אורח מצב צפייה מבחן: טריגונומטריה הגדרת tan(x) על המשיק למעגל

טריגונומטריה הגדרת tan(x) על המשיק למעגל

מבחן טריגונומטריה tan על מעגל היחידה - הגדרה גיאומטרית, tan=sin/cos, ערכים מיוחדים, תחום, מחזור π, סימנים.

  • הגדרה גיאומטרית (משיק למעגל)
  • הנוסחה: tan(x) = sin(x)/cos(x)
  • ערכים מיוחדים: 0, π/6, π/4, π/3
  • לא מוגדר: ב-π/2 + nπ (כאשר cos=0)
  • תחום ההגדרה
  • טווח: כל המספרים הממשיים
  • מחזור: π (לא 2π!)
  • סימטריה: אי-זוגית tan(-x) = -tan(x)
  • סימנים ברבעים (I,III חיובי; II,IV שלילי)
  • אפסים: x = nπ
  • קשר לזוויות משלימות
  • זהות: 1 + tan²(x) = 1/cos²(x)
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 20
ניקוד כולל: 200 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

📐 הגדרה:

\(\tan(x)\) מוגדר גיאומטרית כ:

הסבר:
📐 הגדרה גיאומטרית של tan

הגדרה על המעגל:

משיקים קו ניצב לציר \(x\) בנקודה \((1, 0)\)

הקו מהראשית בזווית \(x\) חותך את המשיק

\(\tan(x)\) = אורך המשיק ✓

(מסומן בציר האנכי שעובר דרך \(x=1\))

tan(x)x(1,0)משיק
שאלה 2
10.00 נק'

⭐ נוסחה:

\(\tan(x)\) שווה ל:

הסבר:
⭐ הנוסחה הבסיסית

נוסחת היסוד:

\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) ✓

כלומר: סינוס חלקי קוסינוס

הוכחה מהמעגל:

נקודה על המעגל: \((\cos(x), \sin(x))\)

שיפוע הקו מהראשית:

\(m = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)\) ✓
שאלה 3
10.00 נק'

🔢 ערך:

\(\tan(0)\) שווה ל:

הסבר:
🔢 tan(0)

חישוב:

\(\tan(0) = \frac{\sin(0)}{\cos(0)}\)

\(= \frac{0}{1}\)

\(= 0\) ✓

tan=0
שאלה 4
10.00 נק'

🔢 ערך:

\(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\) שווה ל:

הסבר:
🔢 tan(π/4)

חישוב:

\(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}\)

\(= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(= 1\) ✓

הסבר:

ב-\(45^\circ\): \(\sin = \cos\)

לכן \(\tan = \frac{\sin}{\cos} = 1\) ✓
שאלה 5
10.00 נק'

⚠️ לא מוגדר:

\(\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)\) הוא:

הסבר:
⚠️ tan לא מוגדר

למה לא מוגדר?

\(\tan\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}\)

\(= \frac{1}{0}\)

= לא מוגדר! ✗

חלוקה באפס אסורה!

המשיק מקביל!לא מוגדר
שאלה 6
10.00 נק'

📐 תחום:

\(\tan(x)\) לא מוגדר כאשר:

הסבר:
📐 תחום tan(x)

תנאי:

\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)

לא מוגדר כאשר המכנה = \(0\)

כלומר: \(\cos(x) = 0\) ✗

נקודות אי-הגדרה:

\(\cos(x) = 0\) ב:

\(x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots\)

כללי: \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\) (\(n\) שלם) ✗
שאלה 7
10.00 נק'

🔢 ערך:

\(\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)\) שווה ל:

הסבר:
🔢 tan(π/6)

חישוב:

\(\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}\)

\(= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(= \frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(= \frac{\sqrt{3}}{3}\) ✓

(רציונליזציה: \(\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\))
שאלה 8
10.00 נק'

🔢 ערך:

\(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\) שווה ל:

הסבר:
🔢 tan(π/3)

חישוב:

\(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}\)

\(= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\)

\(= \sqrt{3}\) ✓

קשר:

שים לב:

\(\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\)

הם הופכיים! (זוויות משלימות)
שאלה 9
10.00 נק'

+ - סימנים:

ברבע השני, \(\tan(x)\) הוא:

הסבר:
+ - סימני tan

רבע II:

\(\sin > 0\) (חיובי)
\(\cos < 0\) (שלילי)

\(\tan = \frac{\sin}{\cos} = \frac{(+)}{(-)} = (-)\)

\(\tan\) שלילי ✓

כלל:

• רבע I: \(\tan > 0\) ✓
• רבע II: \(\tan < 0\) ✓
• רבע III: \(\tan > 0\) ✓
• רבע IV: \(\tan < 0\) ✓
שאלה 10
10.00 נק'

🔢 ערך:

\(\tan(\pi)\) שווה ל:

הסבר:
🔢 tan(π)

חישוב:

\(\tan(\pi) = \frac{\sin(\pi)}{\cos(\pi)}\)

\(= \frac{0}{-1}\)

\(= 0\) ✓
שאלה 11
10.00 נק'

🔢 ערך:

\(\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)\) שווה ל:

הסבר:
🔢 tan(3π/4)

חישוב:

\(\frac{3\pi}{4}\) ברבע II

\(\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1\) ✓
שאלה 12
10.00 נק'

⚖️ סימטריה:

\(\tan(-x)\) שווה ל:

הסבר:
⚖️ tan אי-זוגית

משפט:

\(\tan(-x) = -\tan(x)\) ✓

\(\tan\) היא פונקציה אי-זוגית!

הוכחה:

\(\tan(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}\)

\(= \frac{-\sin(x)}{\cos(x)}\)

\(= -\tan(x)\) ✓

(\(\sin\) אי-זוגית, \(\cos\) זוגית)
שאלה 13
10.00 נק'

🔄 מחזור:

המחזור של \(\tan(x)\) הוא:

הסבר:
🔄 מחזור tan(x)

מחזור קצר יותר!

המחזור של \(\tan\) הוא \(\pi\) ✓

(לא \(2\pi\) כמו \(\sin\) ו-\(\cos\)!)

\(\tan(x + \pi) = \tan(x)\)

למה?

\(\sin(x + \pi) = -\sin(x)\)
\(\cos(x + \pi) = -\cos(x)\)

\(\tan(x + \pi) = \frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}\)
\(= \frac{-\sin(x)}{-\cos(x)}\)
\(= \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)
\(= \tan(x)\) ✓
שאלה 14
10.00 נק'

⊗ אפסים:

\(\tan(x) = 0\) כאשר:

הסבר:
⊗ אפסי tan(x)

מתי tan = 0?

\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 0\)

זה קורה כאשר המונה = \(0\)

כלומר: \(\sin(x) = 0\)

\(x = 0, \pi, 2\pi, \ldots\)

כללי: \(x = n\pi\) (\(n\) שלם) ✓
שאלה 15
10.00 נק'

📊 טווח:

הטווח של \(\tan(x)\) הוא:

הסבר:
📊 טווח tan(x)

טווח לא מוגבל!

\(\tan\) יכול לקבל כל ערך ממשי!

טווח: \((-\infty, \infty) = \mathbb{R}\) ✓

(בניגוד ל-\(\sin\) ו-\(\cos\) שמוגבלים ל-\([-1,1]\))

למה?

כשמתקרבים ל-\(\frac{\pi}{2}\):

\(\tan \to \infty\)

אין חסם עליון או תחתון!
שאלה 16
10.00 נק'

↔️ זוויות משלימות:

\(\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\) שווה ל:

הסבר:
↔️ tan למשלימה

נוסחה:

\(\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\)

\(= \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\)

\(= \frac{1}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}\)

\(= \frac{1}{\tan(x)}\) ✓

זה נקרא גם \(\cot(x)\) (קוטנגנס)
שאלה 17
10.00 נק'

🔢 חישוב:

אם \(\sin(\alpha) = \frac{3}{5}\) ו-\(\cos(\alpha) = \frac{4}{5}\), אז \(\tan(\alpha)\) שווה ל:

הסבר:
🔢 חישוב tan

פתרון:

\(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)

\(= \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}\)

\(= \frac{3}{5} \times \frac{5}{4}\)

\(= \frac{3}{4}\) ✓
שאלה 18
10.00 נק'

△ משולש:

במשולש ישר זווית \(3\)-\(4\)-\(5\), \(\tan\) של הזווית הקטנה הוא:

הסבר:
△ tan במשולש

פתרון:

משולש \(3\)-\(4\)-\(5\) (פיתגורי)

הזווית הקטנה מול הצלע \(3\)

\(\tan\) = ניצב נגדי / ניצב סמוך

\(= \frac{3}{4}\) ✓

435αtan(α)=3/4
שאלה 19
10.00 נק'

✓ זהות:

\(1 + \tan^2(x)\) שווה ל:

הסבר:
✓ זהות טריגונומטרית

הוכחה:

\(1 + \tan^2(x)\)

\(= 1 + \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2\)

\(= 1 + \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\)

\(= \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}\)

\(= \frac{1}{\cos^2(x)}\) ✓

(השתמשנו ב-\(\sin^2+\cos^2=1\))

זהות חשובה:

\(1 + \tan^2(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\) ✓
שאלה 20
10.00 נק'

📚 סיכום:

איזו טענה לא נכונה?

הסבר:
📚 סיכום tan(x)

הטענה השגויה:

"\(\tan(x)\) מוגדר לכל \(x\)"

זה לא נכון! ✗

\(\tan\) לא מוגדר כאשר \(\cos(x) = 0\)

כלומר ב-\(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\) ⚠️

הטענות הנכונות:

✓ נוסחה: \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)
✓ הגדרה גיאומטרית: אורך המשיק למעגל
✓ תחום: כל \(x\) מלבד \(\frac{\pi}{2} + n\pi\)
✓ טווח: כל המספרים הממשיים \(\mathbb{R}\)
✓ מחזור: \(\pi\) (לא \(2\pi\)!)
✓ סימטריה: אי-זוגית: \(\tan(-x) = -\tan(x)\)
✓ אפסים: \(x = n\pi\)
✓ ערכים מיוחדים:
  • \(\tan(0) = 0\)
  • \(\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
  • \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\)
  • \(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\)
  • \(\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)\) = לא מוגדר
✓ סימנים:
  • רבע I, III: חיובי
  • רבע II, IV: שלילי
✓ זהות: \(1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\)
✓ \(\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \frac{1}{\tan(x)}\)
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 20 הושלמו