אורח מצב צפייה מבחן: טריגונומטריה - הקשר tan(x)=sin(x)/cos(x) - הוכחה ויישומים

טריגונומטריה - הקשר tan(x)=sin(x)/cos(x) - הוכחה ויישומים

מבחן טריגונומטריה tan=sin/cos - הוכחה ויישומים, נוסחאות נגזרות, זהויות, פישוט ביטויים, פתרון משוואות.

  • הנוסחה הבסיסית: tan(x) = sin(x)/cos(x)
  • הוכחה מהשיפוע על המעגל
  • חישוב tan מ-sin ו-cos
  • נוסחאות נגזרות:
    • sin = tan × cos
    • cos = sin / tan
  • פישוט ביטויים טריגונומטריים
  • tan × cot = 1
  • זהויות:
    • tan²(x) = sin²(x)/cos²(x)
    • 1 + tan²(x) = 1/cos²(x)
  • שימושים במשולשים
  • פתרון משוואות טריגונומטריות
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 20
ניקוד כולל: 200 נק'
שאלה 1
10.00 נק'

⭐ נוסחת יסוד:

\(\tan(x)\) שווה ל:

הסבר:
⭐ הנוסחה הבסיסית

נוסחת היסוד:

\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) ✓

זו הגדרת \(\tan\) באמצעות \(\sin\) ו-\(\cos\)!

בלשון יומיומית:

"טנגנס שווה לסינוס חלקי קוסינוס"
שאלה 2
10.00 נק'

📐 הוכחה:

הנוסחה \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) נובעת מ:

הסבר:
📐 הוכחה גיאומטרית

הוכחה:

נקודה על מעגל היחידה: \(P = (\cos(x), \sin(x))\)

שיפוע הקו מהראשית ל-\(P\):

\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

\(= \frac{\sin(x) - 0}{\cos(x) - 0}\)

\(= \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) ✓

זה בדיוק \(\tan(x)\)!

(cos,sin)cos(x)sin(x)שיפוע=tan(x)
שאלה 3
10.00 נק'

🔢 חישוב:

אם \(\sin(\alpha) = \frac{1}{2}\) ו-\(\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), אז \(\tan(\alpha)\) שווה ל:

הסבר:
🔢 חישוב ישיר

פתרון:

\(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)

\(= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(= \frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}}\)

\(= \frac{1}{\sqrt{3}}\) ✓

רציונליזציה: \(= \frac{\sqrt{3}}{3}\)
שאלה 4
10.00 נק'

🔢 חישוב:

אם \(\tan(\beta) = 2\) ו-\(\cos(\beta) = \frac{1}{\sqrt{5}}\), אז \(\sin(\beta)\) שווה ל:

הסבר:
🔢 שימוש בנוסחה

פתרון:

\(\tan(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}\)

לכן: \(\sin(\beta) = \tan(\beta) \times \cos(\beta)\)

\(= 2 \times \frac{1}{\sqrt{5}}\)

\(= \frac{2}{\sqrt{5}}\) ✓

נוסחה שימושית:

\(\sin = \tan \times \cos\) ✓
שאלה 5
10.00 נק'

🔢 חישוב:

אם \(\tan(\theta) = 3\) ו-\(\sin(\theta) = \frac{3}{\sqrt{10}}\), אז \(\cos(\theta)\) שווה ל:

הסבר:
🔢 מציאת cos

פתרון:

\(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\)

לכן: \(\cos(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\tan(\theta)}\)

\(= \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{3}\)

\(= \frac{3}{3\sqrt{10}}\)

\(= \frac{1}{\sqrt{10}}\) ✓

נוסחה שימושית:

\(\cos = \frac{\sin}{\tan}\) ✓
שאלה 6
10.00 נק'

📝 פישוט:

הביטוי \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \times \cos(x)\) שווה ל:

הסבר:
📝 פישוט בסיסי

פתרון:

\(\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \times \cos(x)\)

\(= \sin(x) \times \frac{\cos(x)}{\cos(x)}\)

\(= \sin(x) \times 1\)

\(= \sin(x)\) ✓
שאלה 7
10.00 נק'

📝 פישוט:

הביטוי \(\tan(x) \times \cos(x)\) שווה ל:

הסבר:
📝 שימוש בהגדרה

פתרון:

\(\tan(x) \times \cos(x)\)

\(= \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \times \cos(x)\)

\(= \sin(x) \times \frac{\cos(x)}{\cos(x)}\)

\(= \sin(x)\) ✓
שאלה 8
10.00 נק'

📝 פישוט:

הביטוי \(\frac{\sin(x)}{\tan(x)}\) שווה ל:

הסבר:
📝 חלוקה בשברים

פתרון:

\(\frac{\sin(x)}{\tan(x)}\)

\(= \frac{\sin(x)}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}\)

\(= \sin(x) \times \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\)

\(= \cos(x)\) ✓
שאלה 9
10.00 נק'

✓ זהות:

\(\tan(x) \times \cot(x)\) (כאשר \(\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\)) שווה ל:

הסבר:
✓ tan × cot

הוכחה:

\(\tan(x) \times \cot(x)\)

\(= \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \times \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\)

\(= \frac{\sin(x) \times \cos(x)}{\cos(x) \times \sin(x)}\)

\(= 1\) ✓

מסקנה:

\(\tan\) ו-\(\cot\) הופכיים!

\(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\) ✓
שאלה 10
10.00 נק'

= משוואה:

אם \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sqrt{3}\), אז \(\tan(x)\) שווה ל:

הסבר:
= פתרון ישיר

פתרון:

נתון: \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sqrt{3}\)

לפי ההגדרה: \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)

לכן: \(\tan(x) = \sqrt{3}\) ✓
שאלה 11
10.00 נק'

✓ זהות:

\(\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\) שווה ל:

הסבר:
✓ ריבוע tan

הוכחה:

\(\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\)

\(= \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2\)

\(= (\tan(x))^2\)

\(= \tan^2(x)\) ✓

נוסחה כללית:

\(\left(\frac{\sin}{\cos}\right)^n = \tan^n\) ✓
שאלה 12
10.00 נק'

= משוואה:

אם \(\tan(\alpha) = 4\) ו-\(\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{17}}\), אז \(\sin(\alpha)\) שווה ל:

הסבר:
= שימוש בנוסחה

פתרון:

\(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)

\(\sin(\alpha) = \tan(\alpha) \times \cos(\alpha)\)

\(= 4 \times \frac{1}{\sqrt{17}}\)

\(= \frac{4}{\sqrt{17}}\) ✓

אימות:

זה משולש \(1\)-\(4\)-\(\sqrt{17}\) ✓

\(1^2 + 4^2 = 17 = (\sqrt{17})^2\)
שאלה 13
10.00 נק'

📝 פישוט:

הביטוי \(\frac{\sin(x) + \tan(x) \times \cos(x)}{\cos(x)}\) שווה ל:

הסבר:
📝 פישוט שלבי

פתרון:

\(\frac{\sin(x) + \tan(x) \times \cos(x)}{\cos(x)}\)

נפשט את \(\tan(x) \times \cos(x)\):

\(\tan(x) \times \cos(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \times \cos(x) = \sin(x)\)

נציב במונה:

\(= \frac{\sin(x) + \sin(x)}{\cos(x)}\)

\(= \frac{2\sin(x)}{\cos(x)}\)

\(= 2 \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)

\(= 2\tan(x)\) ✓
שאלה 14
10.00 נק'

✓ זהות:

אם \(\tan(x) = \frac{3}{4}\), אז \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) שווה ל:

הסבר:
✓ זהות ישירה

פתרון:

לפי ההגדרה:

\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)

נתון: \(\tan(x) = \frac{3}{4}\)

לכן: \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{3}{4}\) ✓

(זה אותו דבר!)
שאלה 15
10.00 נק'

📝 פישוט:

הביטוי \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \times \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\) שווה ל:

הסבר:
📝 מכפלת הופכיים

פתרון:

\(\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \times \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\)

\(= \frac{\sin(x) \times \cos(x)}{\cos(x) \times \sin(x)}\)

\(= 1\) ✓

המונה והמכנה זהים!
שאלה 16
10.00 נק'

△ משולש:

במשולש ישר זווית, אם הניצב מול זווית \(\alpha\) הוא \(7\) והניצב הסמוך הוא \(24\), אז \(\tan(\alpha)\) שווה ל:

הסבר:
△ tan במשולש

פתרון:

במשולש ישר זווית:

\(\sin(\alpha) =\) ניצב נגדי / יתר
\(\cos(\alpha) =\) ניצב סמוך / יתר

לכן:

\(\tan(\alpha) = \frac{\sin}{\cos}\)

\(= \frac{\text{נגדי/יתר}}{\text{סמוך/יתר}}\)

\(= \frac{\text{נגדי}}{\text{סמוך}}\)

\(= \frac{7}{24}\) ✓

24725αtan(α)=7/24
שאלה 17
10.00 נק'

= משוואה:

אם \(\sin(x) = 2\cos(x)\), אז \(\tan(x)\) שווה ל:

הסבר:
= פתרון משוואה

פתרון:

נתון: \(\sin(x) = 2\cos(x)\)

נחלק שני צדדים ב-\(\cos(x)\):

\(\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{2\cos(x)}{\cos(x)}\)

\(\tan(x) = 2\) ✓
שאלה 18
10.00 נק'

✓ זהות:

הביטוי \(\tan(x) + \frac{1}{\tan(x)}\) שווה ל:

הסבר:
✓ זהות מורכבת

פתרון:

\(\tan(x) + \frac{1}{\tan(x)}\)

\(= \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\)

מכנה משותף:

\(= \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)}\)

\(= \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}\) ✓

(כי \(\sin^2+\cos^2=1\))

או בקיצור:

\(= \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}\)
שאלה 19
10.00 נק'

↔️ קשר:

מהזהות \(\sin^2+\cos^2=1\) ומהנוסחה \(\tan=\frac{\sin}{\cos}\) נובע ש:

הסבר:
↔️ זהות נגזרת

גזירה:

\(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)

נחלק ב-\(\cos^2(x)\):

\(\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)}\)

\(\left(\frac{\sin}{\cos}\right)^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2(x)}\)

\(\tan^2(x) + 1 = \frac{1}{\cos^2(x)}\) ✓

זהות שימושית מאוד!

\(1 + \tan^2(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\) ✓
שאלה 20
10.00 נק'

📚 סיכום:

איזו טענה לא נכונה?

הסבר:
📚 סיכום tan=sin/cos

הטענה השגויה:

"\(\tan(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\)"

זה לא נכון! ✗

הנוסחה ההפוכה!

הנוסחה הנכונה:

\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) ⚠️

(\(\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x)\), לא \(\tan\)!)

הטענות הנכונות:

✓ הנוסחה הבסיסית:
  \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)

✓ נוסחאות נגזרות:
  • \(\sin(x) = \tan(x) \times \cos(x)\)
  • \(\cos(x) = \frac{\sin(x)}{\tan(x)}\)
  • \(\tan(x) \times \cot(x) = 1\)
  • \(\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{1}{\tan(x)}\)

✓ זהויות:
  • \(\tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\)
  • \(1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\)
  • \(\tan(x) \times \cos(x) = \sin(x)\)
  • \(\frac{\sin(x)}{\tan(x)} = \cos(x)\)

✓ במשולש ישר זווית:
  \(\tan(\alpha) =\) ניצב נגדי / ניצב סמוך

✓ שימושים:
  • חישוב \(\tan\) מ-\(\sin\) ו-\(\cos\)
  • חישוב \(\sin\) מ-\(\tan\) ו-\(\cos\)
  • חישוב \(\cos\) מ-\(\sin\) ו-\(\tan\)
  • פישוט ביטויים טריגונומטריים
  • פתרון משוואות טריגונומטריות
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 20 הושלמו