מבחן מקיף התפלגות נורמלית

🔔 ההתפלגות הנורמלית נקראת גם "עקומת הפעמון" (Bell Curve) בגלל צורתה:

• סימטרית סביב הממוצע
• עולה עד השיא (בממוצע) ויורדת סימטרית
• ממוצע = חציון = שכיח
• אסימפטוטית (מתקרבת לציר X אך לא נוגעת)

הצורה נשארת תמיד אותו דבר, רק המיקום (μ) והרוחב (σ) משתנים.

📊 קריאת הסימון X ~ N(μ, σ²):

הסימון X ~ N(100, 15²) אומר:
• μ = 100 (הממוצע - הפרמטר הראשון)
• σ² = 15² = 225 (השונות - הפרמטר השני)
• σ = 15 (סטיית התקן - שורש השונות)

⚠️ שים לב: הפרמטר השני הוא השונות (σ²), לא סטיית התקן!
כשכתוב 15² זה אומר שסטיית התקן היא 15.

📐 חישוב ציון תקן כשערך שווה לממוצע:

נוסחה: Z = (X − μ) / σ

כאשר X = μ:
Z = (μ − μ) / σ = 0 / σ = 0

💡 משמעות: ציון תקן 0 אומר שהערך נמצא בדיוק בממוצע, כלומר 0 סטיות תקן מהמרכז.

בהתפלגות נורמלית תקנית Z ~ N(0,1), הממוצע הוא 0.

📊 חישוב ציון תקן:

נוסחה: Z = (X − μ) / σ

נתונים:
• X = 85
• μ = 70
• σ = 10

חישוב:
Z = (85 − 70) / 10
Z = 15 / 10
Z = 1.5

💡 פירוש: הציון 85 נמצא 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע.

📈 קריאה מטבלת Z:

בטבלה מחפשים את שורה 1.0 ועמודה 0.00:
Φ(1.00) = 0.8413

💡 משמעות:
• 84.13% מהערכים נמצאים מתחת ל-Z=1
• 15.87% נמצאים מעל ל-Z=1

זה תואם את כלל 68-95-99.7:
68% בין ±1σ, כלומר 34% מכל צד.
50% + 34% = 84% (בערך).

📉 חישוב הסתברות "גדול או שווה":

הטבלה נותנת P(Z ≤ z), אז צריך להשלים:
P(Z ≥ z) = 1 − P(Z ≤ z)

שלב 1: מהטבלה: Φ(1.50) = 0.9332

שלב 2: P(Z ≥ 1.50) = 1 − 0.9332 = 0.0668

💡 משמעות: רק 6.68% מהערכים נמצאים 1.5 סטיות תקן או יותר מעל הממוצע.

📊 שימוש בסימטריה של ההתפלגות:

ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב 0, לכן:
P(Z ≤ -z) = P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z)

חישוב:
P(Z ≤ -1.50) = P(Z ≥ 1.50) = 1 − Φ(1.50)
= 1 − 0.9332 = 0.0668

💡 כלל הסימטריה: השטח משמאל ל-(-z) שווה לשטח מימין ל-(+z).

📈 חישוב הסתברות בתחום:

נוסחה: P(a ≤ Z ≤ b) = Φ(b) − Φ(a)

חישוב:
P(-1 ≤ Z ≤ 1) = Φ(1) − Φ(-1)
= Φ(1) − [1 − Φ(1)] (סימטריה)
= 2·Φ(1) − 1
= 2 × 0.8413 − 1
= 1.6826 − 1 = 0.6826

💡 זה ה-68% המפורסם מכלל 68-95-99.7!

🎯 תהליך מלא - מציון גולמי להסתברות:

שלב 1: המרה לציון תקן
Z = (X − μ) / σ = (182 − 175) / 7 = 7/7 = 1

שלב 2: חישוב ההסתברות
P(X > 182) = P(Z > 1) = 1 − Φ(1)
= 1 − 0.8413 = 0.1587

💡 תשובה: כ-15.87% מהגברים גבוהים מ-182 ס"מ (סטיית תקן אחת מעל הממוצע).

📊 חישוב הסתברות בתחום:

שלב 1: המרה לציוני תקן
Z₁ = (2800 − 3200) / 400 = −400/400 = −1
Z₂ = (3600 − 3200) / 400 = 400/400 = 1

שלב 2: חישוב
P(2800 < X < 3600) = P(−1 < Z < 1)
= Φ(1) − Φ(−1)
= 0.8413 − 0.1587 = 0.6826

💡 התחום 2800-3600 הוא בדיוק ±1σ מהממוצע, לכן התשובה היא 68%!

🔄 בעיה הפוכה - מהסתברות לציון:

שלב 1: מציאת Z מהטבלה
מחפשים שטח 0.90 בטבלה ← Z ≈ 1.28

שלב 2: המרה ל-X
X = μ + Z·σ
X = 70 + 1.28 × 10
X = 70 + 12.8 = 82.8

💡 תשובה: 90% מהתלמידים קיבלו ציון מתחת ל-82.8

🎯 בעיה הפוכה - אחוזון עליון:

שלב 1: המרת "5% עליונים" לשטח משמאל
5% מעל = 95% מתחת
מחפשים 0.95 בטבלה ← Z ≈ 1.645

שלב 2: המרה ל-X
X = μ + Z·σ
X = 100 + 1.645 × 15
X = 100 + 24.675 ≈ 124.7

💡 תשובה: צריך IQ של לפחות 124.7 כדי להיות ב-5% העליונים.

📉 בעיה הפוכה - אחוזון תחתון:

שלב 1: מציאת Z
20% = 0.20 מתחת
מכיוון ש-0.20 < 0.50, ה-Z יהיה שלילי
מחפשים: P(Z ≤ z) = 0.80 בטבלה ← Z = 0.84
לכן Z שלנו = −0.84

שלב 2: המרה ל-X
X = μ + Z·σ
X = 50 + (−0.84) × 8
X = 50 − 6.72 = 43.28 ≈ 43.3

💡 20% מהתצפיות נמצאות מתחת ל-43.3

📊 כלל 68-95-99.7 (הכלל האמפירי):

בהתפלגות נורמלית:

• 68% מהערכים בתחום μ ± 1σ
• 95% מהערכים בתחום μ ± 2σ
• 99.7% מהערכים בתחום μ ± 3σ

💡 הכלל הזה מאפשר להעריך הסתברויות מהר בלי טבלה!

לדוגמה: אם μ=100 ו-σ=10, אז 95% בין 80 ל-120.

🔔 תכונות ההתפלגות הנורמלית:

בהתפלגות נורמלית (סימטרית):
ממוצע = חציון = שכיח = μ

כולם נמצאים באותה נקודה - במרכז ההתפלגות.

💡 בהתפלגויות א-סימטריות:
• אסימטריה לימין: שכיח < חציון < ממוצע
• אסימטריה לשמאל: ממוצע < חציון < שכיח

📐 תכונה בסיסית של התפלגות הסתברות:

השטח הכולל מתחת לכל עקומת התפלגות (כולל נורמלית) הוא תמיד 1 (או 100%).

זה נובע מהגדרת ההסתברות:
• ההסתברות שמשהו יקרה היא 100%
• סכום כל ההסתברויות = 1

💡 בגלל הסימטריה:
• 50% משמאל לממוצע
• 50% מימין לממוצע

🔄 סטנדרטיזציה - המרה להתפלגות תקנית:

כאשר מבצעים את ההמרה Z = (X−μ)/σ:

• הממוצע החדש: E(Z) = 0
• סטיית התקן החדשה: SD(Z) = 1

לכן: Z ~ N(0, 1)

זו ההתפלגות הנורמלית התקנית - אותה התפלגות שהטבלה מתארת.

💡 הסטנדרטיזציה מאפשרת להשתמש בטבלה אחת לכל התפלגות נורמלית!

📊 זיהוי מהיר באמצעות הכלל האמפירי:

• μ = 60, σ = 5
• 55 = 60 − 5 = μ − σ
• 65 = 60 + 5 = μ + σ

התחום 55-65 הוא בדיוק μ ± σ!

לפי כלל 68-95-99.7:
P(μ−σ < X < μ+σ) = 0.6826 ≈ 68%

💡 טיפ: תמיד בדקו אם הגבולות הם כפולות של σ - זה חוסך חישובים!

🎯 מציאת החציון של ההתפלגות התקנית:

P(Z ≤ z) = 0.5 אומר ש-50% מהערכים קטנים מ-z.

בהתפלגות סימטרית, החציון = הממוצע.

בהתפלגות N(0,1):
הממוצע = 0, לכן Z = 0

💡 בדיקה: בטבלה, Φ(0) = 0.5000 ✓

📉 טרנספורמציה לינארית - השפעה על הממוצע:

אם Y = aX + b, אז:
E(Y) = a·E(X) + b

נתונים:
• E(X) = μ = 100
• a = 2, b = 10

חישוב:
E(Y) = 2 × 100 + 10 = 200 + 10 = 210

💡 זכרו: הממוצע מושפע גם מכפל וגם מחיבור!