sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x)
  • מחזוריות כללית: sin(x + 2nπ) = sin(x)
  • שימוש במחזוריות לחישוב זוויות גדולות
  • זוויות שקולות
  • פתרונות כלליים למשוואות
  • מחזור sin(ax) = 2π/a
  • מחזור cos(x/b) = 2πb
  • ספירת מחזורים בקטע
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 20
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
5.00 נק'

🔄 הגדרה:

פונקציה f מחזורית אם קיים T>0 כך ש:

הסבר:
🔄 פונקציה מחזורית

הגדרה:

פונקציה f היא מחזורית אם קיים מספר T > 0 כך שלכל x:

f(x + T) = f(x) ✓

T נקרא מחזור (תקופה, Period)

משמעות:

הפונקציה חוזרת על עצמה כל T יחידות!

אם T מחזור, גם 2T, 3T, 4T... מחזורים ✓
שאלה 2
5.00 נק'

🔄 מחזור:

המחזור (הבסיסי) של sin(x) הוא:

הסבר:
🔄 מחזור sin(x)

משפט:

המחזור הבסיסי של sin(x) הוא 2π ✓

כלומר: sin(x + 2π) = sin(x)

לכל x!

למה?

סיבוב של 2π רדיאנים (360°) = מעגל שלם

חוזרים לאותה נקודה על המעגל! ✓

2πsin(x)sin(x+2π)
שאלה 3
5.00 נק'

🔄 מחזור:

המחזור (הבסיסי) של cos(x) הוא:

הסבר:
🔄 מחזור cos(x)

משפט:

המחזור הבסיסי של cos(x) הוא 2π ✓

כלומר: cos(x + 2π) = cos(x)

לכל x!

מסקנה:

גם sin וגם cos הם מחזוריים עם אותו מחזור: 2π ✓
שאלה 4
5.00 נק'

🔢 חישוב:

sin(5π) שווה ל:

הסבר:
🔢 שימוש במחזוריות

פתרון:

sin(5π) = sin(π + 4π)

= sin(π + 2×2π)

מחזוריות: sin(π + 2×2π) = sin(π)

sin(π) = 0 ✓

כלל:

כדי לחשב sin/cos של זווית גדולה:

1. הורד מכפולות של 2π
2. חשב את הערך הבסיסי ✓
שאלה 5
5.00 נק'

🔢 חישוב:

cos(9π/2) שווה ל:

הסבר:
🔢 זווית גדולה

פתרון:

cos(9π/2) = cos(π/2 + 8π/2)

= cos(π/2 + 4π)

= cos(π/2 + 2×2π)

מחזוריות: cos(π/2 + 2×2π) = cos(π/2)

cos(π/2) = 0 ✓
שאלה 6
5.00 נק'

🔄 כללי:

עבור כל מספר שלם n, מתקיים:

הסבר:
🔄 מחזוריות כללית

משפט כללי:

לכל מספר שלם n:

sin(x + 2nπ) = sin(x) ✓
cos(x + 2nπ) = cos(x) ✓

כלומר: כל מכפולה שלמה של 2π היא מחזור!

דוגמאות:

• sin(x + 4π) = sin(x) (n=2)
• cos(x - 2π) = cos(x) (n=-1)
• sin(x + 100π) = sin(x) (n=50)
שאלה 7
5.00 נק'

↔️ שקילות:

sin(π/4) שווה גם ל:

הסבר:
↔️ זוויות שקולות

בדיקה:

sin(π/4) = ?

נבדוק: sin(9π/4)

9π/4 = π/4 + 8π/4 = π/4 + 2π

מחזוריות: sin(π/4 + 2π) = sin(π/4) ✓

התשובות האחרות:

• sin(5π/4) ≠ sin(π/4) (ברבע 3)
• sin(3π/4) ≠ sin(π/4) (ברבע 2, אבל = sin(π/4) בערך מוחלט)
• sin(π/2) ≠ sin(π/4)
שאלה 8
5.00 נק'

🔢 חישוב:

cos(-7π) שווה ל:

הסבר:
🔢 זווית שלילית גדולה

פתרון:

cos(-7π) = cos(-7π + 8π)

= cos(π)

cos(π) = -1 ✓

טיפ:

לזוויות שליליות: הוסף מכפולות של 2π עד שתגיע לטווח [0, 2π) ✓
שאלה 9
5.00 נק'

📈 גרף:

הגרף של y=sin(x) חוזר על עצמו כל:

הסבר:
📈 גרף sin מחזורי

תכונת הגרף:

הגרף של sin(x) חוזר על עצמו כל 2π יחידות ✓

זהו המחזור הבסיסי!

2π4π
שאלה 10
5.00 נק'

📏 אורך:

על ציר x, המרחק בין שני "פסגות" רצופות של sin(x) הוא:

הסבר:
📏 אורך המחזור

הסבר:

sin(x) מגיע למקסימום (1) ב-x = π/2

המקסימום הבא ב-x = π/2 + 2π = 5π/2

המרחק: 5π/2 - π/2 = 2π ✓

באופן כללי:

המרחק בין כל שתי נקודות תואמות = המחזור = 2π ✓
שאלה 11
5.00 נק'

↩️ הפוך:

sin(x - 2π) שווה ל:

הסבר:
↩️ מחזוריות לאחור

משפט:

מחזוריות עובדת גם לאחור!

sin(x - 2π) = sin(x) ✓
cos(x - 2π) = cos(x) ✓

למה?

זה בדיוק n = -1 בנוסחה הכללית:

sin(x + 2nπ) = sin(x)

כש-n = -1: sin(x - 2π) = sin(x) ✓
שאלה 12
5.00 נק'

🔢 פתרונות:

במחזור אחד [0, 2π), המשוואה sin(x) = 1/2 יש לה:

הסבר:
🔢 פתרונות במחזור

פתרון:

sin(x) = 1/2 מתקיים כאשר:

x = π/6 (ברבע 1) ✓
x = 5π/6 (ברבע 2) ✓

סה"כ: 2 פתרונות במחזור [0, 2π)

y=1/2π/65π/6
שאלה 13
5.00 נק'

∞ כל הפתרונות:

אם sin(α) = 1/2, אז כל הפתרונות הם:

הסבר:
∞ פתרון כללי

פתרון מלא:

במחזור [0, 2π): x = π/6 או x = 5π/6

בגלל מחזוריות, כל הפתרונות:

x = π/6 + 2nπ (n שלם)
או
x = 5π/6 + 2nπ (n שלם) ✓

למה שני משפחות?

כי יש 2 פתרונות שונים במחזור אחד!

כל אחד חוזר כל 2π ✓
שאלה 14
5.00 נק'

🔄 מחזור מוכפל:

המחזור של sin(2x) הוא:

הסבר:
🔄 מחזור sin(2x)

חישוב:

sin(2x) מחזורית אם:

sin(2(x + T)) = sin(2x)

sin(2x + 2T) = sin(2x)

צריך: 2T = 2π

לכן: T = π ✓

כלל כללי:

מחזור של sin(ax) הוא 2π/a ✓

ככל ש-a גדול יותר, המחזור קטן יותר!
שאלה 15
5.00 נק'

🔄 מחזור מחולק:

המחזור של cos(x/2) הוא:

הסבר:
🔄 מחזור cos(x/2)

חישוב:

cos(x/2) מחזורית אם:

cos((x + T)/2) = cos(x/2)

cos(x/2 + T/2) = cos(x/2)

צריך: T/2 = 2π

לכן: T = 4π ✓

נוסחה:

מחזור של cos(x/b) הוא 2πb ✓

ככל ש-b גדול יותר, המחזור גדול יותר!
שאלה 16
5.00 נק'

🔢 חישוב:

sin(13π/6) שווה ל:

הסבר:
🔢 הפחתת מחזורים

פתרון:

sin(13π/6) = sin(13π/6 - 2π)

= sin(13π/6 - 12π/6)

= sin(π/6)

sin(π/6) = 1/2 ✓

דרך אחרת:

13π/6 = 2π + π/6

מחזוריות: sin(2π + π/6) = sin(π/6) = 1/2 ✓
שאלה 17
5.00 נק'

🔢 חישוב:

cos(-11π/4) שווה ל:

הסבר:
🔢 זווית שלילית

פתרון:

cos(-11π/4) = cos(-11π/4 + 3×2π)

= cos(-11π/4 + 12π/4)

= cos(π/4)

cos(π/4) = √2/2 ✓
שאלה 18
5.00 נק'

🔢 מחזורים:

בקטע [0, 6π], הגרף של sin(x) משלים:

הסבר:
🔢 ספירת מחזורים

חישוב:

אורך הקטע: 6π - 0 = 6π

אורך מחזור: 2π

מספר מחזורים: 6π ÷ 2π = 3 ✓

כלל:

מספר מחזורים בקטע [a, b]:

(b - a) / (אורך מחזור) ✓
שאלה 19
5.00 נק'

↔️ שקילות:

איזו מהזוויות הבאות לא שקולה ל-π/3?

הסבר:
↔️ בדיקת שקילות

בדיקה:

נבדוק 5π/3:

5π/3 = π/3 + 4π/3 ≠ π/3 + 2nπ

זו זווית שונה! ✗

(5π/3 בזווית 300°, π/3 בזווית 60°)

הזוויות השקולות:

• 7π/3 = π/3 + 6π/3 = π/3 + 2π ✓
• -5π/3 = π/3 - 6π/3 = π/3 - 2π ✓
• 13π/3 = π/3 + 12π/3 = π/3 + 4π ✓
שאלה 20
5.00 נק'

📚 סיכום:

איזו טענה לא נכונה?

הסבר:
📚 סיכום מחזוריות

הטענה השגויה:

"המחזור של sin(x) הוא π"

זה לא נכון! ✗

המחזור של sin(x) הוא 2π (לא π!) ⚠️

הטענות הנכונות:

✓ המחזור הבסיסי של sin(x) ושל cos(x) הוא 2π
✓ sin(x + 2π) = sin(x) לכל x
✓ cos(x + 2π) = cos(x) לכל x
✓ sin(x + 2nπ) = sin(x) (n שלם)
✓ cos(x - 2π) = cos(x)
✓ מחזור sin(ax) הוא 2π/a
✓ מחזור cos(x/b) הוא 2πb
✓ במחזור [0,2π) יש בד"כ 2 פתרונות
✓ זוויות שונות ב-2π מגיעות לאותה נקודה
✓ מספר מחזורים = (אורך קטע)/(אורך מחזור)
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 20 הושלמו