סטטיסטיקה - מדדי פיזור בסיסי-בסיסי

מדד פיזור מתאר כמה רחוק הנתונים אחד מהשני וכמה הם רחוקים מהמרכז (למשל מהממוצע). הוא לא אומר רק מהו המרכז, אלא עד כמה יש "פיזור" סביבו.

טווח = הערך הגדול ביותר מינוס הערך הקטן ביותר. זהו מדד פיזור פשוט שמראה מה "רוחב" הנתונים על ציר המספרים.

הערך הגדול ביותר: 10. הערך הקטן ביותר: 3. טווח = 10 - 3 = 7.

קודם מזהים את המקסימום והמינימום: מינימום = 2, מקסימום = 15. טווח = 15 - 2 = 13. אין צורך לסדר את כל הרשימה, רק למצוא גדול וקטן.

לפני ההוספה: טווח = 7 - 4 = 3. אחרי ההוספה: מינימום 4, מקסימום 20 ⇒ טווח = 20 - 4 = 16. הטווח גדל מאוד – רואים שהטווח רגיש לערכים קיצוניים.

טווח א: 10 - 10 = 0 (אין פיזור). טווח ב: 20 - 5 = 15 (פיזור גדול). לכן סדרה ב מפוזרת הרבה יותר.

שונות מודדת כמה הנתונים מתרחקים מהממוצע: לוקחים את הסטיות מהממוצע, מעלים בריבוע, ומחשבים ממוצע שלהן. כך מקבלים מדד כמותי לעוצמת הפיזור.

סטיית תקן היא השורש הריבועי של השונות. היא חוזרת ליחידות המקור (אותן יחידות כמו הנתונים) ולכן נוחה יותר לפרש.

אין פיזור – כל הערכים זהים. טווח = 5 - 5 = 0. סטיות מהממוצע כולן 0 ⇒ שונות = 0, וסטיית תקן (שורש של 0) גם 0. כשאין פיזור – כל מדדי הפיזור הבסיסיים הם 0.

הזזה של כל הנתונים באותו כיוון (הוספה של אותו קבוע) מזיזה את כל הסדרה אבל לא משנה את המרחקים ביניהם. לכן טווח, שונות וסטיית תקן נשארים בדיוק אותו הדבר.

כאשר כופלים את כל הנתונים בקבוע c: הטווח מוכפל ב-c (כי כל המרחקים גדלים פי c). סטיית התקן גם מוכפלת ב-c (יחידות הנתונים). השונות = ממוצע ריבועי הסטיות ⇒ מוכפלת ב-c². כאן c=2 ⇒ שונות מוכפלת ב-4.

ממוצע: (1+3)/2 = 2. סטיות מהממוצע: 1-2 = -1, 3-2 = 1. ריבועי הסטיות: 1 ו-1. שונות = ממוצע הריבועים: (1+1)/2 = 1.

שונות = 1 ⇒ סטיית תקן = √1 = 1. כאן זה מקרה מאוד פשוט, כדי להמחיש את הקשר: סטיית תקן היא שורש השונות.

לשתי הסדרות אותו ממוצע (10), אבל המרחקים מהממוצע שונים: בסדרה א: הסטיות קטנות (1-).0,1. בסדרה ב: הסטיות גדולות (9-,0,9). לכן סטיית התקן והשונות בסדרה ב יהיו גדולים יותר – הפיזור גדול יותר.

הטווח תלוי רק במינימום ובמקסימום, ולכן בשתי הסדרות הוא אותו דבר. אבל השונות וסטיית התקן מחשבות את המרחקים מהממוצע לכל הערכים, ולכן הן רגישות לאיך הנתונים "מפוזרים באמצע".

הטווח נשאר 20 (מינימום 0, מקסימום 20). אבל הוספנו ערך קרוב למרכז (10), כך שחלק מהמרחקים מהממוצע קטנים יותר. בדרך כלל השונות וסטיית התקן יקטנו – הפיזור בפועל קטן יותר.

בכיתה א כל הציונים מרוכזים יחסית סביב המרכז. בכיתה ב יש פער ענק בין 40 ל-100 ⇒ פיזור גדול מאוד, סטיית תקן גדולה יותר.

סטיית תקן קטנה פירושה שהמרחקים מהממוצע קטנים – כלומר רוב הנתונים "צמודים" למרכז ואין פיזור גדול.

הטווח מתחשב רק בשני ערכים: הגדול והקטן. השונות מחשבת מרחק מהממוצע לכל הערכים, ולכן נותנת תמונה מלאה יותר של הפיזור.

בקבוצה א אין פיזור בכלל – כולם 50 ⇒ סטיית תקן 0. בקבוצה ב יש ערכים רחוקים מאוד מהמרכז (0 ו-100), ולכן סטיית התקן והשונות גדולות מאוד. אותו ממוצע לא אומר אותו פיזור.