מדדי קשר - סטטיסטיקה

🔗 בחירת מדד קשר לפי סוג המשתנים:

• משתנים שמיים (קטגוריאליים, ללא סדר): למדה (λ) או קרמר (V)
• משתנים סידוריים (יש סדר): ספירמן (rₛ)
• משתנים רווחיים/מנתיים: פירסון (r)

💡 למדה מבוסס על שגיאות ניבוי, קרמר מבוסס על χ².

📊 תחום מקדם המתאם של פירסון:

ערכי r נעים בין -1 ל-+1:

• r = +1: קשר ליניארי חיובי מושלם (כל הנקודות על ישר עולה)
• r = -1: קשר ליניארי שלילי מושלם (כל הנקודות על ישר יורד)
• r = 0: אין קשר ליניארי

💡 הסימן מציין את הכיוון, הערך המוחלט מציין את העוצמה.

📐 נוסחת מדד למדה:

λ = (E₁ − E₂) / E₁

כאשר:
• E₁ = שגיאות ניבוי ללא ידיעת X = n − max(שולי Y)
• E₂ = שגיאות ניבוי עם ידיעת X = Σ(סכום עמודה − מקסימום בעמודה)

💡 פירוש: λ מודד את אחוז הצמצום בשגיאות הניבוי כאשר יודעים את X.

📈 מקדם הקביעה R²:

R² = r²

אם r = 0.9:
R² = (0.9)² = 0.81

💡 פירוש: 81% מהשונות ב-Y מוסברת על ידי הקשר הליניארי עם X.
19% הנותרים מוסברים על ידי גורמים אחרים.

📊 מדד פי (φ) - מקרה פרטי של קרמר:

מדד פי מתאים רק לטבלת 2×2:

φ = √(χ² / n)

למעשה, פי הוא קרמר כאשר k = min(שורות, עמודות) = 2:

קרמר: V = √(χ² / (n·(k−1)))
כש-k=2: V = √(χ² / n) = φ

💡 לטבלאות גדולות יותר משתמשים בקרמר (V).

🔢 נוסחת מקדם המתאם של ספירמן:

rₛ = 1 − (6·Σdᵢ²) / (n·(n²−1))

כאשר:
• dᵢ = הפרש הדירוגים של תצפית i
• n = מספר התצפיות

💡 שלבי החישוב:
1. דרג את X וגם את Y
2. חשב d = דירוג X − דירוג Y
3. חשב d²
4. הצב בנוסחה

📊 שונות הניבויים:

s²ŷ = r² · sᵧ²

נתונים:
• r = 0.7
• sᵧ = 10 → sᵧ² = 100

חישוב:
s²ŷ = (0.7)² × 100
s²ŷ = 0.49 × 100 = 49

💡 שונות הניבויים היא החלק מהשונות הכוללת שמוסבר על ידי X.

📈 משוואת קו הניבויים (רגרסיה לינארית):

ŷ = a + bx

כאשר:
• b = שיפוע הישר = r · (sᵧ / sₓ)
• a = חותך (נקודת החיתוך עם ציר Y) = ȳ − b·x̄
• ŷ = הערך החזוי של Y

💡 קו הניבויים עובר תמיד דרך הנקודה (x̄, ȳ).

🔗 פירוש r = 0:

r = 0 אומר אין קשר ליניארי בין המשתנים.

⚠️ חשוב להבין:
• יכול להיות קשר לא ליניארי חזק מאוד גם כש-r = 0!
• לדוגמה: קשר פרבולי (U) ייתן r ≈ 0

💡 r מודד רק קשר ליניארי. לזיהוי קשרים אחרים צריך לבחון את דיאגרמת הפיזור.

📐 חישוב החותך (a):

נוסחה: a = ȳ − b·x̄

נתונים:
• x̄ = 50
• ȳ = 80
• b = 0.6

חישוב:
a = 80 − (0.6 × 50)
a = 80 − 30 = 50

💡 משוואת קו הניבויים: ŷ = 50 + 0.6x

📊 פירוק השונות:

שונות כוללת = שונות הניבויים + שונות הטעויות

sᵧ² = s²ŷ + s²ₑ

כאשר:
• s²ŷ = r² · sᵧ² (מוסבר על ידי X)
• s²ₑ = (1−r²) · sᵧ² (לא מוסבר)

💡 זה מסביר למה R² = r² מייצג את אחוז השונות המוסברת.

🔢 טיפול בדירוגים שווים (Ties):

כאשר יש ערכים שווים, נותנים להם את הדירוג הממוצע.

דוגמה:
ערכים: 10, 20, 20, 30, 40

שני הערכים 20 היו צריכים לקבל דירוג 2 ו-3.
לכן שניהם יקבלו: (2+3)/2 = 2.5

הדירוגים הסופיים: 1, 2.5, 2.5, 4, 5

📈 פרשנות r = -0.8:

• הסימן (−): קשר שלילי = כש-X עולה, Y יורד
• הערך המוחלט (0.8): קשר חזק

💡 סולם עוצמה מקובל:
• 0.00 - 0.29: חלש
• 0.30 - 0.49: בינוני
• 0.50 - 0.69: חזק
• 0.70 - 1.00: חזק מאוד

|r| = 0.8 → קשר חזק מאוד

📊 הבדלים בין ספירמן לפירסון:

ספירמן (rₛ):
• מודד קשר מונוטוני (עולה או יורד, לא בהכרח בקצב קבוע)
• מבוסס על דירוגים
• מתאים למשתנים סידוריים
• עמיד יותר לערכים חריגים

פירסון (r):
• מודד קשר ליניארי בלבד (על קו ישר)
• מבוסס על ערכים מקוריים
• מתאים למשתנים רווחיים/מנתיים

📐 חישוב שיפוע קו הרגרסיה:

נוסחה: b = r · (sᵧ / sₓ)

נתונים:
• r = 0.5
• sₓ = 4
• sᵧ = 8

חישוב:
b = 0.5 × (8 / 4)
b = 0.5 × 2 = 1

💡 כל עלייה של יחידה אחת ב-X מנבאת עלייה של יחידה אחת ב-Y.

🔗 חישוב מדד למדה:

נוסחה: λ = (E₁ − E₂) / E₁

נתונים:
• E₁ = 40 (שגיאות ללא ידיעת X)
• E₂ = 20 (שגיאות עם ידיעת X)

חישוב:
λ = (40 − 20) / 40
λ = 20 / 40 = 0.5

💡 פירוש: ידיעת X מפחיתה 50% מהשגיאות בניבוי Y.

📊 מתי להשתמש בספירמן?

ספירמן עדיף על פירסון כאשר:

• יש ערכים חריגים (outliers) - ספירמן עמיד יותר
• הנתונים לא מתפלגים נורמלית
• המשתנים סידוריים (לא רווחיים)
• הקשר מונוטוני אך לא ליניארי

💡 ספירמן מבוסס על דירוגים, ולכן פחות רגיש לערכים קיצוניים.

📈 הקשר בין r ו-b:

b = r · (sᵧ / sₓ)

מכיוון ש-sᵧ ו-sₓ הם תמיד חיוביים (סטיות תקן):

• אם r > 0 → b > 0 (שיפוע חיובי)
• אם r < 0 → b < 0 (שיפוע שלילי)
• אם r = 0 → b = 0 (קו אופקי)

💡 r ו-b תמיד באותו סימן! שניהם חיוביים או שניהם שליליים.

🔗 קורלציה ≠ סיבתיות (Correlation ≠ Causation):

קשר סטטיסטי חזק לא מוכיח שמשתנה אחד גורם לשני!

סיבות אפשריות לקורלציה:
• X גורם ל-Y
• Y גורם ל-X
• גורם שלישי (Z) גורם לשניהם
• מקריות

💡 דוגמה קלאסית: מכירות גלידה וטביעות מתואמות - אבל גלידה לא גורמת לטביעות! שניהם נגרמים מהחום בקיץ.

📐 חישוב שונות הטעויות:

R² = r² מייצג את אחוז השונות המוסברת.

אם R² = 0.64:
• שונות מוסברת: 64%
• שונות הטעויות (לא מוסברת): 1 − 0.64 = 36%

נוסחה:
s²ₑ = (1 − r²) · sᵧ²

💡 36% מהשונות ב-Y נובעת מגורמים אחרים שאינם X.