אורח מצב צפייה מבחן: משוואות טריגונומטריות בסיסיות

משוואות טריגונומטריות בסיסיות

מבחן משוואות טריגונומטריות בסיסיות - sin(x)=0, cos(x)=1, tan(x)=1, פתרון כללי, ערכים מיוחדים, משוואות ריבועיות.

משוואות בסיסיות:

  • sin(x) = 0: x = nπ
  • cos(x) = 0: x = π/2 + nπ
  • sin(x) = 1: x = π/2 + 2nπ
  • cos(x) = 1: x = 2nπ
  • sin(x) = -1: x = 3π/2 + 2nπ
  • cos(x) = -1: x = π + 2nπ

משוואות עם ערכים מיוחדים:

  • sin(x) = 1/2: x = π/6, 5π/6
  • sin(x) = √3/2: x = π/3, 2π/3
  • cos(x) = 1/2: x = π/3, 5π/3
  • tan(x) = 1: x = π/4 + nπ
  • tan(x) = √3: x = π/3 + nπ

עקרונות:

  • כמות פתרונות במחזור
  • פתרון כללי (שתי משפחות)
  • משוואות עם ארגומנט מוכפל
  • משוואות ריבועיות
  • ערך מוחלט
בדיקה מיידית הסברים מלאים חינם לחלוטין מותאם לנייד
מספר שאלות: 20
ניקוד כולל: 100 נק'
שאלה 1
5.00 נק'

= משוואה:

הפתרונות של \(\sin(x)\) = \(0\) הם:

הסבר:
= \(\sin(x)\) = \(0\)

פתרון:

\(\sin(x)\) = \(0\) כאשר:

x = 0, \(\pi\), \(2\pi\), 3π, ...

כללי: \(x = n\pi\) (\(n\) שלם) ✓

הסבר:

sin = 0 על ציר x

כל מכפולה שלמה של \(\pi\) ✓

0π\(2\pi\)
שאלה 2
5.00 נק'

= משוואה:

הפתרונות של \(\cos(x)\) = \(0\) הם:

הסבר:
= \(\cos(x)\) = \(0\)

פתרון:

\(\cos(x)\) = \(0\) כאשר:

x = \(\frac{\pi}{2}\), 3\(\frac{\pi}{2}\), 5\(\frac{\pi}{2}\), ...

כללי: \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\) (\(n\) שלם) ✓

הסבר:

cos = 0 על ציר y

כל \(\frac{\pi}{2}\) + מכפולות של \(\pi\) ✓
שאלה 3
5.00 נק'

= משוואה:

הפתרונות של \(\sin(x)\) = \(1\) הם:

הסבר:
= \(\sin(x)\) = \(1\)

פתרון:

\(\sin(x)\) = \(1\) כאשר:

x = \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\) + \(2\pi\), \(\frac{\pi}{2}\) + \(4\pi\), ...

כללי: \(x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi\) (\(n\) שלם) ✓

למה 2nπ?

כי sin = 1 רק בנקודה (0, 1)

לא ב-(0, -1)! ✓
שאלה 4
5.00 נק'

= משוואה:

הפתרונות של \(\cos(x)\) = \(1\) הם:

הסבר:
= \(\cos(x)\) = \(1\)

פתרון:

\(\cos(x)\) = \(1\) כאשר:

x = 0, \(2\pi\), \(4\pi\), 6π, ...

כללי: \(x = 2n\pi\) (\(n\) שלם) ✓

הסבר:

cos = 1 רק בנקודה (1, 0)

כל מחזור מלא של \(2\pi\) ✓
שאלה 5
5.00 נק'

= משוואה:

במחזור [0, \(2\pi\)), הפתרונות של \(\sin(x)\) = \(\frac{1}{2}\) הם:

הסבר:
= \(\sin(x)\) = \(\frac{1}{2}\)

פתרון:

\(\sin(x)\) = \(\frac{1}{2}\) כאשר:

x = \(\frac{\pi}{6}\) (\(30^\circ\)) - ברבע I ✓
x = 5\(\frac{\pi}{6}\) (\(150^\circ\)) - ברבע II ✓

סה"כ 2 פתרונות במחזור!

הסבר:

sin חיובי ברבעים I ו-II

בשניהם sin יכול להיות \(\frac{1}{2}\) ✓

\(\frac{\pi}{6}\)5\(\frac{\pi}{6}\)y=\(\frac{1}{2}\)
שאלה 6
5.00 נק'

= משוואה:

במחזור [0, \(2\pi\)), הפתרונות של \(\cos(x)\) = \(\frac{1}{2}\) הם:

הסבר:
= \(\cos(x)\) = \(\frac{1}{2}\)

פתרון:

\(\cos(x)\) = \(\frac{1}{2}\) כאשר:

x = \(\frac{\pi}{3}\) (\(60^\circ\)) - ברבע I ✓
x = 5\(\frac{\pi}{3}\) (\(300^\circ\)) - ברבע IV ✓

סה"כ 2 פתרונות במחזור!

הסבר:

cos חיובי ברבעים I ו-IV

בשניהם cos יכול להיות \(\frac{1}{2}\) ✓
שאלה 7
5.00 נק'

= משוואה:

במחזור [0, \(2\pi\)), הפתרונות של \(\sin(x)\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) הם:

הסבר:
= \(\sin(x)\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

פתרון:

\(\sin(x)\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) כאשר:

x = \(\frac{\pi}{3}\) (\(60^\circ\)) - ברבע I ✓
x = 2\(\frac{\pi}{3}\) (\(120^\circ\)) - ברבע II ✓

שים לב:

\(\sin(\(60^\circ\))\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

והזווית המשלימה:

\(\sin(\(180^\circ\) - \(60^\circ\)) = \(\sin(\(120^\circ\))\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ✓
שאלה 8
5.00 נק'

= משוואה:

הפתרונות של \(\tan(x)\) = \(1\) הם:

הסבר:
= \(\tan(x)\) = \(1\)

פתרון:

\(\tan(x)\) = \(1\) כאשר:

x = \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{4}\) + \(\pi\), \(\frac{\pi}{4}\) + \(2\pi\), ...

כללי: \(x = \frac{\pi}{4} + n\pi\) (\(n\) שלם) ✓

למה nπ?

מחזור tan הוא \(\pi\) (לא \(2\pi\)!)

לכן מוסיפים מכפולות של \(\pi\) ✓
שאלה 9
5.00 נק'

= משוואה:

הפתרונות של \(\sin(x)\) = \(-1\) הם:

הסבר:
= \(\sin(x)\) = \(-1\)

פתרון:

\(\sin(x)\) = \(-1\) כאשר:

x = 3\(\frac{\pi}{2}\), 3\(\frac{\pi}{2}\) + \(2\pi\), 3\(\frac{\pi}{2}\) + \(4\pi\), ...

כללי: \(x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi\) (\(n\) שלם) ✓

הסבר:

sin = -1 רק בנקודה (0, -1)

זה המינימום של sin! ✓
שאלה 10
5.00 נק'

= משוואה:

הפתרונות של \(\cos(x)\) = \(-1\) הם:

הסבר:
= \(\cos(x)\) = \(-1\)

פתרון:

\(\cos(x)\) = \(-1\) כאשר:

x = \(\pi\), 3π, 5π, ...

כללי: \(x = \pi + 2n\pi\) (\(n\) שלם) ✓

או: x = (2n+1)π

הסבר:

cos = -1 רק בנקודה (-1, 0)

כל מכפולה אי-זוגית של \(\pi\) ✓
שאלה 11
5.00 נק'

= משוואה:

במחזור [0, \(2\pi\)), הפתרונות של \(\sin(x)\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) הם:

הסבר:
= \(\sin(x)\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

פתרון:

\(\sin(x)\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) כאשר:

x = \(\frac{\pi}{4}\) (\(45^\circ\)) - ברבע I ✓
x = 3\(\frac{\pi}{4}\) (\(135^\circ\)) - ברבע II ✓

הסבר:

\(\sin(\(45^\circ\))\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

והזווית המשלימה:

\(\sin(\(180^\circ\) - \(45^\circ\)) = \(\sin(\(135^\circ\))\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) ✓
שאלה 12
5.00 נק'

🔢 ספירה:

כמה פתרונות יש למשוואה \(\sin(x)\) = \(0\).7 במחזור [0, \(2\pi\))?

הסבר:
🔢 כמות פתרונות

כלל כללי:

למשוואה \(\sin(x) = a

כאשר -1 < a < 1 (לא ±1, 0)

יש 2 פתרונות במחזור [0, \(2\pi\)) ✓

למה?

sin חיובי ברבעים I, II
sin שלילי ברבעים III, IV

בכל "צד" יש פתרון אחד ✓
שאלה 13
5.00 נק'

= משוואה:

הפתרונות של \(\tan(x)\) = \(\sqrt{3}\) הם:

הסבר:
= \(\tan(x)\) = \(\sqrt{3}\)

פתרון:

\(\tan(\(\frac{\pi}{3}\))\) = \(\sqrt{3}\)

מחזור tan = π

לכן: x = \(\frac{\pi}{3}\) + nπ (\(n\) שלם) ✓

דוגמאות:

• x = \(\frac{\pi}{3}\) (\(60^\circ\)) - רבע I
• x = \(\frac{\pi}{3}\) + \(\pi\) = 4\(\frac{\pi}{3}\) (\(240^\circ\)) - רבע III

שני הרבעים שבהם tan > 0 ✓
שאלה 14
5.00 נק'

= משוואה:

אם \(\sin(2x)\) = \(0\), אז x שווה ל:

הסבר:
= משוואה עם ארגומנט מוכפל

פתרון:

\(\sin(2x)\) = \(0\)

אנחנו יודעים: \(\sin(u)\) = \(0\) כאשר u = nπ

לכן: 2x = nπ

נחלק ב-2:

\(x = n\pi\)/2 ✓

דוגמאות:

x = 0, \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\), 3\(\frac{\pi}{2}\), \(2\pi\), ... ✓
שאלה 15
5.00 נק'

∞ פתרון כללי:

אם \(\sin(x)\) = \(\frac{1}{2}\), כל הפתרונות הם:

הסבר:
∞ כל הפתרונות

פתרון מלא:

במחזור [0, \(2\pi\)): x = \(\frac{\pi}{6}\) או x = 5\(\frac{\pi}{6}\)

מחזוריות (\(2\pi\)):

x = \(\frac{\pi}{6}\) + 2nπ
או
x = 5\(\frac{\pi}{6}\) + 2nπ

(\(n\) שלם) ✓

למה שתי משפחות?

כי יש 2 פתרונות במחזור!

כל אחד חוזר כל \(2\pi\) ✓
שאלה 16
5.00 נק'

= משוואה:

אם \(\sin(x) = \(\cos(x), אז x שווה ל:

הסבר:
= sin = cos

פתרון:

\(\sin(x) = \(\cos(x)

נחלק ב-\(\cos(x):

\(\sin(x)/\(\cos(x)\) = \(1\)

\(\tan(x)\) = \(1\)

לכן: \(x = \frac{\pi}{4} + n\pi\) ✓

דוגמאות:

• x = \(\frac{\pi}{4}\) (\(45^\circ\)): sin = cos = \(\sqrt{2}\)/2 ✓
• x = 5\(\frac{\pi}{4}\) (\(225^\circ\)): sin = cos = \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) ✓
שאלה 17
5.00 נק'

= משוואה:

כמה פתרונות יש למשוואה |\(\sin(x)| = \(\frac{1}{2}\) במחזור [0, \(2\pi\))?

הסבר:
= ערך מוחלט

פתרון:

|\(\sin(x)| = \(\frac{1}{2}\) אומר:

\(\sin(x)\) = \(\frac{1}{2}\) או \(\sin(x)\) = \(-\frac{1}{2}\)

\(\sin(x)\) = \(\frac{1}{2}\): \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\) (2 פתרונות)

\(\sin(x)\) = \(-\frac{1}{2}\): \(x = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\) (2 פתרונות)

סה"כ: 4 פתרונות ✓
שאלה 18
5.00 נק'

= משוואה:

אם sin²(x)\) = \(1\)/4, אז \(\sin(x) שווה ל:

הסבר:
= משוואה ריבועית

פתרון:

sin²(x)\) = \(1\)/4

נוציא שורש:

\(\sin(x) = ±√(1/4)

\(\sin(x) = ±\(\frac{1}{2}\) ✓

שים לב:

צריך לקחת גם + וגם −!

sin יכול להיות גם חיובי וגם שלילי ✓
שאלה 19
5.00 נק'

= משוואה:

אם 2sin(x) - 1 = 0, אז \(\sin(x) שווה ל:

הסבר:
= עיבוד אלגברי

פתרון:

2sin(x) - 1 = 0

2sin(x)\) = \(1\)

\(\sin(x) = \(\frac{1}{2}\) ✓

המשך:

עכשיו פותרים: \(\sin(x)\) = \(\frac{1}{2}\)

x = \(\frac{\pi}{6}\) + 2nπ או x = 5\(\frac{\pi}{6}\) + 2nπ ✓
שאלה 20
5.00 נק'

📚 סיכום:

איזו טענה לא נכונה?

הסבר:
📚 סיכום משוואות טריגונומטריות

הטענה השגויה:

"למשוואה \(\sin(x)\) = \(0\).5 יש פתרון יחיד במחזור"

זה לא נכון! ✗

יש 2 פתרונות במחזור [0, \(2\pi\)):

x = \(\frac{\pi}{6}\) ו-x = 5\(\frac{\pi}{6}\) ⚠️

הטענות הנכונות:

📋 משוואות בסיסיות:

• \(\sin(x)\) = \(0\): \(x = n\pi\)
• \(\cos(x)\) = \(0\): \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\)
• \(\tan(x)\) = \(0\): \(x = n\pi\)
• \(\sin(x)\) = \(1\): \(x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi\)
• \(\cos(x)\) = \(1\): \(x = 2n\pi\)
• \(\sin(x)\) = \(-1\): \(x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi\)
• \(\cos(x)\) = \(-1\): \(x = \pi + 2n\pi\)

✓ ערכים מיוחדים:

• \(\sin(x)\) = \(\frac{1}{2}\): \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\)
• \(\sin(x)\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\): \(x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\)
• \(\sin(x)\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\): \(x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\)
• \(\cos(x)\) = \(\frac{1}{2}\): \(x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\)
• \(\tan(x)\) = \(1\): \(x = \frac{\pi}{4} + n\pi\)
• \(\tan(x)\) = \(\sqrt{3}\): x = \(\frac{\pi}{3}\) + nπ

✓ כללים:

• למשוואה \(\sin(x) = a (כאשר -1 < a < 1):
  יש 2 פתרונות במחזור [0, \(2\pi\))
• למשוואה \(\cos(x) = a (כאשר -1 < a < 1):
  יש 2 פתרונות במחזור [0, \(2\pi\))
• למשוואה \(\tan(x) = a:
  יש 1 פתרון במחזור [0, \(\pi\))
• מחזור sin ו-cos: \(2\pi\)
• מחזור tan: π

✓ פתרון כללי:

מוצאים את הפתרונות במחזור אחד,
ואז מוסיפים מכפולות של המחזור ✓
🎓
לא רוצה להישאר לבד עם החומר?
הצטרפו לקורס שנתי עם משימות יומיות, ליווי אישי וקבוצות זום
קבל פרטים
🤖

עוזר הקורסים החכם

אני כאן לעזור לך למצוא את הקורס המתאים

×
👋 שלום! אשמח לעזור לך
שלום, אשמח לעזור לך להתמצא באתר ולמקד אותך לצורך שלך. נתחיל בבחירה:
🎓 מתמטיקה לבגרות
📚 אקדמיה (סטטיסטיקה / כלכלה / מתמטיקה)
0 / 20 הושלמו